Ⅰ 罗巴切夫斯基在数学方面的成果是什么
尼古拉斯?伊万诺维奇?罗巴切夫斯基（1792年月1日～1856年2月24日），俄罗斯数学家，非欧几何的早期发现人之一。1856年12月24日卒于喀山。1807年入喀山大学学习，1811年获博士学位并留校工作。1816年任副教授，1822年任教授。还曾任物理数学系主任、图书馆馆长和喀山大学校长等职。
1893年，在喀山大学树立起了世界上第一个为数学家雕塑的塑像。这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的重要创始人——罗巴切夫期基。
非欧几何学的重大意义
非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。
不过，这一重要的数学发现在罗巴切夫斯基提出后相当长的一段时间内，不但没能赢得社会的承认和赞美，反而遭到种种歪曲、非难和攻击，使非欧几何这一新理论迟迟得不到学术界的公认。
罗巴切夫斯基是在尝试解决欧氏第五公设问题的过程中，从失败走上他的发现之路的。欧氏第五公设问题是数学史上最古老的著名难题之一，它是由古希腊学者最先提出来的。
公元前三世纪，希腊亚历山大里亚学派的创始者欧几里得集前人几何研究之大成，编写了数学发展史上具有极其深远影响的数学巨著《几何原本》。
这部著作的重要意义在于，它是用公理法建立科学理论体系的最早典范。在这部著作中，欧几里得为推演出几何学的所有命题，一开头就给出了五个公理(适用于所有科学)和五个公设(只应用于几何学)，作为逻辑推演的前提。《几何原本》的注释者和评述者们对五个公理和前四个公设都是很满意，唯独对第五个公设（即平行公理）提出了质疑。
第五公设是论及平行线的，它说的是：如果一直线和两直线相交，且所构成的两个同侧内角之和小于两直角，那么，把这两直线延长，它们一定在那两内角的一侧相交。数学家们并不怀疑这个命题的真实性，而是认为它无论在语句的长度，还是在内容上都不大像是个公设，而倒像是个可以证明的定理，只是由于欧几里得没能找到它的证明，才不得不把它放在公设之列。
为了给出第五公设的证明，完成欧几里得没能完成的工作，自公元前3世纪起到19世纪初，数学家们投入了无穷无尽的精力，他们几乎尝试了各种可能的方法，但都遭到了失败。
罗巴切夫斯基是从1815年着手研究平行线理论的。开始他也是循着前人的思路，试图给出第五公设的证明。在保存下来的他的学生听课笔记中，就记有他在1816～1817学年度在几何教学中给出的一些证明。可是，很快他便意识到自己的证明是错误的。
前人和自己的失败从反面启迪了他，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明。于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答。这是一个全新的，也是与传统思路完全相反的探索途径。罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现了一个崭新的几何世界。
那么，罗巴切夫斯基是怎样证得第五公设不可证的呢？又是怎样从中发现新几何世界的呢？原来他创造性地运用了处理复杂数学问题常用的一种逻辑方法——反证法。
这种反证法的基本思想是，为证“第五公设不可证”，首先对第五公设加以否定，然后用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统，并由此展开逻辑推演。
首先假设第五公设是可证的，即第五公设可由其它公理公设推演出来。那么，在新公理系统的推演过程中一定会出现逻辑矛盾，至少第五公设和它的否定命题就是一对逻辑矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反驳了“第五公设可证”这一假设，从而也就间接证得“第五公设不可证”。
依照这个逻辑思路，罗巴切夫斯基对第五公设的等价命题——普列菲尔公理“过平面上直线外一点，只能引一条直线与已知直线不相交”作以否定，得到否定命题“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”，并用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统展开逻辑推演。
在推演过程中，他得到一连串古怪、非常不合乎常理的命题。但是，经过仔细审查，却没有发现它们之间存在任何罗辑矛盾。于是，远见卓识的罗巴切夫斯基大胆断言，这个“在结果中并不存在任何矛盾”的新公理系统可构成一种新的几何，它的逻辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美。而这个无矛盾的新几何的存在，就是对第五公设可证性的反驳，也就是对第五公设不可证性的逻辑证明。由于尚未找到新几何在现实界的原型和类比物，罗巴切夫斯基慎重地把这个新几何称之为“想象几何”。
