亨利庞加莱关于数学创造

① 数学领域中的发明心理学的读后感

数学有两种品格，其一是工具品格，其二是文化品格。由于数学在应用上的极端广泛性，因而在人类社会发展中，那种挥之不去的短期效益思维模式特别是在实用主义观点日益强化的思潮中，必然会导致数学之工具品格愈来愈受到重视，更会进一步向数学纯粹工具论的观点倾斜。相反的，数学之另一种更为重要的文化品格，却已面临被人淡忘的境况。
《数学领域中的发明心理学》是法国著名数学家雅克·阿达玛的一本名著，是一本数学方法论的经典著作。着重论述了以“无意识思维”为核心的数学发明心理过程，给人以强烈印象。虽然严格地说，无意识问题应是专门的心理学家所关心的事，但他同时牵涉到数学和心理学这两个领域。具有相当深厚的文化理念内涵和价值。他又不仅仅是关于数学方法论的论述，而且还能够让学习数学和研究数学的人们从中认识到关于数学发明的一般性思维规律的论述。
在数学的（乃至一般的）发明创造过程中，往往存在着创造灵感，或称之曰“顿悟”的现象，这种顿悟的出现，既不能简单地归之于机遇，也不能无为地说成是逻辑推理“对中间阶段的跳跃”，而是经历了一种很复杂的，至今尚未被我们完全认识的“无意识思维”过程之后的结果。所谓无意识思维，乃是指思维者本人既没有意识到他的存在，也没有受到意识支配的一种思维过程。
关于发明所需要的条件，已被近几十年最伟大的天才人物所阐明，他的名字为科学界所熟知，而且整个近代数学都在随着他的脉搏跳动，此人就是亨利·庞加莱。庞加莱的例子取自他自己的最了不起的发现中的一个，即他关于富克斯群和富克斯函数理论的研究，在这个理论中闪烁着他的思想光辉。起先，庞加莱对这种函数冥思苦想了整整两个星期，企图证明它的不存在，但这个想法以后被证明是错误的。后来，在一个不眠之夜，并且是一种我们以后要谈到的特定条件下，他构造出了第一类这种函数。就在此时，他又开始地质考察的旅行生活，途中的许多事使他忘掉了自己的数学工作，当他正要去驾车其他地方时，他刚把脚放到马车上的一刹那，一个思想突然闪现在他的脑海，这个思想就是他用以富克斯函数的变换与非欧几何的变换是等价的。在旅行结束后，庞加莱给出了这个思想的证明。此后他就把注意力转换到与此有关系的一些算术运算问题上去，但没有取得什么成功，并且看起来也不像与他以前的研究工作有什么联系。由于庞加莱对自己的失败感到厌烦，到海边度过了几天，并考虑了一些其他的事情。有一天，当他正在悬崖上散步时，一种新的思想在他的脑海中又和上一次同样地突然闪出来，而且，同样是一种简单而确定的思想，这个思想就是不定三元二次型的算术变换与非欧几何变换是等价的。
