马鞍山到子群

❶ 区内地层及其矿化特征

研究区内出露的地层，主要有新太古界、元古宇、古生界及中、新生界。现由老到新叙述如下。

一、新太古界

新太古界系区内最古老的地层单元和基底岩系，主要沿内蒙古隆起断续出露于太仆寺旗、赤峰市南部地区，构成了区域东西向基底火山－沉积建造。地区性地层名称主要有“红旗营子群、鞍山群和建平群等”，与其相当的地层在西部乌拉山和大青山地区为乌拉山群。根据《内蒙古自治区区域地质志》(1991)，太仆寺旗地区为红旗营子群，地层应在鞍山群或建平群之下，相当于新太古界的上集宁群。其北部的正蓝旗一带由乌拉山群黑云斜长片麻岩组成，出露零星。赤峰市南部地区则属于鞍山群或建平群。由于中、新生界沉积覆盖及华夏系和新华夏系构造的改造，该套地层多被分隔成3个呈北东向展布的菱形块体。

红旗营子群下部由石榴黑云浅粒岩组成，上部主要是细粒含石榴子石黑云母变粒岩夹长石石英岩、含石墨浅粒岩、含矽线石石榴子石浅粒岩和含石墨大理岩等。

王时麒等(1994)将赤峰南部地区变质岩划分为建平变质杂岩(相当于原建平群小塔子沟组)和大营子群(相当于原建平群大营子组)。

按照现有岩石组合特征，建平变质杂岩可以划分为3种类型:①片麻岩+斜长角闪辉石岩+麻粒岩+磁铁石英岩组合，分布于努鲁儿虎山隆起带东南部，即辽宁朱力科—建平—河北凌源一带;②斜长角闪(辉石)岩+片麻岩+磁铁石英岩组合，偶见麻粒岩，分布于努鲁儿虎山隆起带北部贝子府一带和马鞍山隆起带南部的黑里河断裂以南;③斜长角闪(辉石)岩+片麻岩+少量大理岩组合，偶见基性麻粒岩，主要分布在铭山隆起带上的红花沟等地区。

上述变质岩可以划分为上壳岩和侵入岩。上壳岩包括磁铁石英岩、大理岩、斜长角闪岩和黑云母二长片麻岩等;侵入岩包括辉长岩、不同期次侵入的英云闪长岩、奥长花岗岩、花岗闪长岩(TTG)组合。其中，TTG岩石约占变质岩出露面积的60%以上，上壳岩只呈孤零的捕虏体形式存在。

这套变质岩的全岩Sm－Nd年龄为2847Ma(属表壳岩系)，TTG岩系侵入岩的锆石U－Pb年龄为2600～2500Ma。采自赤峰红花沟地区的黑云斜长片麻岩(英云闪长岩)锆石U－Pb年龄为2575Ma(崔文元，1991;王时麒等，1994)，代表研究区TTG岩石侵位年龄。以2900±100Ma作为古(中)太古代和新太古代的界限年龄，研究区内出露的基底岩石时代属于新太古代(李永刚等，2003)。

大营子群主要分布于努鲁儿虎山隆起带中部大营子、金厂沟梁一带和马鞍山隆起带的中北部。按照岩石组合可以划分为两种类型:①片麻岩(花岗片麻岩、角闪斜长片麻岩、斜长片麻岩)+斜长角闪岩+结晶片岩(角闪片岩、角闪斜长片岩、绿泥片岩、阳起石片岩、黑云石英片岩)+大理岩组合，分布于努鲁儿虎山隆起带中部及马鞍山隆起带南部的黑里河断裂以北一带;②片麻岩+斜长角闪岩组合，大理岩少见，分布于马鞍山隆起带中部的楼子店—大城子一带。

这套变质岩原岩建造相当于拉斑玄武岩与科马提质岩互层的超基性火山岩系、玄武岩、安山岩及流纹岩夹科马提岩的中基性火山岩系，以及流纹岩、安山岩、火山碎屑岩、硅铁质岩的中酸性火山－沉积岩系，属于新太古代华北地块的优地槽火山岛弧建造。

总体上看，区内基底变质岩系构成了新太古代花岗－绿岩带的一部分。建平变质杂岩变质程度为高角闪岩相—麻粒岩相，以含大量磁铁石英岩、磁铁角闪岩类为特征;而大营子群及红旗营子群变质程度为低角闪岩相—绿片岩相。

该套变质岩为研究区内金矿最为主要的赋矿围岩，也是最为主要的矿源岩系之一。区内主要的大、中型金矿床及71%以上的金矿储量集中分布于该套地层中。除此之外，部分沉积变质型铁矿也主要发育在该套变质岩系中。

二、元古宇

区内所涉及的元古宇零星分布于以下两个地区:一是位于西部太仆寺旗一带的古元古界二道洼群和中新元古界的化德群，以大理岩夹片岩为主，在太古宇红旗营子群中呈孤岛状分布;二是出露于南部黑里河一带及东南部邻区燕辽沉降带内部的中新元古界，包括下部长城群和上部蓟县群，沉积建造均以碳酸盐岩－泥质岩为主，夹陆源碎屑岩。依据层位关系，自下而上划分为常州沟组、串岭沟组、大红峪组。常州沟组为石英岩，可见厚度在200m以上;串岭沟组由砂岩、板岩夹石英岩组成，含层状磁铁矿，可见厚度40m;大红峪组由白云质大理岩、条带状大理岩夹石英砂岩、石英岩及板岩等组成，属浅海相沉积，厚度大于426m。

另外，在喀喇沁旗明安山地区，有一套结晶灰岩、条带状灰岩并夹极少的砂、板岩，厚度在1439m以上。在撰山子金矿南部，有一套片岩、片麻岩夹大理岩岩系。1∶20万(喀喇沁旗幅)地质报告中分别划分为奥陶系明安山群和下古生界奥陶－志留系，现1∶50万全国地质图数据库中将其划归为中新元古界，本书采用了后者的划分方案。

区内资料表明，元古宇是区内及邻区铅锌矿、钼矿、铁矿等多金属矿的重要矿源岩系。西部多伦地区的古元古界二道凹群是该地区沉积变质型铁矿及矽卡岩型铁矿的主要沉积建造及矿源岩系;研究区东南部邻区的燕辽沉降带中的中新元古界中赋存有肖家营子大型钼矿等。

三、古生界

区内古生界主要分布于赤峰北部和东部，是沿华北地块北缘形成的一套活动型火山－沉积岩系，包括典型的复理石建造、细碧角斑岩建造、硅质岩建造等，属于区域上温都尔庙－翁牛特旗加里东褶皱带的组成部分。包括寒武系、奥陶－志留系、志留系、泥盆系、石炭系、二叠系，其分布具有较为明显的地域分带性。其中，在翁牛特旗东南—敖汉旗西侧，以出露早古生代的奥陶－志留系为特征，分别构成了多伦复背斜和敖汉旗复向斜的核部及翼部。敖汉旗东部至下洼一带，则以广泛出露石炭系为特征。而二叠系则从东到西广泛出露。区内古生界由老到新特征如下。

(一)奥陶系－下志留统(O－S₁)

该套地层零星出露于西拉木伦河两侧半拉山—白音板沟门一带和乌丹南部—西南部半博罗沟、穆家店、旗杆庙，沿少郎河两岸及解放营子羊肠子河一带。地层总厚度700～2865m。地层总体走向为近东西向，局部为北西向。该套地层普遍遭受中级区域变质作用。根据变质程度和岩性组合，该系分为上、中、下3部分:上部为黑云石英片岩、白云石英片岩、二云斜长片岩夹薄层灰质板岩;中部为角闪斜长片麻岩、黑云花岗片麻岩、糖粒状大理岩;下部为大理岩、角闪斜长片麻岩和斜长角闪片麻岩。

关于该套地层的划分仍然存在不同的意见。在《内蒙古自治区岩石地层》中认为这套片岩、大理岩等应该属于元古宙的产物。某些矿产勘查报告中仍然将该套地层划分为志留系下统双井组、中统水泉沟组，以及中上统晒勿苏组。但毫无疑问，该套地层是研究区内铅锌矿的主要围岩之一。

(二)中上志留统(S₂₊₃)

该套地层多与奥陶系－下志留统相伴出现，区内主要分布于翁牛特旗隆起南部的解放营子、西拉木伦河中段的陈家营子—巴林桥一带，以及奈曼旗的下石碑至库伦旗南部等地。横向上岩相变化很大，但岩层延伸较为稳定，分布比较规律。以中上志留统(S₂₊₃)为主，总体上为一套中低级变质的沉积岩及火山岩地层。翁牛特旗南部解放营子一带的羊肠子河沿岸出露中志留统晒乌苏组(S₂s)，根据现行采用的岩石地层单元，该组为一套浅海相碳酸盐岩岩系，岩性主要是结晶灰岩、礁灰岩及泥灰岩，局部夹少量斑岩，厚度大于600m;整合在晒乌苏组之上的有八当山组火山岩(S₂bν)和西别河组(S—Dx)。其中，八当山火山岩主要为流纹斑岩夹板岩，厚1064m，时代属中志留世;西别河组则是一套由浅海相的砂岩、灰岩、板岩、变泥岩及生物礁等构成的岩石组合，时代属于晚志留世—早泥盆世之间的产物。志留系各组均属连续沉积，与下伏地层(O—S₁)之间为整合接触。总体上看，该套地层为东西向，但局部为北东东向或北东向。它们共同构成翁牛特旗复背斜及敖汉旗复向斜的一部分。

(三)下泥盆统(D₁)

区内仅出露下泥盆统前坤头沟组，孤立地分布于敖汉旗前坤头沟一带。地层由浅海相碎屑岩夹灰岩组成，主要包括灰褐色、灰绿色碎屑岩(杂砂岩)、板岩夹灰岩及基性火山岩。地层可划分为上、下两部分。其中，上部为复成分砂岩、板岩和基性火山岩;中部为砂质板岩、千枚岩板岩，夹砂岩、灰岩;下部为复成分砂岩，夹板岩、钙质粉砂岩、细砂岩等。不完全厚度为1438m。地层走向近北西－南东向，倾角一般70°左右。与上覆二叠系青凤山组呈断层接触。