非欧几何的诞生
1826年2月23日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上，宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文：《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。然而，这一重大成果刚一公诸于世，就遭到正统数学家的冷漠和反对。
参加2月23日学术公议的全是数学造诣较深的专家，其中有著名的数学家、天文学家西蒙诺夫，有后来成为科学院院士的古普费尔，以及后来在数学界颇有声望的博拉斯曼。在这些人的心目中，罗巴切夫斯基是一位很有才华的青年数学家。
可是，出乎他们的意料，这位年轻的教授在简短的开场白之后，接着说的全是一些令人莫明其妙的话，诸如三角形的内角和小于两直角，而且随着边长增大而无限变小，直至趋于零；锐角一边的垂线可以和另一边不相交，等等。
这些命题不仅离奇古怪，与欧几里得几何相冲突，而且还与人们的日常经验相背离。然而，报告者却认真地、充满信心地指出，它们属于一种逻辑严谨的新几何，和欧几里得几何有着同等的存在权利。这些古怪的语言，竟然出自一个头脑清楚、治学严谨的数家教授之口，不能不使与会者们感到意外。他们先是表现现一种疑惑和惊呆，不多一会儿，便流露出各种否定的表情。
宣讲论文后，罗巴切夫斯基诚恳地请与会者讨论，提出修改意见。可是，谁也不肯作任何公开评论，会场上一片冷漠。一个具有独创性的重大发现作出了，那些最先聆听到发现者本人讲述发现内容的同行专家，却因思想上的守旧，不仅没能理解这一发现的重要意义，反而采取了冷谈和轻慢的态度，这实在是一件令人遗憾的事情。
会后，系学术委员会委托西蒙诺夫、古普费尔和博拉斯曼组成三人鉴定小组，对罗巴切夫斯基的论文作出书面鉴定。他们的态度无疑是否定的，但又迟迟不肯写出书面意见，以致最后连文稿也给弄丢了。
罗巴切夫斯基应对攻击
罗巴切夫斯基的首创性论文没能引起学术界的注意和重视，论文本身也似石沉大海，不知被遗弃何处。但他并没有因此灰心丧气，而是顽强地继续独自探索新几何的奥秘。1829年，他又撰写出一篇题为《几何学原理》的论文。这篇论文重现了第一篇论文的基本思想，并且有所补充和发展。此时，罗巴切夫斯基已被推选为喀山大学校长，可能出自对校长的“尊敬”，《喀山大学通报》全文发表了这篇论文。
1832年，根据罗巴切夫斯基的请求，喀山大学学术委员会把这篇论文呈送彼得堡科学院审评。科学院委托著名数学家奥斯特罗格拉茨基院士作评定。奥斯特罗格拉茨基是新推选的院士，曾在数学物理、数学分析、力学和天体力学等方面有过卓越的成就，在当时学术界有很高的声望。可惜的是，就是这样一位杰出的数学家，也没能理解罗巴切夫斯基的新几何思想，甚至比喀山大学的教授们更加保守。
如果说喀山大学的教授们对罗巴切夫斯基本人还是很“宽容”的话，那么，奥斯特罗格拉茨基则使用极其挖苦的语言，对罗巴切夫斯基作了公开的指责和攻击。同年11月7日，他在给科学院的鉴定书中一开头就以嘲弄的口吻写道：“看来，作者旨在写出一部使人不能理解的著作。他达到自己的目的。”接着，对罗巴切夫斯基的新几何思想进行了歪曲和贬低。最后粗暴地断言：“由此我得出结论，罗马切夫斯基校长的这部著作谬误连篇，因而不值得科学院的注意。”
这篇论文不仅引起了学术界权威的恼怒，而且还激起了社会上反动势力的敌对叫嚣。名叫布拉切克和捷列内的两个人，以匿名在《祖国之子》杂志上撰文，公开指名对罗巴切夫斯基进行人身攻击。
针对这篇污辱性的匿名文章，罗巴切夫斯基撰写了一篇反驳文章。但《祖国之子》杂志却以维护杂志声誉为由，将罗巴切夫斯基的文章扣压下来，一直不予发表。对此，罗巴切夫斯基极为气愤。
罗巴切夫斯基在孤境中奋斗终生
罗巴切夫斯基开创了数学的一个新领域，但他的创造性工作在生前始终没能得到学术界的重视和承认。就在他去世的前两年，俄国著名数学家布尼雅可夫斯基还在其所著的《平行线》一书中对罗巴切夫斯基发难，他试图通过论述非欧几何与经验认识的不一致性，来否定非欧几何的真实性。
英国著名数学家莫尔甘对非欧几何的抗拒心里表现得就更加明显了，他甚至在没有亲自研读非欧几何著作的情况下就武断地说：“我认为，任何时候也不会存在与欧几里得几何本质上不同的另外一种几何。”莫尔甘的话代表了当时学术界对非欧几何的普遍态度。
在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫斯基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几何的另一位发现者德国的高斯也不肯公开支持他的工作。