这两个结果使庞加莱认为：肯定存在着另外的富克斯群，因此也就还存在着与他在那个不眠之夜所想到的富克斯函数不同的富克斯函数，以前找到的只是一类特殊情况。然而更严重的困难使得他的工作由此陷于停顿。此时如果坚持不懈地致力于这个问题，或许可以得到好的结果。但他当时没有这样做，亦即未能克服面前的困难。直到后来，当庞加莱在军队中服役的日子里，跟上两次一样，这一问题却又出乎意料地获解了。庞加莱为此而补充说：“最令人惊奇的首先是这种‘顿悟’的出现，所说的这种‘顿悟’，乃是在此之前的一段长时间内无意识工作的结果。在我看来，在数学的发明中，这种无意识工作的作用确实是毋庸置疑的。”
面对庞加莱的这种情况呈现在我们面前的解答是：①与前些日子的努力似乎毫无关系，因而难以认为是以前工作的结果；②出现得非常突然，几乎无暇细想。这种突然性和自发性，在若干年之前也曾被当代科学的伟大学者赫姆霍尔兹指出来过，他在1896年的一个重要讲话中就曾说到过这一点。由于赫姆霍尔兹和庞加莱的讲话，这种情况已被认为是任何一类发明所共有的。格拉哈姆·沃尔斯在他的《思维的艺术》一文中，提议将这种现象称为“顿悟”。在顿悟之前一般地有一个酝酿阶段，在此阶段，研究似乎完全中断，问题仿佛被丢弃在了一边。
我们不仅不能否认无意识的存在，而且我们还必须强调指出，如果没有无意识，恐怕我们什么事情都做不成。首先，思想只有当用语言表达出来时，才是最清楚的，然而当我们讲出一句话的时候，下一句话在哪儿？显然这第二句话并不在我们当时的意识范围内，因为此时的意识只有被第一句话所占有；然而此时我们却在思考第二句话的内容，这句话是准备在下一时刻出现在我们的意识中的，如果我们此时不在无意识中思考着句话，那么下一时刻他就不会出现了，但是我们这儿所说的无意识是很表面的，因为他很接近于意识，它可以立即转化为意识。
这种情况就是弗兰西斯·高尔顿的所谓意识“前室”现象。为了表示这种较浅的无意识过程，我们当然可以用以与“无意识”泾渭分明的“下意识”这个词。但是还有另外一个词，这就是“意识的边缘”。对心理学而言，在运用内反省法时，下意识状态是很有用的。事实上，离开了下意识，内部反省是不可能进行的。但是对某种状态，用下意识这个词就不一定确切。这一点沃拉斯等心理学家曾用视野做过比喻：“在我们的视野中有一个很小的圆圈，在这圆圈中，我们看的很最清楚，而在这个圆圈的旁边还是有一个不规则的区域，即视野边缘。在这个区域中，离开视野中心愈远，我们就看得愈模糊。人们往往对视野边缘的存在性不太关心，因为其中任一对象一旦引起我们的关心，我们就会立即把视野中心对准它。由此我们就可明白，为什么我们往往会忽视意识边缘中的事情，因为我们一旦对它有兴趣，它就立即成为我们的全部意识的对象了。但有时，我们也可作些努力，使它仍然处在意识边缘的地位而去观察它。”一般地说，把意识和意识边缘截然区分开是很困难的，但是关于我们目前感兴趣的“发明”这样一件事中，这种区分就稍微容易些。因为在发明过程中，我们把思想高度集中在问题的求解上，只有当问题获解之后，我们才有可能去顾及当时在意识边缘所发生的事情。