(四)石炭系(C)

出露广泛，类型齐全，多属浅海相至海陆交互相沉积岩、火山沉积岩和火山岩。断续分布于赤峰北部的桥头、敖汉旗至东部奈曼旗的下石碑一线。按照两分法，自下而上分为下石炭统朝吐沟组(C₁ch)、白家店组(C₁b)和石嘴子组(C₁s);上石炭统酒局子组(C₂jj)。各组之间皆为整合关系。

下石炭统朝吐沟组(C₁ch):分布于敖汉旗朝阳沟、赤峰七大分、二道杖和奈曼旗木匠沟至半烧锅等地。为一套以变质火山岩为主的岩石组合，由变质基性至中酸性熔岩、变火山碎屑岩夹绢英片岩及少量石英岩组成，厚度2215m以上。

白家店组(C₁b):指分布于敖汉旗一带、位于朝吐沟组之上，被石嘴子组超覆的一套海相碳酸盐岩岩系，与石嘴子组的砂板岩部分层段呈犬齿状相变关系，因此，在不同地段的剖面上可以出现数量不等的砂板岩夹层。该组灰岩在区域上厚度变化较大，白家店组灰岩在敖汉旗杨家杖子一带厚2533.3m，向四周延伸厚度逐渐变小，碎屑岩夹层增多。在白家店厚度为500m左右，到奈曼旗房后沟脑一带厚度变化为230m。

石嘴子组(C₁s):在区内指分布于赤峰一带的石炭纪海相砂、泥(板)岩组合，分布于敖汉旗白家店南山、家道沟、奈曼旗房后沟脑等地。与白家店组灰岩呈指状(犬齿状)交错相变，在交界处可以出现数量不等的灰岩夹层。

上石炭统酒局子组(C₂jj):分布于敖汉旗家道沟、范家杖子、捣各朗营子、三官营子、玳瑁沟、库伦旗向阳所等地;岩性为一套陆相或海陆交互相砂页(板)岩，含煤，局部可夹灰岩透镜体、中酸性凝灰岩，厚度为135～664m。

总体来看，该套地层以火山沉积岩为主，由下而上沉积岩逐渐减少以至消失，沉积韵律清楚;岩石普遍经受浅变质作用，一般多具有板岩化、千枚岩化，局部见片理化及青磐岩化。在岩体的接触带多形成接触变质作用，形成红柱石板岩和角岩化。

(五)二叠系(P)

主要为下二叠统，少量为上二叠统，分布广泛，为一套巨厚的浅海相或海陆交互相沉积－火山岩地层，岩相变化较大并遭受轻微变质。根据现行采用的岩石地层划分方案，区内二叠系主要包括三面井组、额里图组和于家北沟组。

三面井组(Ps):指分布于锡林郭勒盟南部镶黄旗至多伦一带，不整合在岩体或石炭系之上的一套浅海至滨海相碎屑岩组合，下部常发育含燧石灰岩和生物碎屑灰岩，上界与额里图组整合接触或被中生代火山岩不整合覆盖;区内主要见于西部正镶白旗额里图牧场二分场等地，整体厚度为269m左右;该组沉积时限为早二叠世早期。

额里图组(Pe):呈东西向分布于镶黄旗、正镶白旗、正蓝旗、多伦县、克什克腾旗及翁牛特旗等地。岩性及厚度变化较大，由西向东厚度明显变小，正常碎屑岩较少、火山岩增多。在克什克腾旗于家北沟一带，本组以安山岩为主夹凝灰岩，底部被花岗岩侵入，上与于家北沟组整合接触;翁牛特旗武家沟南山为中酸性火山碎屑岩夹安山岩，下界不清，上界与于家北沟组整合接触。额里图组地质时限为早二叠世晚期，总厚度大于1544.7m。

于家北沟组(Py):现指西拉木伦河以南中生代火山岩和额里图组中酸性火山岩之间的一套海陆交互相沉积，主要在正镶白旗至翁牛特旗一带出露。岩石为灰绿、黄绿色凝灰质砂岩、砂砾岩、砾岩、粉砂岩夹板岩和火山碎屑岩组合。上界与满克头鄂博组不整合接触，下界与额里图组整合接触。于家北沟组沉积时限为早二叠世晚期—晚二叠世早期。

古生界为区内较为重要的铅锌、铜矿源岩系之一，尤其是奥陶－志留系和二叠系，区内小营子等大中型铅锌矿等均产于该套地层中。在撰山子金矿古生代地层还成为金矿的直接赋矿围岩。在北大山—峰水山一带也是直接的赋矿围岩。

另外，在研究区东南邻区(燕辽沉降带)内广泛出露古生代地层，但其沉积建造特征与区内不同。燕辽沉降带中主要为一套稳定型盖层沉积，以碳酸盐岩夹碎屑岩建造为主。

四、中生界

晚二叠世末期，中朝板块与西伯利亚板块对接成为欧亚大陆以后，中新生代以来，中国东部受滨太平洋构造域的影响，以形成一系列北东—北北东向的隆起带和坳陷带的构造格局为特征，并伴随有强烈的火山活动及岩浆侵入。在火山喷发间歇期，发育了以陆内河湖相为主的碎屑岩－泥质岩系和含煤碎屑岩系。中生界包括三叠系、侏罗系和白垩系，以白垩系最为发育。其中，对于侏罗系和白垩系的划分，我们参考最新公布的《国际地层表》(2004)，以145.5±4Ma作为二者之间的划分界线。现按由老到新的顺序对区内中生界作如下叙述。

(一)三叠系(T)

仅零星见于研究区东南部辽西地区，岩性为长石砂岩、砾岩、砂质页岩等。

(二)侏罗系(J)

侏罗系主要分布在研究区东南部辽西地区及南部的燕辽沉降带(冀北—辽西地区)之内。其中，下侏罗统北票组以沉积岩为主，间夹少量火山岩。中侏罗统以蓝旗组中酸性火山岩为主;区内仅见零星的上侏罗统沉积。上侏罗统－下白垩统土城子组以紫红色砂、砾岩为主，不整合盖在下侏罗统之上。

(三)侏罗－白垩系(J－K)

综合起来，区内岩石地层单元自下而上主要有土城子组、满克头鄂博组、玛尼吐组、白音高老组和热河群(包括义县组、九佛堂组和阜新组)和孙家湾组等。

土城子组(JKt):指广泛分布在大兴安岭—燕山地区的紫红色碎屑岩，下部为紫色、紫红色、灰绿色砾岩、砂岩、粉砂岩、粉砂质页岩;中部为灰紫色、黄褐色复成分砾岩夹砂岩及岩屑杂砂岩;上部为灰绿色砂岩、凝灰岩偶夹紫红色砾岩。在区内主要出露于喀喇沁旗朝阳沟、小牛群、克什克腾旗胡萝卜淖等地，厚度从197～1503m不等。该组地层区域上不整合在万宝组及新民组之上，其上被满克头鄂博组不整合覆盖。其地层沉积时代为晚侏罗世中晚期至早白垩世早期。

满克头鄂博组(Kmk):指不整合于林西组、土城子组、万宝组或新民组之上，被玛尼吐组整合覆盖的酸性火山熔岩、酸性火山碎屑岩、火山碎屑沉积岩，偶夹中性火山岩。广泛出露于大兴安岭—燕山地区，横向上岩性及厚度变化较大。

玛尼吐组(Kmn):指整合于满克头鄂博组之上、白音高老组之下的中性火山熔岩、中酸性火山碎屑岩、火山碎屑沉积岩、沉积岩夹少量酸性火山岩地层。其下与满克头鄂博组以安山岩大量出现为界，其上以酸性火山岩大量出现与白音高老组分界。野外主要以一套灰紫色、灰色、灰绿色安山岩、粗安岩、英安岩、中性凝灰岩夹凝灰质砂岩、沉凝灰岩为特征。厚度一般为几百米，局部可达1000m以上。

白音高老组(Kb):为一套杂色酸性火山碎屑岩、酸性熔岩、酸性熔结凝灰岩夹中酸性火山碎屑岩、火山碎屑沉积岩、沉积岩及安山岩。其整合在玛尼吐组中性火山岩之上，区域上被梅勒图组中基性火山岩不整合覆盖。厚度300～800m不等。

热河群(KR):为土城子组之上、孙家湾组之下的一套含有热河动物群的火山岩夹沉积岩组合，包括义县组、九佛堂组和阜新组。

义县组(Ky):指发育在赤峰地区不整合于上、中侏罗统及其更老地层之上的以中基性火山岩、火山碎屑岩为主，局部夹中酸性、酸性和碱性火山岩、火山碎屑岩及多层沉积岩，底部常有砾岩，含热河动物群化石。其上被九佛堂组平行不整合覆盖。在区内集中分布于宁城县、敖汉旗地区、东山区大庙镇至翁牛特旗桥头一线，以及辽西等地。总体上为两套中基性火山岩(局部相变为酸性)，夹沉积岩组合。

九佛堂组(Kjf):指平行不整合于义县组之上，被阜新组整合覆盖的灰色、绿灰色夹杂色钙质粉砂质页岩、粉砂岩夹泥灰岩、砂岩、砾岩、油页岩的沉积岩组合，含热河动物群。区内主要分布于元宝山、平庄两个盆地中，其次是赤峰市松山区大庙镇一带，以及敖汉旗北部长胜乡一带。其上被阜新组不整合覆盖，厚度100～530m不等。

阜新组(Kf):指整合于九佛堂组之上，以灰白色、灰色砂岩、砾岩为主夹深灰色(局部出现紫红色)泥岩、炭质页岩和多煤层的一套含煤地层，其上被孙家湾组不整合或平行不整合覆盖，含动植物化石。广泛出露于元宝山、平庄盆地以及区域其他地区。厚度110～900m不等。

孙家湾组(Ksj):在内蒙古境内仅出露于元宝山盆地和平庄盆地，岩石类型主要为一套红色粗碎屑岩，下部为紫红、黄褐色砾岩，局部夹砂岩及煤线，上部以黄褐色砂岩和砾岩为主夹泥岩及煤层。与下伏阜新组或义县组不整合接触。总厚度大于600m。