高斯是当时数学界首屈一指的学学巨匠，负有“欧洲数学之王”的盛名，早在1792年，也就是罗巴切夫斯基诞生的那一年，他就已经产生了非欧几何思想萌芽，到了1817年已达成熟程度。他把这种新几何最初称之为“反欧几何”，后称“星空几何”，最后称“非欧几何”。但是，高斯由于害怕新几何会激起学术界的不满和社会的反对，会由此影响他的尊严和荣誉，生前一直没敢把自己的这一重大发现公之于世，只是谨慎地把部分成果写在日记和与朋友的往来书信中。
当高斯看到罗巴切夫斯基的德文非欧几何著作《平行线理论的几何研究》后，内心是矛盾的，他一方面私下在朋友面前高度称赞罗巴切夫斯基是“俄国最卓越的数学家之一”，并下决心学习俄语，以便直接阅读罗巴切夫斯基的全部非欧几何著作；另一方面，却又不准朋友向外界泄露他对非欧几何的有关告白，也从不以任何形式对罗巴切夫斯基的非欧几何研究工作加以公开评论；他积极推选罗巴切夫斯基为哥廷根皇家科学院通讯院士，可是，在评选会和他亲笔写给罗巴切夫斯基的推选通知书中，对罗巴切夫斯基在数学上的最卓越贡献－－创立非欧几何却避而不谈。
高斯凭任在数学界的声望和影响，完全有可能减少罗巴切夫斯基的压力，促进学术界对非欧几何的公认。然而，在顽固的保守势力面前他却丧失了斗争的勇气。高斯的沉默和软弱表现，不仅严重限制了他在非欧几何研究上所能达到的高度，而且客观上也助长了保守势力对罗巴切夫斯基的攻击。
晚年的罗巴切夫斯基心情更加沉重，他不仅在学术上受到压制，而且在工作上还受到限制。按照当时俄国大学委员会的条例，教授任职的最高斯限是30年，依照这个条例，1846年罗巴切夫斯基向人民教育部提出呈文，请求免去他在数学教研室的工作，并推荐让位给他的学生波波夫。
人民教育部早就对不顺从他们意志办事的罗巴切夫斯基抱有成见，但又找不到合适的机会免去他在喀山大学的校长职务。罗巴切夫斯基辞去教授职务的申请正好被他们用以作为借口，不仅免去了他主持教研室的工作，而且还违背他本人的意愿，免去了他在喀山大学的所有职务。被迫离开终生热爱的大学工作，使罗巴切夫斯基在精神上遭到严重打击。他对人民教育部的这项无理决定，表示了极大的愤慨。
家庭的不幸格外增加了他的苦恼。他最喜欢的、很有才华的大儿子因患肺结核医治无效死去，这使他十分伤感。他的身体也变得越来越多病，眼睛逐渐失明，最后终于什么也看不见了。
1856年2月12日，伟大的学者罗巴切夫斯基在苦闷和抑郁中走完了他生命的最后一段路程。喀山大学师生为他举行了隆重的追悼会。在追悼会上，他的许多同事和学生高度赞扬他在建设喀山大学、提高民族教育水平和培养数学人材等方面的卓越功绩，可是谁也不提他的非欧几何研究工作，因为此时，人们还普遍认为非欧几何纯属“无稽之谈”。
罗巴切夫斯基为非欧几何的生存和发展奋斗了三十多年，他从来没有动摇过对新几何远大前途的坚定信念。为了扩大非欧几何的影响，争取早日取得学术界的承认，除了用俄文外，他还用法文、德文发表了自己的著作，同时还精心设计了检验大尺度空间几何特性的天文观测方案。
不仅如此，他还发展了非欧几何的解析和微分部分，使之成为一个完整的、有系统的理论体系。在身患重病，卧床不起的困境下，他也没停止对非欧几何的研究。他的最后一部巨著《论几何学》，就是在他双目失明，临去世的前一年，口授他的学生完成的。
历史是最公允的，因为它终将会对各种思想、观点和见解作出正确的评价。1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧氏空间的曲面上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧氏几何命题，如果欧氏几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也由此得到学术界的高度评价和一致赞美，这时的罗巴切夫斯基则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。
罗巴切夫斯基在无穷级数论、积分学和概率论等方面，也有出色的工作。他还是一位杰出的教育家和管理者，创立了喀山数学学派和喀山数学教育学派。代表作有《几何学基础》（1829～1830）、《并行线理论的几何研究》（1840）等。
在科学探索的征途上，一个人经得住一时的挫折和打击并不难，难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗。罗巴切夫斯基就是在逆境中奋斗终生的勇士。
同样，一名科学工作者，特别是声望较高的学术专家，正确识别出那些已经成熟的或具有明显现实意义的科这成果并不难，难的是及时识别出那些尚未成熟或现实意义尚未显露出来的科学成果。我们每一位科学工作者，既应当作一名勇于在逆境中顽强点头的科学探索者，又应当成为一个科学领域中新生事物的坚定支持者。