现在很多人的问题肯能出现了，问题在于对无意识的理解是否正确，无意识是不是一种特殊的神秘的东西。事实上，真正神秘之处使我们大脑的功能，即我们的大脑为什么能够思考！这种精神过程是怎么回事？人类已有几千年的历史，而我们对这些问题的了解即毫无进展，不管是对这种或那种精神过程，我们至今还是一无所知。至于说无意识和意识究竟哪个更高级，我认为提出这种问题是愚蠢的。当你骑在一匹马上时，你说它比你高级还是低级？当然，马比你强壮，又比你跑得快，但你却能让它做你所要它做的事。同样的，我也不知道氧气和氢气哪个更高级，也不知道左腿和右腿哪个更高级，实际上，它们在行走中是相互合作的，意识和无意识也是这样，一种合作而相互彼此的关系。
大量的例子表明，这种无意识思维过程的存在，而且，一旦承认了无意识思维的存在性，顿悟现在便得到很好的科学解释。无意识思维在发明创造中占有举足轻重的地位，而且这是由发明的本质所决定的。任何领域中的发明，都是思想组合的方式进行的。也即，发明就是将各种“观念原子”（这使庞加莱用以描述各种基本思想元素的一个形象化的比喻）进行千千万万的组合，再从中选出有用的组合，而这种选择的标准时所谓“科学的美感”。在发明过程的组合与选择这样两大步骤中，由于无意识思维不受理智之条条框框的约束，而仅仅服从于人的直觉中之和谐的美感，因而比有意识的思维过程更为深刻和奏效。然而我们并不能如下所述那样去理解上面的说法，即由此而认为当你面对一个问题时，你可以什么也不要干，而只要抱有求解此问题的愿望，然后就可以去睡觉了，等到明天早晨醒来时，答案就会突然出现在你面前。显然这是一种荒唐可笑的误解。
事实上，情况完全不是这样，任何问题，只有经过了深思熟虑以后，认识才会产生飞跃。例如，我们在开头所提到的，庞加莱把脚放在马车他班上时所发生的事情，就是在此之前经过了深思熟虑以后所产生的飞跃。牛顿关于万有引力的发现也是一个典型的例子。他曾经被问到，他是如何发现这个定律的。他回答说：“我就是不断地想，想，想。”这件事也许是轶事，但是始终如一的努力，一定是发现这个定律的必要条件。他有一个信念，即任何东西（不论是不是苹果）既然都掉向地球，那么月亮也一定是这样掉向地球，正是这种自觉的信念和顽强的努力，才使他发现了万有引力定律。如果不是经过一定时间的有意识的艰苦努力，尽管这些努力没有产生结果，完全是一种盲目的摸索，那么突然的灵感是不会产生的，可是这些努力并不是白费的。实际上，正是通过这些努力才使得无意识机器能以开动起来，亦即如果没有这些艰苦努力，无意识机器是不会开动起来的，从而什么灵感也不会出现，那么牛顿也只是看着苹果掉下来，只是有幸捡到了一个苹果，而发现不了万有引力定律。
伴随着灵感而出现的绝对的感觉一般是正确的，但是也可能欺骗我们。究竟是对是错，还要由我们称之为“理由”的东西来确定，或者说，还要去证明它们。当然这一证明过程是有意识的。庞加莱说过，无意识不可能做相当长的运算。如果我们以为无意识具有这种能力，具有自动运算的性质，那我们就可以在睡觉之前考虑一个代数运算的问题，而到第二天早晨醒来时就得到结果了，显然永远不会有这种事发生。实际上，对于无意识的自动性质是不能这样来理解的。正确的运算必须注意力高度集中，并且具有顽强的意志和符合规则，因而完全是自觉的和有意识的工作。这种工作是在灵感产生以后的又一个有意识阶段。如此，我们这里似乎遇到了一种自相矛盾的结论，当然我将对此做些说明，如同我对牛顿的情况所作的说明那样。所说的自相矛盾，就是一方面我们看到了作为我们灵魂的最高本能之一，我们的愿望，我们的意识在整个发明中占据相当重要的地位，他是支配着无意识的；但在这里，他似乎是从属于无意识的，因为他是在无意识以后产生的。但实际上，这两个阶段不仅很难分开，而且是相辅相成的，也就是说，它们是一件事情的两个方面。
至此，我以根据阿达玛在数学发明工作中的体会，以及对我所了解的无意识思维有关问题就此结束。总之，我们所观察到的在发明过程中所出现的无意识的种种情况，都将在数学之文化品格和心理学中放射光芒。
数学乃是一切科学的基础、工具和精髓，因为数学的内容和方法不仅要渗透到其他任何一个学科中去，而且要是真的没有了数学，则就无法想象其他任何学科的存在和发展了。尤其是我们谈到的数学之文化品格之无意识思维，会让我们更好地学习数学，了解数学，体会数学的本意，并实际的运用在我们日常生活之中，服务我们，方便我们。书中说到过的：对于那些当年接受过立足于数学之文化品格数学训练的学生来说，当他们后来真正成为哲学大师、著名律师或运筹帷幄的将帅时，可能早已把学生时代所学到的那些非实用性的数学知识忘得一干二净了。但那种铭刻于头脑中的数学精神和数学文化理念，却会长期的在他们的事业中发挥着重要作用。也就是说，他们当年所受到的数学训练，一只会在他们的生存方式和思维方式中潜在地起着根本性的作用，并且受用终身。