中生界是区内金、铅锌矿、钼矿的重要矿源岩系之一，但普遍成矿规模较小，部分达到中型。目前发现的金矿主要有奈林沟小型金矿，钼矿有油房西铅锌银矿等。

五、新生界

新生界涉及的地层包括第三系(古、新近系)和第四系。

(一)第三系(古、新近系，E、N)

区内第三系(古、新近系)的沉积特征和展布方向，严格受地貌条件的控制。根据岩性组成，分为上、下两个组:汉诺坝组和老梁底组，时代均为中新世。下部老梁底组仅见于赤峰初头朗以西一处，主要由砂岩、页岩夹砾岩及泥岩、薄层粉砂岩组成;顶部为一层砂砾岩。厚度约25m。上界与汉诺坝组不整合接触;下界与义县组或更老地层不整合接触。上部汉诺坝组为一套灰黑色、黑色、紫灰色橄榄玄武岩、辉石玄武岩、致密块状及气孔状玄武岩夹红色、砖红色泥岩、灰白色泥岩、砂质粘土、砂岩及页岩，有时含煤线。厚数十米至数百米不等。广泛分布于乌丹、赤峰以西地区，沿河谷两岸构成平坦的台地，产状近于水平。下界不整合于下白垩统九佛堂组或阜新组、白音高老组之上。在赤峰老梁底村不整合于老梁底组之上，厚度仅24m左右。汉诺坝组上界被第四系沉积物覆盖。

(二)第四系(Q)

主要为泥砾层、砂土、亚粘土、黄土及冲、湖积层，沿河谷地带分布。局部出露有玄武岩及冰水沉积物。

区域上，在第三纪(古、新近纪)砂砾石层及第四纪砂砾石中赋存有砂金及砂铂矿等。根据1∶20万区调资料，第三纪(古、新近纪)砂砾石层中砂金达200粒/cm³，但含矿层位不稳定，受古河道控制。另外，在喀喇沁旗南部的七家沟、大窑沟、小苇子沟等地的第四系砂砾石松散堆积物中，均含有砂金，曾经为地方开采，但一般规模不大。

❷ 【抽象代数】类方程和有限群

随着前面我们对于群的结构的探索，在对群进行公理化描述之后，我们又探讨了群的结构，(正规) 子群，商群还有直积的概念。如果我们要在进一步，就需要专注于群最为本质的特点，即对称与变换，这是群的精髓所在，下面就让我们开始从类方程与群对于集合的作用开始吧。

设 X 是任意一个非空集合，我们已经知道，集合 X 的全体到自身的一一对应组成一个群 S(X), 称其为对称群或变换群，从历史的角度看，人们最早研究的都是某一集合上的变换群。直到现在，各种类型的变换群的研究仍是群论的一个重要部分。抽象群的概念正是从变换群而来。在群论中，一方面是把抽象群论中的结果应用到变换群上。另一方面也常利用变换群来研究抽象群的性质。前面提到的 凯莱定理 就是建立在这二者的联系。而群在集合上的作用便是一种可以体现抽象群和变换群联系的广泛的定义。

设 G 是一个群，X是一个非空集合。如果给了一个映射 , 适合条件：对所有的 ，满足 与 ，那么我们就说，f 决定了群G在集合 X 上的作用。在不需要明确映射 f 的情况下，常将 简写成 。前面提到过， 将 G 中的元素作了一个变换，同样 也是对陪集的一个变换。看来我们有必要将这样的变换提出来单独研究，变换是从一个群 G 作用到一个集合 X，结果还是在 X 中。用函数的方法表示这个变换： ，其中 。为了能用到群的性质，首先自然是是要求下式左成立（保持运算），其次还要求逆元能将元素还原，即 ，故还要求下式右成立。这样的变换一般叫 G 在 X 上的作用（action）。

作用的结果可以写成一张如下所示的表格，行为G列为X，从两个维度分别考察会得到有趣的结果。变换中最重要一类就是 的情况，其中g称为x的 稳定子 （stabilizer），x 所有的稳定子记作 ，容易证明它是一个子群。x 称为g的 不动元素 （fixed element），g 的所有不动元记作 。对所有 g 都不动的也叫 G 的不动元素，记为 ，它在研究问题时非常重要。接下来，分别从行、列两个方向研究这张表。

先从G的方向考察g(x)，即对于指定的x，g(x)的取值情况。g(x)的所有取值称为 x 轨道 （orbit），记作 。如果 ，则有 。故不同的 之间要么完郑蔽全相同，要么没有交集，其中的元素是一个等价关系。轨道中只有一个元素的，便是 G 的不动元。

一个自然的问题是， 中究竟有多少元素？若 使得 ，则有 ，从而 同属于 的一个陪集。这就是说 中不同元素的个数为 。如果为所有轨道选一个代表 ，则有以下 类方程 。

另外，同属于一个轨道的稳定子有什么关系呢？假设g(x)=y，将 带入 ，则有 ，所以就得到 。这个性质让我们想到正规子群，即对任意 ，可有 。从而 G 作用下的一个轨道在 N 下有相同的稳定子，即那个轨道在 N 下被分成同样长的多个轨道。特别地，如果 G 下只有一个轨道，则 N 的每个轨道一样长。

最后再从X的方向考察 ，即对于指定的 的取值情况。首先若 ，则 ，即有 ，g 的作用是 X 上的一个置换。现在分别从行、列两个方向统计满足 都有元素对 ，有 ，整理便得到以下等式，它称为伯恩赛德（Burnside）定理，在组合数学中有广泛的应用。

不管是正规子群，还是上面的群的作用，其中都出现了 的身影。现在就让我们来对它进稿物一步研究，令 X 是群 G 的所有子集的集合，考察群 G 在 X 上的变换 。满足 的子集S1,S2称为 共轭的 （conjugat），这个变换显然是一个作用，现在直接把上段的结论应用到这里来。
首先互为共轭的子集在同一轨道里，这个轨道一般叫做 共轭类 ，共轭类中的元素互为共轭。子集喊敬州S的稳定子满足 ，它也称为S的 正规化子 ，记作 ，它是一个子群。这样一来，共轭类的中的元素和 的陪集一一对应，每个共轭类中有 个元素。进一步地，共轭类中每个元素的正规化子有以下关系，它们也形成一个共轭类。


现在来考虑一些特殊情况。首先，以上 X 中可以只取那些只有一个元素的子集，这个情况等价于 ，这就相当于定义了群元素间的共轭关系。群的元素在共轭的作用下分成了多个等价类，而不动元素 显然就是中心 C。如果中心元有 c 个，其它等价类 分别有 个元素 ，则类方程变成以下形式。

其次，还可以把 X 中的元素限定为子群，这就定义了 共轭子群 。共轭子群具有共轭子集一样的性质，只是在子集和其正规化子的关系上有本质不同。对一般子集，不一定有 ，而对于子群 H 不仅有 ，还有 。从另一个角度看， 其实是通过缩小 G 来使 H 成为正规子群， 是G 中使 H 称为正规子群的最大子群。反过来能否通过缩小 H 来得到一个正规子群呢？考察H的所有共轭子群之交 ，可以证明 任然包含所有 H 的共轭子群，从而恒有 ，即 K 为正规子群。特别的，如果 H 的指数有限，则 K 的指数也有限。

相对于单个元素的正规化子，子集的正规化子其实是被弱化的。正规化子 是所有满足 的元素，即所有与 x 可交换的元素。为此可以定义与子集 S 所有元素可交换的集合，称它为 S的中心化子，并记做 。容易证明它也是子群，并且有下式成立。而对单个元素显然有： 。

读者可以思考如下两个简单的结论：
• 求证： ；
• 求证： 是 S 各元素正规化子的交。

关于交错群 有一个重要的结论，现在我们可以来介绍它了：当 时， 都是单群。对 的场景可以直接验证，也可以证明，但最好使用结论： 有唯一正规子群 。当 时，证明比较繁杂，但方法很基础，这里仅给出基本思路。首先容易证明任何偶置换都可以表示为若干3-循环之积，并且An可以由一些3-循环生成。其次证明An对3-循环集X的作用只有一个轨道，所以An中包含一个3-循环的正规子群只能是An自身。最后通过分情况讨论，证明An的正规子群必含有一个3-循环，这就证明了An,(n>4)是单群。若有疑问可参见《代数学引论》（2nd)，聂灵绍，2009。第 66 页定理 9 有详细的证明过程。

元素 g 与左陪集 可以定义作用 ，现在就来看看这个作用有什么结论。记 X 为子群 K的所有左陪集，考察子群 H 到 X 的作用（选G得不到有用结论）。作用的轨道是一些左陪集，它们的并可以写成 ，它也称为 重陪集 。重陪集可以既可以看成是一些K的左陪集之并，也可以看成是一些H的右陪集之并。根据轨道的性质可知，重陪集之间要么完全相同，要么没有交集。

作用的稳定子满足 ，从而 ，即 。稳定子的集合为 ，从而轨道内元素的个数是 。结合重陪集的意义和群的作用，就得到 里H的右陪集个数 和 K 的左陪集个数 分别为以下公式。

再来看看稳定元素 ，它们对一切 h 满足 ，这就得到 ，它要求 首先是共轭的。当 时，可知 ，即 为 中 H 的所有陪集，个数为 。

对群的所有研究都是为了分析其结构，目前除了循环群之外，还没有其它群被完全解析。在储备了一些知识后，我们开始着眼于有限群和交换群这两种常见且重要的群。相对于无限群的无穷变换，有限群的结构总也是有穷的，在这里也许可以得到一些有用的结论。我们当然是从群的阶出发，逐步寻找规律。首先对于素数阶群，显然必定是循环群，且除 e 外每个元素都是生成元。对于素数幂次 阶群，它每个子群的阶都是 p 的幂，反之也是成立的，这样的群有时也叫 p-群 。