Ⅱ 小学四年级500字数学教学成果
重复着昨天的故事”,但每天的故事都孕育着大量的教育契机.如果一个班主任拥有了发现的眼睛、善思的头脑、勤奋的双手,把每一个教育故事、每一个教育问题、每一个教育灵感记录下来,在反思中凝练出其中的教育智慧,这名班主任就离优秀班主任并不遥远,他会发现自己正走上一条班主任的成功之路,他的班主任工作也就拥有了全新的状态和快乐.\x0d无数优秀班主任的成长经历证明,反思是一个班主任专业成长的关键.做一名反思型的班主任是班主任自觉提升专业化发展水平的重要途径.\x0d二、班主任反思总结的形式\x0d从反思的形式来看,班主任的反思可分为三类：一是“对实践的反思”,二是“实践中反思”,三是“为实践反思”.“对实践的反思”是指反思发生在实践之后,“实践中反思”指的是反思发生在实践的过程中,而“为实践反思”则是前两种反思的预期结果,即“实践后反思”与“实践中反思”的目的最终形成超前性的反思,从而形成在实践之前的三思而行的良好习惯.因此,班主任的班级管理活动,通过“实践中的反思”来观察所发生的行为,就好像自己是局外人,以此来理解自己的行为.而后班主任又进行“对实践的反思”和“为实践反思”,以分析所发生的班级管理活动,从而不断改善班级管理行为,不断指导未来的班级管理工作.这样在经过一段较长时间的反思后,班主任就会成为一个自觉而有效的反思者,从而不断提升班主任的能力素质和专业化水平.\x0d1.树立反思意识\x0d很多班主任经常为找不到反思的内容而苦恼.其实,你面对的每一个孩子、一个故事、一次活动,你接待的每一个家长,你在班级作出的每一项决策,甚至班级里的一个微笑都能让我们反思.在我们的教育教学生活中,不是缺少可以反思的对象,而是我们缺乏发现的眼睛,没有树立反思的意识.当你树立反思意识后,你会发现,反思可以无处不在、无时不有.\x0d有一位班主任初一时发现班里女生十分活跃,大部分活动都是女孩主持,男孩却相对沉默得多.在年级学生会干部竞选时,她特地动员男孩参加,但收效不大,班内20几个报名学生中,男孩只有5个.录老师再深入调查,发现这个问题很有普遍性,初中,高中,包括校学生会都是女孩占多数.她想,在中学的6年里,如果听任男孩子在集体活动中沉默,他们就会由开始的不屑于做,发展到不习惯做,最终不敢做了,这对他们性格的形成和今后的发展,都是不可弥补的缺憾.于是,她就开展了性别差异的系列教育活动.通过主题班会,
Ⅲ 南朝祖冲之撰写的数学论文集（ ），是当时数学领域的最高成就，直到唐代还被用作数学课本。
祖冲之撰写的数学论文集（《缀术》 ），是当时数学领域的最高成就，直到唐代还被用作数学课本。
Ⅳ "一切数学成果可建立在集合论基础上"什么意思
1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。触发了数学的第三次危机。
让我们先了解下什么是悖论。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。 悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
悖论有三种主要形式：
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来 好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。
把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有：
P={A∣A∈A}
Q={A∣A￠A}（￠：不属于的符号，因为实在找不到）
问，Q∈P 还是 Q∈Q？
这就是著名的“罗素悖论”。罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖论等。
十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。 “一切数学成果可建立在集合论基础上” 这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”
可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”
1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。
罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论（后来归入所谓语义悖论）：
Ⅳ "一切数学成果可建立在集合论基础上"什么意思