拉格朗日定理说到，子群的阶必为父群的因子，那么反过来呢？对任意阶为 的群 G，它有 p 阶子群吗？这个问题的答案是肯定的，现在用归纳法证明该重要结论。当 时结论显然，现在假设结论对 成立。任意找一个非平凡子群 H，如果 ，则由假设知存在 p 阶子群。如果总有 ，考察类方程（5），有 ，从而中心的阶满足 。而中心为正规子群，它的商群 必有 p 阶子群 ，则必定有 ，所以 中有 p 阶元。综合以上就得到了结论：阶为 的群必有有 阶子群，该结论也叫 柯西定理 。

这个结论非常有用，比如由此可以判断 pq 阶交换群必有 p,q 阶子群 ，而 的阶为 ，所以它必定是循环群。如下有几个小思考题，供读者消遣：

• 求证p-群有中心；
• 求证 阶群是循环群，另外仅有一个 p 阶子群的 p-群 也是循环群；
• 同构意义下，4 阶群只有循环群和 。

继续刚才的问题，如果 G 的阶为 ，它是否有 阶子群呢？当 时结论显然成立，假设有 阶子群 H，考察式（8）的重陪集分解。左侧有 ，右侧那些重陪集除了 外都有 ，从而 。所以有 ，故 有 p 阶子群 ，其中 ，且 。这就构造出了 阶子群，继而可以构造所有 阶子群，其中 阶子群也叫 Sylow p-子群。



显然每个Sylow p-子群的共轭也是Sylow p-子群，反之对两个Sylowp-子群K,H，考察其重陪集分解（9）。因为 ，而右侧重陪集除 外都有 ，故有 。即存在 ，这就有 ，从而 共轭。既然所有的Sylow p-子群是一个共轭子群类，而稳定子为 ，故 Sylow p-子群的个数为 ，首先当然有 。其次，容易有 ，即 ，从而 。总结这两段的讨论就是重要的 西罗定理 （G的阶为 ）：

（1）西罗第一定理：存在 阶子群，且对任意 阶子群 H 都有 阶子群 使得 ；
（2）西罗第二定理：所有Sylow p-子群共轭；
（3）西罗第三定理：Sylow p-子群个数 n 满足： 且 。

西罗定理为研究有限群的结构提供了非常好的工具，如果Sylow p-子群仅有1个，那它必为正规子群，可以将群拆分为Sylow p-子群及其商群来研究。如果Sylow p-子群有 个，考虑它们的共轭关系，已知可以有一个从 G 到 的同态映射，这就说明了G有同态于 的商群。

在上面我们得到过结论： 阶交换群是循环群。如果不要求是交换群，但 ，则 p-子群 和 q−子群都是正规子群且无非平凡交集，也可以证明它们是可交换的。之前的证明同样成立，它还是个循环群。利用这个结论，很多有限群都可以确定是循环群。

这个正规性还使得Sylow p-子群可参与有限群的分解。若有 ，且 -子群Pk都是正规子群（比如上面的条件），你可以证明有下式成立。而把结果用到交换群上则是显然成立的。并且对任意 ，设 。由Sylow定理知， 中总有 阶子群 ，则显然 的阶就是 d。这就是说拉格朗日定理的反命题对满足条件的有限群是成立的，对任意 都有阶为d的子群。

考虑几个习题：
• P 为Sylow p-子群，若p-群H满足 ，则 ；
• 同构意义下，6 阶群只有循环群和 ；
• 若 或 ，则 G 不是单群。

刚才我们把有限交换群分解成了Sylow p-子群的直积，现在来看交换群Sylow p-子群 P 能否再进一步分解。考察 P 的一组生成元 ，由于是交换群，则必定有 。接下来我们需要找使得表达式成为直积的生成元，主要思想是利用现有生成元，如果不是直积，则能构造出阶之和更小的生成元，用无穷递降法就构造出直积表达式。这样每个Sylow p-子群 P 都被分解成了若干循环群的直积，进而可以有任何有限交换群 G 都可以分解为循环群的直积，并且每个循环群的解都是 p-群。它们的生成元被称为G的 基 ，生成元的阶被称为 初等因子 ，由此两个有限交换群同构的充要条件就是它们的初等因子组相等。

可以将G的初等因子分成多组 ，并且满足 。相应地就有下式成立。 叫的 不变因子 ，容易证明不变因子组相等也是有限交换群同构的充要条件。其实还可以证明，对任意初等因子组合不变因子组，都可以构造出相应的有限循环群，以上都称有限 交换群基本定理

❸ 伽罗瓦理论（三+）

以上概要仅为表明伽罗瓦所述思想。他的工作是这样进行的：给了一个一般或特殊的方程，他首先说明如何找到这个方程在系数域中的群G，即根的置换群，这些置换使根之间的系数在该域中的全部关系保持不变。必须在不知道根的情况下找到这个方程的群。在上面的例子中，四次方程的群是8阶的，而系数域是R，在找到方程的群G后，下一步是找G的最大子群H，上例中是一个4阶子群，假如有两个或多个最大子群，可任选一个。确定H是纯粹群论的问题，是能够做到的。找到H后，可用一套仅含有理运算的手续来找到根的一个函数核物Φ，它的系数属于R，且在H的置换下值不变，但在其它置换下值发生变化。在上例中 ，实际上有无穷多个这样的函数，这也要在不知道根的情况下找出。一种方法是构造R中的一个方程，使它的一个根就是函数Φ。这个方程的次数是H在G中的指数，称为部分预解式、在上例中，方程是 ，次数是8/4或2。接着从这个部分预解式解出根Φ，上例中 ，添加到R中得到新域R'，于是可证明，原方程关于域R'的群是H。

重复以上步骤，现在有4阶群H和域R'，下一步找H的最大子群。在上例中是2阶子群，称其为K。能得到原方程的根的一个函数，它的系数属于R'，值在K的每个置换下不变，而在其它置换下变化。上例中构造方程 ，方程次数是K关于H的指数，即4/2或2。这个方程是第二个部分预解式，然后解预解式得到一个根即函数Φ1，把这个值加到R'得到域R''，原方程关于域R''的群是K。

再重复以上步骤找K的最大子群L，上例中是恒等置换E。要找根的一个函数（系数在R''中），值在E下不变，而在其它置换下变化。上例中的函数是x1-x2，为了在不知道根的情况下得到Φ2，必须构造R''中的一个方程，以函数Φ2为一个根。上例中构造方程 ，方程次数是L关于K的指数2/1或2。这个方程是第三个预解式，必须解方程得到Φ2，把根添加到R'改郑液'得到域R'''。假设这是最后一步，原方程在R'''中的群是恒等置换E.

接着伽罗瓦证明，当一个方程关于给定域的群恰是E时，那么方程各个根都属于该域，因此根在R'''中，又因R'''是由已知域R逐次添加已知量获得，因此知道根所在的这个域。其次有一个用R'''中有理运算直接找根的步骤。

伽罗瓦给出了一个方法找给定方程的群、逐次的预解式以及方程关于逐次扩大了的系数域的群，即原有群的逐次子群，而扩大的系数域是由添加这些逐次的预解式的根到原来的系数域获得的。这些步骤包含了一个可观的理论，但正如伽罗瓦指出的，这不是解方程的实际方法。

之后伽罗瓦把上述理论运用到用有理运算和根式解多项式方程的问题，这里他引入了群论的另一个概念，设H是G的一个子群，如果用G的任一元素g乘H的所有置换，则得到一个新的置换集合gH(表示先g后H)，如果对G中的每个g有gH=Hg，称H为G的一个正规子群（自共轭或不变子群）

伽罗瓦的解方程法要找预解式并求解，他证明当作为约化方程的群（比如由G约化到H）的预解式是一个素数次p的二项方程x^p=A时，则H是G的一个正规子群（且指数为p）；反之，如果H是G的一个正规子群，且具有素指数p，则相应预解式是p次二项方程，或能化简为二项方程。如所有逐次预解式都是二项方程，则由高斯关于二项方程的结果，能用根式解原方程，因为能从最初的域逐次添加根式得到根所在的最后的域。反之如果一个方程能用根式求解，则必定存在预解式方程组，且预解式方程都是二项方程。

今天可用根式求解理论大致和上述理论相同，不同的是在子群序列G,H,K,L..,E中，每个群必须是前一个丛核群的极大正规子群（而不是任何较大正规子群的子群），这样的序列叫做合成序列。H对G的指数、K对H的指数等叫做合成序列的指数。若指数都是素数，则方程能用根式求解，若指数不是素数，则不能用根式求解。找极大正规子群时可能有多个选择，可任选一个，虽然由此得到的子群可能不同，但产生的指数集合完全相同（指数出现的次序可能不同，参考Jordan-Holder定理）。如果群G包含一个素数指数的合成序列，则方程可解。

对一般的n次方程，这个群由n个根的全部n!个置换组成，称为n级对称群，它的阶是n！，极大正规子群（也称交错子群）阶为n!//2，这个交错群仅有的正规子群是恒等元素，指数是2或n!/2，对n>4，n!/2不是素数，因此次数大于4的一般方程不能用根式求解。另一方面，二次方程可以借助一个预解式方程解出，合成序列的指数只有1个2。一般的三次方程，需要两个预解式方程，形式为y^2=A和z^3=B，合成序列的指数是2和3。一般的四次方程有四个二项预解式方程，一个三次和三个二次的，合成序列的指数是2.3.2.2。

伽罗瓦对数字系数的方程给出了一个和独立系数为字母的方程相似的理论，基本原理是相同的，不过判定可用根式求解的步骤更复杂。

伽罗瓦还证明了一些特殊定理。如果有一个素数次的不可约方程，其系数在域R中，它的根全部是其中两个根的带有R中系数的有理函数，则方程可用根式求解。并证明了逆定理：每个可用根式求解的素数次的不可约方程，每个根都是其中两个根的带有R中系数的有理函数。这种方程现在称为伽罗瓦方程，这个概念是对阿贝尔方程的推广，最简单的伽罗瓦方程是x^p-A=0。

❹ 证明换位子群是正规子群

commutator是换位子，形式aba^(-1)b^(-1)，起源可能是魔方，因为如果要使得魔方产生尽可能小的变化，而其他色块不变，魔方的拧的顺序，就是形式aba^(-1)b^(-1)，只不过a，b可能代表一系列操作。不是单纯的拧一下。
为了简单，我用x'表示x^(-1)
Gc是由所有交换子生成的子群，要证其正规，就是要证左陪集＝右陪集
也就是k Gc= Gc k
也就是对于任何k属于G，a,b属空宽银于Gc。要证存在x，y使得 kaba'b'=xyx'y'k成立。
也就是aba'b'=k'xyx'y'巧蠢k

令
x=kak'

x'=ka'k'
y=kbk'
y'=kb'k'

k'xyx'y'k=aba'b'
所以是正规子群

第2问是要任何G到交换群S的同态映射f，都是G/Gc factor through？
对a,b属于G, f(a)，f(b)属于S
f(ab)=f(a)f(b)
f(aba'b')=f(a)f(b)f(a')f(b')
因为S交换
所以f(a)f(b)f(a')f(b')＝f(a)f(a')f(b)f(b')=f(aa')f(bb')=f(e)f(e)=f(e)
所以在任何f下，Gc被映射成交换群S中的子群{f(e)}，只有单位元哦。
factor through？是什么我没太懂你自己看看吧，要斗宴是你知道告诉我也行。

有个东西叫群同态基本定理
G/ker(f)同构于im(f)
所以对于任何f
ker(f)定义是，f作用在ker(f)上为单位元
所以对于任何f，Gc包含在ker(f)中
G/ker(f) 是 G/Gc 的factor？
你自己再看看吧。

❺ 矽卡岩矿床及其有关岩浆岩的深部构造特征

成矿作用是地质历史中壳幔物质相互作用、物质迁移的结果，壳幔结构的不均匀性决定了矿产分布的不均匀性。对我国深部构造的研究已初步积累了关于沉积层、地壳与上地幔波速分布和大陆块体结构的有关资料。依据布格重力异常和重力均衡数据佐以地震测深资料推断了地壳厚度的分布，探窥上地幔结构和波速分布(冯锐，1985;周姚秀等，1979;王懋基等，1981;腾吉文，1983，1985;叶正仁，1985;张少泉等，1985)，为进一步探讨矽卡岩矿床形成的深部构造背景提供了基本的地球物理资料。

(一)我国莫霍面及深断裂的基本特征

在我国莫霍面等深线图上(图4－1)清楚地显示出地壳厚度东薄西厚的总体趋势，东部地区地壳厚32～36km，青藏高原莫霍面深达73km(藏北)，藏南为45～68km。由西而东有贺兰山－六盘山－龙门山和大兴安岭－太行山－武陵山等深部构造变异带将我国深部构造划分3个分区:青藏幔坪区、中部幔坪区及东部地幔台坪区。在西部地幔台坪坳陷区(青藏幔坪区)周围被梯度很大的宽约200km的环形重力梯度带所包围，其北缘自昆仑山东延，经柴达木盆地北缘沿阿尔金山、祁连山，南转越龙门山，东支沿乌蒙山西侧西转，西支经大雪山后转至高黎贡山(王懋基等，1981)。门源－平凉－渭南地震测深资料表明(张少泉等，1985)，由渭南－门源莫霍面逐渐加深，由35.5km增至56.6km，六盘山为地幔陡坡带，且表现为东缓而西陡的形态，伴随有鄂尔多斯西缘的超深断裂。东部地幔陡坡带北起大兴安岭南逾太行山武陵山经广西百色入越南境内，宽80～100km，重力梯度值可达1mGal/km，形成一系列地垒地堑，控制着地壳上部的沉积建造和深成岩浆活动，沿此构造带尚有零星金伯利岩、苦橄岩和其他基性—超基性岩出露，地幔密度值可达3.29～3.35g/cm³，表征出地幔物质沿此构造带的上涌。

图4-1 中国莫霍面形态与矽卡岩矿带关系图

在莫霍面上述3个分区基础上，王懋基等(1981)鉴于各区内部构造特征进一步划分9个小区。

在上述地幔形态背景上，在各构造带的边部或两构造单元的交衔部位经常发育有巨型断裂带或复合断裂带，它们隶属于古亚洲断裂系，滨太平洋断裂系、特提斯喜马拉雅断裂系。矽卡岩矿床及其含矿岩浆建造主要受控于中朝准地台北缘断裂系和博罗霍洛－中天山断裂系，昆仑－秦岭地槽中的断裂，如北祁连－北淮阳，柴达木北缘－青海南山－北秦岭－北淮阳、东秦岭－南秦岭等断裂系，它们控制着我国北部、西部及秦祁地槽系的发育历史和含矿岩浆建造的时空分布。在东部滨太平洋断裂系中以郯－庐断裂系，大兴安岭－太行山－武陵深断裂系及东南沿海断裂系尤为主要。我国西南部的玉龙－龙门断裂系、康滇地轴断裂系对矽卡岩矿床及斑岩－矽卡岩复合矿床具有重要的控制作用。我国深部构造格局不仅取决于太平洋板块、印度板块与中国大陆的相互作用，也取决于壳幔重力均衡及中生代以来欧亚板块向东南蠕散的特征。

(二)岩浆岩的构造类型

依据含矿岩浆岩产出的大地构造位置、深部构造特征、地饥斗壳结构、基底类型和岩浆岩组合等特征，初步把我国与矽卡岩矿床有关的岩浆岩划归下述几种构造类型:

1.产于稳定地台内部的岩浆建造

中朝准地台中的岩浆建造是其代表，该区莫霍面总体深度30～40km，平均35km，呈台坪状，地壳向西部和北部增厚，向东部、南部变薄，莫液早霍面等深线除与燕辽台褶带相毗连部分外，均呈北北东—北东向延伸。在上述总体格局的基础上，莫霍面的波状起伏形成局部的幔隆、幔坳带，波状起伏的构造单元宽为50～100km，长约100km，多数莫霍面的间断点位于波状起伏的拐点处，绝大多数的中生代岩浆岩和深断裂带位于地壳厚度的最大梯度带中，也即地幔隆坳的衔接过渡带，依据光弹模拟试验证明，这种地带是地壳最大剪应力分布带(孙武城等，1983)。中朝准地台上述深部构造特征决定了本区主要岩带呈北北东向展布，特别是东部的郯庐岩带，中西部的太行岩带。本区地壳基性度为0.44～0.56。基底由各种不同结晶程度的变质杂岩组成。太古宇—元古宇在鲁东出露胶东群(12000～26000m)，鲁西为泰山群(3700～21000m)，太行区为阜平群、五台群、闹肢雀滹坨群，厚逾26000m，山西太古宇—元古宇厚达36000～40000m。它们主要由深变质—中深变质的麻粒岩、片麻岩、角闪岩及混合岩组成，上部为变质较浅的片岩、千枚岩。原岩多为基性—中基性火山岩及粘土半粘土岩，主要属中基性火山岩型基底，但胶东群、粉子山群酸性程度较高。

华北地区具有较高的热流值，中、新生代沉陷区热流值均在1.5HFU以上，沿大兴安岭－太行－武陵深部构造变异带及沂沭深大断裂带有基性、超基性岩及榴辉岩的零星出露，并发现金伯利岩岩筒(蒙阴)，这些都表征出本区的地热活动、岩浆活动与深部的地幔活动及深大断裂有关。

与矽卡岩矿床有关的岩浆岩主要形成于中生代，此时中朝准地台已进入大陆边缘活动带的发展阶段。此区由东向西依次展布有沂沭岩带、太行岩带、太原－临汾岩带。这些岩带中岩浆岩具有较低的δ¹⁸O值(7.7～9.8)和⁸⁷Sr/⁸⁶Sr初始值(山西西安里此值为0.7058)。在deLaRoche的岩浆岩构造－岩浆组合图解(图6－14)中，沂沭岩带及太行岩带深成岩体变化趋势线几乎平行于源趋势，这说明本区不同侵入阶段的岩浆岩成分变异是大地构造有序地渐进发展的结果，成岩物质主要来源于下部地壳及地幔，对上部酸性地壳物质同化较弱。

2.稳定地台边缘坳陷带中的岩浆建造

分布于中朝准地台南北两缘，包括燕辽台褶带和北秦岭加里东褶皱带，是我国钼矿的主要产区。燕辽台褶带莫霍面深度为37～42km。呈一由东南向西北降低的地幔坳陷，莫霍面形态呈波状起伏，形成次一级北东向排布的隆坳带。在全国莫霍面等深线图上我们可以看到它位于大兴安岭－太行－武陵深部构造变异带中，并且深部构造线在此区呈弧形展布，由北而南，由南北向急转至北东向或北东东向，已知含矿岩浆岩绝大部分分布于地幔波状起伏的隆坳过渡带或偏幔坳一侧。石家庄－喀拉沁旗地震探测结果揭示出燕辽沉降带与中朝准地台地壳结构存在某些差异，兴隆、承德一带中层地壳厚度可达16km，并夹有5.5km/s左右的低速层，保定、石家庄地区中层地壳厚度约为12km。壳内低速层的发育，并常伴有较高的地温场和大地热流值可视为地壳活动区的重要特征。