1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论,理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式.此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论.这些悖论特别是罗素悖论,在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动.触发了数学的第三次危机.
让我们先了解下什么是悖论.悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”,意思是“多想一想”.这个词的意义比较丰富,它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论,那些结论会使我们惊异无比.悖论是自相矛盾的命题.即如果承认这个命题成立,就可推出它的否定命题成立；反之,如果承认这个命题的否定命题成立,又可推出这个命题成立
如果承认它是真的,经过一系列正确的推理,却又得出它是假的；如果承认它是假的,经过一系列正确的推理,却又得出它是真的.古今中外有不少著名的悖论,它们震撼了逻辑和数学的基础,激发了人们求知和精密的思考,吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力.解决悖论难题需要创造性的思考,悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念.
悖论有三种主要形式：
1．一种论断看起来好像肯定错了,但实际上却是对的（佯谬）.
2．一种论断看起来
好像肯定是对的,但实际上却错了（似是而非的理论）.
3．一系列推理看起来好像无懈可击,可是却导致逻辑上自相矛盾.
把所有集合分为2类,第一类中的集合以其自身为元素,第二类中的集合不以自身为元素,假令第一类集合所组成的集合为P,第二类所组成的集合为Q,于是有：
P={A∣A∈A}
Q={A∣A￠A}（￠：不属于的符号,因为实在找不到）
问,Q∈P
还是
Q∈Q?
这就是著名的“罗素悖论”.罗素悖论还有一些较为通俗的版本,如理发师悖论等.
十九世纪下半叶,康托尔创立了著名的集合论,在集合论刚产生时,曾遭到许多人的猛烈攻击.但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了,并且获得广泛而高度的赞誉.数学家们发现,从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦.因而集合论成为现代数学的基石.“一切数学成果可建立在集合论基础上”
这一发现使数学家们为之陶醉.1900年,国际数学家大会上,法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念,我们可以建造整个数学大厦……今天,我们可以说绝对的严格性已经达到了……”
可是,好景不长.1903年,一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的!这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论.罗素的这条悖论使集合理论产生了危机.它非常浅显易懂,而且所涉及的只是集合论中最基本的东西.所以,罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动.德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿付印时,收到了罗素关于这一悖论的信.他立刻发现,自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟.他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事,莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了.”
1874年,德国数学家康托尔创立了集合论,很快渗透到大部分数学分支,成为它们的基础.到19世纪末,全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了.就在这时,集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果,特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论,它极为简单、明确、通俗.于是,数学的基础被动摇了,这就是所谓的第三次“数学危机”.