燕辽台褶带内广泛出露下中前寒武系迁西群、单塔子群，下部原岩以基性—中性火山岩为主，上部为粘土质岩类，构成基—中性火山岩型基底，而辽西则发育有大面积混合花岗岩，具有较高的钼丰度。基—中性火山岩相对较少。北秦岭加里东褶皱带为祁连加里东褶皱带的东延部分，此区莫霍面深度35～46km，栾川、卢氏等地为一向西加深的地幔坳陷，轴向近于东西，其中分布有规模较小的幔隆、幔坳。此区西部之门源－渭南地震测深剖面显示出随地壳厚度由东至西增加伴随地壳基性度的增高，金堆城—渭南—平凉一带莫霍面局部起伏较大，断裂发育，金堆城、渭南、平凉显示出相对地幔上隆，地壳厚45～50km。而至永登、门源一带则深逾55km。据西北冶金地质勘探公司研究所资料，东秦岭主要含钼侵入体及其矿床均产于地壳厚度小于44km的幔坳区。金堆城、渭南、平凉一带地壳基性度较低，属硅铝质地壳，向西基性程度增高。太华群构成本区基底，由中、深变质的片麻岩、混合岩、大理岩、斜长角闪岩组成，厚3700～5000m。钼平均含量约为4.1×10^－6。(黄建军等，1983)。区内分布东西向切壳断裂;如崇凝镇－尖山断裂，洛源－马超营断裂，上楼村－庙子断裂，特别是黑沟－栾川断裂在很大程度上控制着中生代含矿岩浆建造的定向展布。含矿岩浆岩具有富Si，K，贫Ca，Mg，Fe，Na的特点，全岩氧同位素δ¹⁸O值为7.2～9.6，⁸⁷Sr/⁸⁶Sr初始值介于0.7034～0.708之间。在deLaRocher构造－岩浆组合图解中(见图6－14)，曲线位于4区，垂直于源趋势，说明岩浆结晶过程中曾发生了，基性组分有限连续的分离及酸性壳源物质的加入。对辽西中生代岩浆建造的分析，我们认为它导源于安山质熔浆，且有较多的酸性地壳物质加入(林文蔚，1987)。乔怀栋(1984)依据豫西含矿岩体⁸⁷Sr/⁸⁶Sr初始值采用C.J.Alligre混合参数公式计算，得出岩浆由57%～76%的上地幔物质和24%～43%的地壳物质混合而成。

上述分析说明了产于中朝准地台南北两缘中生代岩浆建造具有相似的大地构造、深部构造背景，地壳酸度较高，太古宇基底具有较高的钼含量，中生代岩浆岩属幔壳混合源型，壳源物质加入较多，构成以钼为特征的中酸性—酸性岩浆岩成矿系列。

3.产于稳定地台间坳陷带的岩浆建造

此带以长江中下游断陷带为代表，为一弧形断裂坳陷带，北临华北台坪，南接华南幔陷，该带莫霍面由西向东抬高，常熟—启东一带地壳厚28km，常熟—马鞍山一线约32.5km，湖北东部为30～33km，自武汉至南京形成一地幔弧形隆起带，称之为中下扬子幔隆带，南北两侧分别为幕阜山、黄山及襄樊－大别山幔陷带。据曹洛华、葛宗侠资料，武汉－南京幔隆带地壳视基性度(J_s)>0.5(曹洛华，1986;曹洛华、葛宗侠，1987)，属硅铝－铁镁质地壳，而其南北两侧的幕阜山、大别山J_s< 0.48，属硅铝质地壳，在沿江的偏铁镁质地壳和两侧硅铝质地壳之间存在宽度不等的过渡类型，其地壳视基性度J_s介于0.48～0.50之间。依据地质地球物理资料，任纪舜等把扬子准地台划分为3种基底类型，即川中式、江南式和昆阳式。根据区域重磁资料分析及沿江流域地层展布状况，葛宗侠等人推断沿长江一带应为变质深、僵化程度较高以铁镁组分为主的川中式基底，区域南部则为浅变质僵化程度较低的江南式基底，两者大致以梁子镇—灵乡—大冶—网湖为界。

印支旋回晚期至燕山旋回的早期淮阳地块向南滑移，酿成了此区东部以北东向为主，西部以北西向、东西向为主的构造格局，控制着本区中生代岩浆岩带的空间展布，本区岩浆岩全岩δ¹⁸O绝大多数< 10，⁸⁷Sr/⁸⁶Sr初始值为0.703～0.707。

在deLaRocher构造－岩浆组合图解中(见图6－14)，武山、城门山、铁山等岩体演化趋势线垂直于源趋势，推测它们导源于高铝玄武质或安山质熔浆，武山岩体晚期的富铝属性可能是与K₂O，Al₂O₃等组分的加入有关。

长江中下游岩带之岩体属轻稀土富集型，除晚期侵入体外大多无铕异常，或仅有极弱的负铕异常，δEu=0.84～1.11，部分样品有轻度铈亏损(δCe:0.66～0.83)。稀土元素配分曲线向右倾斜，与安山岩稀土配分曲线相似。

4.产于酸性地壳褶皱带中的岩浆建造

我国华南与华北地壳结构莫霍面形态，具有很大差异，在全国莫霍面等深线图上，北部莫霍面等深线主要呈明显的北东向分布，而逾南阳—合肥—苏州一线之南莫霍面方向涣散，线性特征趋于隐没，华南区莫霍面深28～38km，由北向南、自北西向东南沿海方向抬升。据1978年永平工业爆破资料，华南莫霍面平均深度约为33km，康氏面深21.46km。区内大致以北纬25°为界分为各具特色的南北两个分区，北区莫霍面形态复杂，地幔隆坳带呈北东—北北东向分布，地壳加厚减薄明显，南区莫霍面等深线呈东西展布，隆坳形态舒缓，起伏较小，广东滨海带地壳深27～30km，最大厚度差5km，康氏面可能为13～16km。依据莫霍面形态特征和空间展布可将华南地区划分下述深部构造单元(张宏良等，1985)。由东至西它们是:浦城－永安幔坳，鄱阳－赣州幔隆、修水－桂东幔坳、洞庭－衡阳幔隆、藏江－源凌幔隆、雪峰山幔坳及南岭东西向复杂构造区。

大兴安岭－太行－武陵深部构造变异带通过此区西部经河池、百色而入越南，东部之庐江—南昌—吉安—广州为其东西两部重力均衡界线，其东均衡异常为正值，西为负值，该线之南端有吴川－四会断裂通过，据此判断它可能是郯庐断裂之南延部分或是它的一个分支(王懋基，1985)，除上述两个重要的构造变异带外，尚有东南沿海幔坳带、上饶－崇仁幔坡带、德安－永兴幔坡等线形构造，它们在一定程度上控制着华南中生代的岩浆建造。

华南地壳以多层状和横向组成的不均匀性为特色，在南阳—合肥—苏州一线之南为重力低值区，区内各种成因类型的花岗岩均有发育，由北西至南东花岗岩分布范围逐渐增大，反映了华南具有以低密度花岗质地壳为主的特征。上地幔与地壳横向上的不均匀性表现在由西向东低密度地壳增厚，盆地下面地壳密度增高，在沿海火山岩区存在低密度上地幔，这种上地幔地壳密度的横向变化，南部、东部滨海带莫霍面变浅并伴有较高的地温场和热流值，这些深部构造特征与中生代花岗岩空间分布的相宜关系，佐证了华南中生代岩浆建造受控于上地幔形态和地壳组成。

区内北东向深断裂发育，自东南滨海向北西方向主要有长乐－南澳断裂、丽水－海丰断裂、邵武－河源断裂、连平－广州－思平断裂，四会－吴川断裂、广西灵山断裂，北北东向有绍兴－江山－信江断裂，宜春－永乐断裂等，这些深断裂大多产于地幔陡坡带中，如长乐－南澳断裂、丽水－海丰断裂、邵武－河源断裂。而绍兴－江山－信江断裂带恰位于上饶－崇仁幔坡带中。这些地幔陡坡带和深断裂带在很大程度上控制着本区花岗岩的空间展布，并随着成岩时代的演变形成了原地花岗岩—侵入花岗岩—高位花岗岩的连续演化系列。

华南褶皱系的地槽建造主要由震旦系—志留系组成，为复理石类复理石少量碳酸盐岩和火山岩。元古宇主要出露有四堡群浅海相碎屑岩夹细碧角斑岩，板溪群为浅海相复理石碎屑岩夹火山岩类，它们主要分布在黔东、黔东南，桂东北—西南、闽西等地，构成粉砂－泥质基底。在闽北建瓯一带则为片麻岩、片岩、角闪片岩、石英岩、变粒岩。原岩含较多的中、基性火山岩类，构成中、基性火山岩型基底。总之，我国华南与华北区地幔形态和地壳组成、基底类型有较大不同，华南是以花岗岩质为主的硅铝质地壳，前震旦系以粉砂泥质为主，闽浙滨海带则变为中基性火山岩型基底。此种深部构造背景，地壳和上部沉积、变质建造的空间变异决定了华南花岗岩的空间分带。依据各岩带的深部构造特征，可划分下述岩带。

(1)北东向构造岩浆岩带

1)浙闽粤滨海岩带;分布于丽水－海丰断裂之东的上地幔隆起区，重力资料揭示出此区具异常低密度上地幔，分布有安山质－英安质－流纹质火山岩类，滨海的陆地部分中生代火山岩带宽达180～260km，延伸1200km，以裂隙喷发为主，伴有同源侵入的花岗闪长岩－黑云母花岗岩－碱性长石花岗岩，同熔型花岗岩分布广泛。此带与中生代岩浆建造有关的矿产相对较少，主要为Cu，Pb，Zn，Mo，Fe，W，Sn，且从北至南有由Cu，Pb，Zn，Mo向W，Sn变异趋势，其中矽卡岩矿床甚少，可能与此区碳酸盐岩层不发育有关。

2)大陆内部北东向的岩浆岩带:此带位于丽水－海丰断裂带之西，为华南中生代岩浆岩广泛分布区。其中自幕阜山－云开大山与武夷山之间的花岗岩约占该区总面积的50%，包括加里东期、海西期、燕山期花岗岩，而以燕山期花岗岩尤为发育，在成因上包括混合岩化交代花岗岩、陆壳重熔型花岗岩，壳幔混合源同熔型花岗岩及极少的幔源型岩浆岩。以重熔型花岗岩为主体。侵入岩多沿北东向线形构造带展布。自北向东南方向依次排布有湘桂边界的花岗岩带，十万大山－大容山花岗岩带，云开大山－武夷山混合岩、花岗岩带，新兴－于都花岗岩带，宝安－三明花岗岩带。自北西向南东岩体形成时代有变新征象，其规模也愈来愈大，常为多期次侵入的复式岩体。

(2)酸性地壳内部东西向岩浆岩带

分布于北纬24°～26°之间，是本区地幔东北向构造带与桂粤东西向构造的转换部位，由于北东及东西向构造的联合作用，使此带北部边缘北东向的地幔构造带端部碎解成规模更小的幔隆、幔坳，此带西抵河池之西，东达安远上杭一带。此带中，中生代岩浆岩极为发育，伴随极丰富的稀有、稀土、有色等多金属矿产。由北向南有塔山－鼓山岩带，道县(九岭)－会昌－仙游岩带，大东山－九嶷山－泉州岩带，花山－鼓山－佛冈－厦门岩带。从总体上看自西向东岩体时代变新，规模增大。依据地质地球物理资料，华南陆壳重熔型花岗岩及混合岩化花岗岩以岩基为主，具有多期次成岩特征，且原地－半原地花岗岩、高位侵入花岗岩在一系列地质地球化学特征上具有过渡关系，受控于深大断裂带。它们以富硅富碱贫基性组分铝过饱和为特征，矿化以稀土、稀有、有色(W，Sn)及U为主。岩浆岩全岩氧同位素δ¹⁸O为9.5～13.5，⁸⁷Sr/⁸⁶Sr初始值>0.711，稀土元素总量较高且相对富集重稀土，铕负异常甚为明显，这些特征都有别于同熔型花岗岩(徐克勤等，1986)。

依据50多个重力异常的反演结果，认为华南花岗岩重力异常变化范围为30mGal，岩体厚度为5～15km，少数达20km，如九岭岩基厚7km，瑶岗仙岩体11～12km，柿竹园岩体为13～14km(王懋基，1985)。

此区成矿作用复杂，矿化类型繁多，陈毓川等(1985)将南岭地区划分为5个成矿系列。矽卡岩型矿床主要属于与燕山期中浅成酸性花岗岩有关的稀土有色及多金属矿床成矿系列，如柿竹园、香花岭、黄沙坪、大厂、瑶岗仙等矿床，它们与壳源重熔型花岗岩系密切，与燕山期浅成—超浅成中酸性花岗岩有关的Cu，Pb，Zn，W，Mo，Ag;Au，U矿床系列多为岩浆型、伟晶岩型、斑岩型、热液型金属矿化，成矿母岩主要为花岗闪长斑岩、石英闪长玢岩、英安斑岩，也有流纹岩。岩体中⁸⁷Sr/⁸⁶Sr初始值< 0.710，属壳幔混合源型花岗岩。其代表的矽卡岩矿床有水口山、铜山口等。与酸性岩浆侵入活动有关的Fe－Sn－Mo(Pb，Zn)成矿系列中，矽卡岩矿床甚为多见，如福建马坑、潘田、洛阳、大田，广东大顶、铁山嶂、尖山。后两者的岩浆岩及其矿床主要集中于地幔陡坡带或地幔隆坳过渡带中，在空间上它们主要沿上饶－崇仁幔坡带(上饶－铅山断裂带)、吴川－四会断裂带及丽水－海丰断裂带展布。

华南地壳以富集稀有、稀土及放射性元素为主要特征，U，Th具有较高丰度，远高于地壳花岗岩中U，Th平均含量。富含U，Th的侵入体绝大多数为出露面积大的多期次的复式岩体，这都预示着华南地壳可能有较高的U，Th，K背景含量，它可能是华南地壳具有较高的地温场的重要因素之一。

5.地槽褶皱带中的岩浆建造

此类岩浆建造属同造山期及造山期后的花岗岩类，形成于优地槽褶皱系中，包括天山褶皱系、内蒙古褶皱系、吉黑褶皱系、昆仑－祁连褶皱系。

我国东北地区从大范围上看是一个大规模地幔隆起带，松辽和下辽河平原是该幔隆的轴部，莫霍面向东西两侧倾没，且有东陡西缓的趋势，其西部:大兴安岭一带莫霍面由东至西由34km降至39km，形成北北东向延伸的幔坡带，松辽平原之东侧发育一系列正向负向构造，构成次级的隆、坳带。区内存在两个主要的深部构造变异带，其一沿沈阳—长春—绥化展布，为郯庐断裂北延部分。布特哈旗于乌兰浩特变异带实为大兴安岭－太行山－武陵山构造带的组成部分，此外尚有一系列北东向断裂。它们控制着本区岩浆岩的分布，据辽南工程爆破探知，辽南地区下部地壳厚13～16km，地壳视基性度0.40～0.43。北部缺乏相应资料。本区西部上前寒武系主要为含十字石、矽线石、石榴子石之片岩、片麻岩夹角闪质片岩及大理岩。构成中基性火山岩及粘土质岩基底。东部主要为碳酸盐岩及中深变质岩类，出露有麻山群、黑龙江群、晨明群。属碳酸盐－砂泥质基底(姜齐节等，1982)。

区内出露前兴凯期、加里东期花岗岩类，海西期花岗岩分布尤为广泛，与Fe，Cu，Pb，Zn关系甚为密切，海西期早期岩浆活动强度较弱，海西期中、晚期花岗岩分布于大兴安岭岭脊及两侧，随时代变新花岗岩带向东南迁移，属冒地槽褶皱带的岩浆建造。小兴安岭、张广才岭、太平岭一带分布有海西期晚期花岗岩，产于优地槽环境。主要为黑云母花岗岩、斜长花岗岩、花岗闪长岩及白岗质花岗岩、花岗斑岩。

古生代末结束了地槽发展阶段，进入了滨太平洋构造域以断块运动为主的发展阶段，燕山期岩浆岩分别受伊兰－伊通、密山－敦化－抚顺断裂带控制，嫩江断裂之南缘部分形成浅成小岩体。

天山褶皱系、昆仑－秦岭褶皱系分别受控于天山幔槽，阿尔金山－祁连山幔坡及昆仑山北缘幔坡带，沿上述地壳厚度变异带发育一系列深大断裂，如阿尔金山－北山断裂，中天山南北两缘断裂，巴颜喀拉山、积石山北缘断裂，以压剪性为主，区内热泉广布，地震频繁，新构造运动活跃。依据门源－渭南地震测深剖面估算地壳基性度约0.43。天山－肃北前寒武系主要由中浅变质碳酸盐岩、碎屑岩组成，夹少量中性火山岩，厚逾15000m。祁连山区前寒武系上部沉积厚度巨大，由变质碎屑岩、碳酸盐岩组成，夹有较多中基性火山岩类。它们均在中国古地台基础上裂陷而成为地槽区，始于兴凯旋回，经加里东、海西旋回逐步转化为褶皱区，其间形成了地槽型沉积建造，伴有大规模的基—酸性火山活动和深成岩浆侵入，它们大都形成于优地槽环境。与矽卡岩矿床有关的岩浆岩为辉长岩、闪长岩、钠长花岗斑岩、花岗岩。天山褶皱系中海西期(天山期)花岗岩最为发育，集中于中间隆起带及北山褶皱带中，属钙碱质岩石系列，由早期至晚期反映出由基性—酸性—碱性的演化规律，岩石相对富Na₂O(新疆地质局区域地质调查大队，1985)。东昆仑－祁连褶皱系加里东期花岗岩主要分布于中祁连和河西走廊，侵入时限分早、中、晚3期，主要为花岗闪长岩、斜长花岗岩、石英闪长岩、花岗岩。加里东期晚期出现较多的黑云花岗岩，海西期有钾长花岗岩、石英闪长岩、辉绿岩及伟晶岩类，印支期侵入岩集中于青海南山、都兰一带，呈小岩基产出，岩性为黑云母花岗岩、二长花岗岩，矽卡岩矿床与印支－燕山期侵入岩有关，属造山期后侵入岩。

总之，产于地槽褶皱带中的岩浆建造主要形成于地槽发展阶段，多为同造山期岩浆岩，也有造山期后和断块活动期的侵入岩，它们大多产于深部构造变异带中，侵入岩伴有相应成分的喷出岩，多形成于压性、剪性的构造环境中，晚期小岩体则有可能是引张条件的产物。

(三)对深部构造与岩浆活动、矿化关系的初步认识

1)由于印度板块、太平洋板块与欧亚板块的相互作用及陆内重力均衡(包括侧向均衡、盆山作用)造成了我国东高西低的上地幔形态，太平洋板块的俯冲，特提斯洋壳的向北消减促成东南滨海及粤南上地幔挠起。侏罗－白垩纪太平洋板块向北差异性漂移(张用夏，1983)是我国东部北东向构造发育的主要原因。

2)我国两个重要的深部构造变异带将全国深部构造分为3区，岩浆活动和内生金属矿化大都分布于东西两区，东区(上地幔隆起区)中—酸性岩浆岩广泛分布，多为燕山期产物，在滨海上地幔隆起带具有广泛强烈的中—新生代基性—中性—碱性岩的火山活动，较高的地温场和大地热流值，多处发现幔源包裹体。金属矿化以Fe，Cu，Pb，Zn，W，Sn，Mo，U，Th，稀有，稀土为主。西区的岩浆活动产于地槽褶皱带中，为同造山期和造山期后产物，多分布于优地槽中，岩带的空间展布与区域构造线一致，成矿以加里东期、海西期为主，主要与Fe，Cu，Ni，Pb，Zn等矿化有关。

3)主要岩浆岩带均沿地幔陡坡带分布，我国东部岩浆岩总体上多分布于地壳减薄带，而次级地幔隆坳带则控制着岩带或岩体的空间展布，它们多产于隆坳过渡带偏幔坳一侧，两种不同方向的深部构造带的交衔部位(如南岭)矿产尤为丰富，上地幔陡坡带与区域深断裂常相一致。

4)岩浆建造、金属矿化组合在一定程度上受控于上地幔形态特征、地壳结构、组成(基性度及基底类型)。一般地壳与基底基性程度愈高，其岩浆岩及相关矿产也多为偏基性岩浆场的元素组合，岩体受深断裂控制明显。在酸性地壳、砂泥质基底中，多发育酸性—超酸性岩类及其有关矿产，重熔型花岗岩分布广泛。我国华南、华北在这些方面存在较大差异，因而具有不同的成矿特征及矿化组合。

5)壳幔组成在横向上的不均匀性是地壳运动发展的重要原因之一，它导致于重力均衡补偿，壳幔物质的相对运动，活动带与地台区相比具有较大的地壳厚度和纵横向变化，有地壳低速高导层的存在并较稳定区发育，如燕辽台褶带、马鞍山—常熟—启东、门源—渭南，青藏高原等地。