罗素的悖论发表之后,接着又发现一系列悖论（后来归入所谓语义悖论）：
Ⅵ 中国古代数学的成就
中国古代数学成就非常突出，有很多项世界之最：
中国是世界上最早采用了十进位制的国家，距今4000年左右的陕西、山东、上海的出土文物中除表示个位的数字外，已经有10、20、30这样的记号，比古埃及早1000多年。
殷商时已经有了四则运算，春秋战国时正整数乘法口诀“九九歌”已形成，从此“九九歌”成为普及数学知识的基础之一，一直延续至今。
在计算工具方面，殷商时就发明了“算筹”，算筹是圆形小竹棍，以后有了骨制、铁制的。以算筹表示数目，有纵、横两种形式，如“2”可表示为“=”或“Ⅱ”。
勾股定理相传是在商代由商高发现，比毕达哥拉斯早500多年。
公元前1世纪的《周髀算经》和东汉时期的《九章算术》是最著名的中国古代数学著作。
算盘的最早记载是公元190年。明清两代，算盘成为当时工商业贸易中不可缺少的工具。算盘携带方便，运算准确迅速，即便是现在，仍发挥着巨大作用。
三国时期，刘徽运用割圆术求圆周率π=3.1416。南北朝时期的数学家祖冲之又将圆周率进一步精确到3.1415926～3.1415927之间。
唐代僧一行创立了不等间距二次内插法，王孝通得到求解三次方程的方法；宋元时期得到关于高次方程组的求解法一次同余式解法。这些成果都处于当时的领先地位。
Ⅶ 中国古代的数学成就
《九章算术》在中国古代数学发展过程中占有非常重要的地位。它经过许多人整理而成，大约成书于东汉时期。全书共收集了246个数学问题并且提供其解法，主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。
《九章算术》标志以筹算为基础的中国古代数学体系的正式形成。
中国古代数学在三国及两晋时期侧重于理论研究，其中以赵爽与刘徽为主要代表人物。
赵爽是三国时期吴人，在中国历史上他是最早对数学定理和公式进行证明的数学家之一，其学术成就体现于对《周髀算经》的阐释。在《勾股圆方图注》中，他还用几何方法证明了勾股定理，其实这已经体现“割补原理”的方法。用几何方法求解二次方程也是赵爽对中国古代数学的一大贡献。三国时期魏人刘徽则注释了《九章算术》，其著作《九章算术注》不仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造。其发明的“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积），为圆周率的计算奠定了基础，同时刘徽还算出圆周率的近似值——“3927/1250（3.1416）”。他设计的“牟合方盖”的几何模型为后人寻求球体积公式打下重要基础。在研究多面体体积过程中，刘徽运用极限方法证明了“阳马术”。另外，《海岛算经》也是刘徽编撰的一部数学论著。
南北朝是中国古代数学的蓬勃发展时期，计有《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学著作问世。
祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性。他们着重进行数学思维和数学推理，在前人刘徽《九章算术注》的基础上前进了一步。根据史料记载，其著作《缀术》（已失传）取得如下成就：①圆周率精确到小数点后第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值；欧洲直到16世纪德国人鄂图（Otto）和荷兰人安托尼兹（Anthonisz）才得出同样结果。②祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积公式，并提出二立体等高处截面积相等则二体体积相等（“幂势既同则积不容异”）定理；欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理……祖氏父子同时在天文学上也有一定贡献。
隋唐时期的主要成就在于建立中国数学教育制度，这大概主要与国子监设立算学馆及科举制度有关。在当时的算学馆《算经十书》成为专用教材对学生讲授。《算经十书》收集了《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》等10部数学著作。所以当时的数学教育制度对继承古代数学经典是有积极意义的。
公元600年，隋代刘焯在制订《皇极历》时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式；唐代僧一行在其《大衍历》中将其发展为不等间距二次内插公式。
从公元11世纪到14世纪的宋、元时期，是以筹算为主要内容的中国古代数学的鼎盛时期，其表现是这一时期涌现许多杰出的数学家和数学著作。中国古代数学以宋、元数学为最高境界。在世界范围内宋、元数学也几乎是与阿拉伯数学一道居于领先集团的。
贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出开任意高次幂的“增乘开方法”，同样的方法至1819年才由英国人霍纳发现；贾宪的二项式定理系数表与17世纪欧洲出现的“巴斯加三角”是类似的。遗憾的是贾宪的《黄帝九章算法细草》书稿已佚。
秦九韶是南宋时期杰出的数学家。1247年，他在《数书九章》中将“增乘开方法”加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举20多个取材于实践的高次方程的解法（最高为十次方程）。16世纪意大利人菲尔洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶还对一次同余式理论进行过研究。
李冶于1248年发表《测圆海镜》，该书是首部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作，在数学史上具有里程碑意义。尤其难得的是，在此书的序言中，李冶公开批判轻视科学实践活动，将数学贬为“贱技”、“玩物”等长期存在的士风谬论。
公元1261年，南宋杨辉（生卒年代不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制订《授时历》时，列出了三次差的内插公式。郭守敬还运用几何方法求出相当于现在球面三角的两个公式。
公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）著《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程）,并提出消元的解法，欧洲到公元1775年法国人别朱（Bezout）才提出同样的解法。朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到公元1670年英国人格里高利（Gregory）和公元1676一1678年间牛顿（Newton）才提出内插法的一般公式。
14世纪中、后叶明王朝建立以后，统治者奉行以八股文为特征的科举制度，在国家科举考试中大幅度消减数学内容，于是自此中国古代数学便开始呈现全面衰退之势。
明代珠算开始普及于中国。1592年程大位编撰的《直指算法统宗》是一部集珠算理论之大成的著作。但是有人认为，珠算的普及是抑制建立在筹算基础之上的中国古代数学进一步发展的主要原因之一。
由于演算天文历法的需要，自16世纪末开始，来华的西方传教士便将西方一些数学知识传入中国。数学家徐光启向意大利传教士利马窦学习西方数学知识，而且他们还合译了《几何原本》的前6卷（1607年完成）。徐光启应用西方的逻辑推理方法论证了中国的勾股测望术，因此而撰写了《测量异同》和《勾股义》两篇著作。邓玉函编译的《大测》［2卷］、《割圆八线表》［6卷］和罗雅谷的《测量全义》［10卷］是介绍西方三角学的著作。
Ⅷ 彭加勒的数学研究成果有哪些
一位数学史权威评价彭加勒(1854—1912年)时说，他是“对于数学和它的应用具有全面知识人的最后一个人。”20世纪以来，数学进入了多学科、高难度的现代阶段，要想达到每个领域的最高成就已经不可能，但彭加勒确实是他那个时代的数学全才。
一般把数学划分为算术、代数、几何和分析四个领域，彭加勒对各个领域的研究成果，都是第一流的。他成功地解决了像太阳、地球、月亮间相互运动这一类的三体问题；他是现代物理的两大支住——相对论和量子力学的思想先驱；他研究科学哲学提出的“约定论”着重分析了人类理性认识的基本法则，日益受到当代哲学家的重视。在他从事科学研究的34年里，发表论文500篇，著作30多部，获得过法国、英国、俄国、瑞典、匈牙利等国家的奖赏，被聘为30多个国家的科学院院士。
1912年6月26日，彭加勒病逝前20天作了最后一次讲演，他说：“人生就是持续斗争。”彭加勒的一生就是斗争的一生。他因为小时候得过病，语言不够流畅，写字画图都有困难；还留下了喉头麻痹身体虚弱的后遗症。不少人把他当作笨人。他成为数学家后，一位心理学家通过测验仍然认定他是“笨人”。彭加勒取得成就的关键是注意力高度集中。他一生最大的嗜好就是读书，读书速度快，记忆准确持久。因为视力不好，书写困难，他上课不记笔记，全神贯注于听讲、思索、理解，长期的磨练，使他具备了运用大脑完成复杂运算，构思长篇论文的能力。1871年，17岁的彭加勒报考高等工业学校，轻松地解决了主考官特意为他设计的难题，尽管他的几何作图得了零分，学校也破格录取。1879年，25岁的彭加勒获数学博士学位，32岁任数学和物理学教授，以后在科学园地里辛勒耕耘26年。