6)华南花岗岩具有较高的U，Th丰度，岩石中富钾，它们绝大多数属壳源重熔花岗岩类，因此可以认为华南地壳的花岗岩层具有较高的U，Th，⁴⁰K等放射性元素，这种放射能是形成华南地温场的重要因素，加之地幔热动力作用可形成广泛地熔融岩浆，产生重熔型花岗岩及其矿化组合。

7)壳幔作用、区域地球化学场是制约区域岩浆建造及其矿化组合的重要因素，成岩成矿作用是壳幔相互作用、物质与能量迁移转化的结果，这种作用也深刻地影响着区域地球化学场的特征。壳幔的相互作用是在重力作用下壳幔物质的相对运移，它包括地幔物质沿构造薄弱带的上涌，侵位于上部地壳并对地壳加载，造成重力的重新调节和莫霍面形态的相应改变;地壳物质横向的重力补偿(盆山作用);下部地壳沿深断裂进入上地幔形成幔壳混合带，并且在地幔高温状态下可能发生相应的物理化学变化，当断裂继续活动时可能导致壳幔物质的选择重熔，形成相对富硅富碱的混合岩浆，因此壳幔混合源岩浆的产生，它可能来源于壳幔物质的混合熔融，也可能是地幔物质与地壳酸性物质的混合，甚至是岩浆上侵过程中的高位同化。如此在混合岩浆中包括较广泛的壳幔成分特征和成矿元素组合。因此区域地球化学场在很大程度上决定于壳幔组成的不均匀性。

❻ 我的前半生：为什么子君身边都是好男人，子群却总是遇到渣男

上次我写了《我的前半生》里，为什么罗子群和罗子君同为姐妹，一个过得那么差，一个却越过越好。最大的原因，是她们对很多事情的认知不同。罗子君在感情里的认知，虽然让人恨铁不成钢，但却很真实。现实生活里，真的看到很多婚姻不幸的女人，都有罗子群这样的认知。有这种认知的女人，日常就是不停抱怨，既改变不了婚姻的现状，又下启配不了决心重新开始，只能一辈子被拖累。

反观罗子群，丝毫没有从第一段婚姻中吸取教训，在没有和白光离婚的情况下，就和一个有妇之夫，理发店的设计总监好上了。她经不起理发师阿峰的甜言蜜语，平时舍不得花几百块买衣服，却舍得花两千块办理发店的会员。罗子群挑选另一半真是眼光浅，无脑，又无底线。

❼ 如何证明交错群a5不包含15阶和20阶子群

假设G是A_5的子群。
如果|G|=15，那么Sylow定理可以推出G是循环群（这个比|G|=20的情况简单，我就不细说了），但A_5中没有15阶元，矛盾。

如果|G|=20，那么G有唯一的Sylow 5-子群，记成H，它是G的正规子群。因为5是质数，所以H同构于Z/5Z。那么G中其余的元素都以共行搏轭的方式作用在H上。从H=Z/5Z到自身的群同构有多少个（这里记得Z/5Z是那个加法群，请忘掉Z/5Z里的乘法）？一共4个，它们都把0映成0，并且分别把1映成1，2，3，4。把1映成1的那个同态记成a_1，把1映成2的那个记成a_2，类似有a_3和a_4。这里，比如说a_3，它把1映成3，然后又是Z/5Z到Z/5Z的群同态，所以a_3就把Z/5Z里的所有元素都乘3。那么(a_2)^2就把1映成4（先成1变成2，再乘2变成4），所以(a_2)^2 = a_4；类似(a_3)^2=a_4，(a_4)^2=a_1=id，其中id是Z/5Z到Z/5Z的恒同映射。由a_1=id，a_2，a_3和a_4组成的这个群记成Aut(H)，它是H到H的所有自同构所组成的群，这里H是Z/5Z，而按上文所证，Aut(H)同构于Z/档袜祥4Z（以a_2或者a_3为生成元）。现在看G（就是这个20阶群）的一个Sylow 2-子群，记成P，它是4阶的（按Sylow定理，G的这样的子群可能有1个，也可能有5个，不过无所谓）。P在H上有一个共轭作用（因为H是G的正规子群），P中一个元素p把H中一个元素h映成ph p^(-1)。把h映成ph p^(-1)，这是从H到H的一个群同构（证明它是可逆的群同态），也就是Aut(H)里的一个元素，这个元素是由p决定的。这给出了从P到Aut(H)的一个群同态，这个群同态的核是1，因为A_5中的5阶元与任何非5阶元都不交换（试证之，并证明由此可以推出上面那个群同态的核是1）。现在P和Aut(H)都是4阶的，因此P和Aut(H)同构。上文已证Aut(H)就是Z/4Z，所以P也和Z/4Z同构，于是P必须有4阶元。但是A_5中尚且没有4阶元（S_5中有，好颂但那不是偶置换），因此矛盾。

❽ 群论的基本概念

定义: 设S是一个非空集合，那么S与自身的笛卡尔积到S自身的映射就叫做S的结合法或运算 即：


这时，S叫做代数系。换句话说，对于一个集合S，如果在这个集合上的某种运算是封闭的( )，那么就称S是这种运算的代数系。

代数系有时候也被称为广群，当一个广群满足某些条件的时候，便可以称作群
1.结合律
设S是具有一个运算的非空集合，如果对S中的任意元素a,b,c，在S上的运算都有：
(ab)c = a(bc)
则称该运算满足结合律。
2.单位元
设S是一个具有运算的非空历明集合，如果S中存在一个元素e；使得对S中的所有元素a都有：
ea = ae = a
则称该元素e为S中的单位元，通常记作e
3.可逆性
设S是一个具有运算并且有单位元的非空集合，设a是一个S中的元素，如果S中存在一个元素a'使得:
aa' = a'a = e
则称该元素a为S中可逆元，a'称为a的逆元，通常记作
4.群的定义：
设G是一个具有运算的非空集合，称G为一个群，如果G上的运算满足下面三个条件：
(i)结合律，即对 都有：
(ab)c = a(bc)
(ii)单位元，即 使得 都有：
ae = ea = a
(iii)可逆元，即 使得：
aa' = a'a =e
如果群G中的元素个数叫做群G的阶，记位|G|；当|G|为有限数的时，G叫做有限群，否则G叫做无限群。
换句话说，如果在集合G上的运算满足结合律，并且在该运算下G中存在单位元，并且G中的每个元素都有逆元，则称G是一个群。

因此群的单位元是唯一的
5.交换律
设S是一个具有运算的非空集合S，如果 都有：
ab = ba
则称该运算满足交换律。
如果群G中的运算还满足交换律，那么则称这个群是交换群或者阿贝尔(Abel)群。

定理： 设n是正整数，如果 ，则记册纤 ，称为 a 的 n 次幂；特别地，定义 为单位元， 逆元 的n次幂。
性质 ：设a是群G中的任意元素，则对任意的整数m, n, 有:

定义: 设H是群G的一个子集合，如果对于群G的运算，H成为一个群，那么H就叫做群G的子群，记作
Notation: H={e}和H=G都是群G的子群，叫做群G的平凡子群；群G的子群H叫做群G的真子群，如果H不是群G的平凡子群。

子群的判定定理: 设 是群 的一个非空子集，则H是群G的子群的充分必要条件是：

陪集的定义: 设 是群 的子群， 是 中任意元素，那么集合：

叫做 中 的左陪集(相似的，可以定义 中 的右陪集 )， 中的元素叫做 的代表元，如果 ，则 叫做 中 的陪集
需要注意的是，在陪集定义中的 是指 和 在群 上定义的运算

陪集的性质: 设 是群 的子群，则
i)对任意 ，有： ，
ii)对任意 ，有
判断陪集相等: 对任意 的充要条件是 ，相反的如果 ，则 。

商集的定义: 设H是群G的子群，则H在G中不同左陪集组成的新集合
，叫做H在G中的商集，记作G/H,即
而G/H中不同左陪集的个数叫做H在G中的指标，记为[G:H]

商集指标的性质州烂仿: 设H是群G的子群，则|G|=[G:H]|H|
更进一步，如果 是群 的子群，且 是 的子群，则
，其中的每个指标都是有限的

拉格朗日推论: 设 是有限群 的子群，则子群的阶 是群 的阶 的因数

定义: 设N是群G的子群，称N为群G的正规子群，如果N满足：
i)对任意 ，有
ii)对任意 ，有
iii)对任意 ，有 ，其中

正规子群的性质: 设N是群G的正规子群，G/N是由N在G中的所有左陪集组成的集合，则对于运算(aN)(bN)=(ab)N，G/N构成一个群.

定义: 设 和 都是群， 是 到 的一个映射，若 有：

则称 是 到 的一个同态
需要注意的是，同态可称作保持运算的映射：

如果 是单射，则称 为单同态；如果 是满射，则称 是满同态；如果 是双射，则称 为同构。

如果群G和G'之间存在一个同构映射，则称G和G‘是同构的，记为G G'
当G=G'的时候，同态 叫做自同态；同构 叫做自同构。
同态的性质：
i) ，即同态将单位元映射到单位元

ii) ，即同态将a的逆元映射到 的逆元

iii) 是G'的子群，且f是满同态的充要条件是：f(G)=G'

核子群： 是 的子群，并且 是单同态的充要条件是： ， 便称为核子群

定理： 设 是群G到群G'的同态，则 是G的正规子群，反过来，如果N是群G的正规子群，则映射： 是ker(f)=N的同态，并且s被称为G到G/N的自然同态。

同态分解（由一个同态映射得到一个同构映射）： 设f是群G到群G‘的同态，则存在唯一的G/ker(f)到群f(G)的同构映射 。

并且可以得到一个映射转换关系： ，其中s是群G到商群G/ker(f)的自然同态， 是f(G)到G'的恒等同态。即：

❾ 有关抽象代数里的一个同态定理的证明上的疑问

定理：设H是G的子群，a,b∈G则aH=bH的充要条件是a-1b∈旁迅闹H
证明：充分性，设a-1b=h(h属于H)，则b=ah,所昌棚以bH=ahH=aH
必要运罩性，因为aH=bH,所以对h属于H，必存在h1属于H使ah=bh1,a-1b=hh1^-1属于H
证毕！