② 亨利·庞加莱的介绍

亨利·庞加莱1(Jules Henri Poincaré)是法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家，1854年4月29日生于法国南锡，1912年7月17日卒于巴黎。庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学、天体力学、数学物理、多复变函数论、科学哲学等许多领域。他被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。庞加莱在数学方面的杰出工作对20世纪和当今的数学造成极其深远的影响，他在天体力学方面的研究是牛顿之后的一座里程碑，他因为对电子理论的研究被公认为相对论的理论先驱。

③ 数学家庞加莱取得了哪些成就

庞加莱童年时期，庞加莱得到了母亲的悉心教导，将自己的写作以及表达能力发挥的淋漓尽致，那时的庞加莱身体已经不如同龄人的小孩那般健康，但是他的表现确实醋类拔萃的。自从入学后他的成绩几乎是门门第一，尤其是在数学方面，更是有惊人的造诣。这是庞加莱的故事中的学生时期的描述。庞加莱的故事大多数体现在他在数学上的超强的造诣。各类数学学科的分支都被的掌握的甚是全面，可以算得上是博大精深。在具备智商这一高能条件后，一些自身的原因对于他的创造性的发现产生了局限性。比如他的肢体协调能力以及视力都不是很好，甚至是比正常人要低的低。但是就在这种先天不足的条件下，庞加莱顺利的拿到了学位，并且获得了初级讲师的职位。在任教的这段期间，他凭借数学物理和概率论，以及天体力学和天文学的的成就当上了主席。这是庞加莱的故事中对于庞加莱的成就的描述后来庞加莱运用了他发明的相图理论，最终发现了混沌理论。标志着天体力学的一个新时代的诞生。为科学界做出了不可磨灭的贡献。 庞加莱的成就说到庞加莱的成就，我们最熟悉的就是他最后一个全能科学家的称号，而这个称号的由来是如何的则鲜有人知。作为法国近代以来最为著名的科学家，庞加莱的学问不仅涉及数学中的数学基础、代数、几何等等分支领域，而且庞加莱还将研究的触角伸向了物理学领域并且丰富并深化了洛伦兹的理论，也为之后爱因斯坦提出相对论提供了契机。

④ 法国数学家庞加莱取得了哪些重大成就

提及庞加莱关于数学创造，就不得不说起组合拓扑学。他曾在6篇论文里创造了组合拓扑学，并且，通过引进贝蒂数、挠系数和基本群等一些概念，创造流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等工具，并且凭借这些概念成立了欧拉—庞加莱公式，并对流形的同调对偶定理进行了证明。除此之外，庞加莱对数学方面的创造还表现在数学物理和偏微分方程方面所取得的成就。庞加莱使用括去法(sweepingout)证明了狄利克雷问题解的存在。让人感到惊喜的是，后来竟然推动位势论发展到了一个新的阶段。在1881～1886年，庞加莱发表四篇论文，内容是关于微分方程所确定的积分曲线，从而创立了微分方程的定性理论。他指出可以依据解对极限环的关系，来判定解的稳定性。 1883年，庞加莱提出了一个定理，即一般的单值化定理，并且在同一年间，庞加莱进一步的去研究一般解析函数论，他的这一研究贡献巨大，它和皮卡定理组成了整函数及亚纯函数理论发展的

⑤ 亨利·庞加莱的研究方向

庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域，最重要的工作是在函数论方面。他早期的主要工作是创立自守函数理论（1878）。他引进了富克斯群和克莱因群，构造了更一般的基本域。他利用后来以他的名字命名的级数构造了自守函数，并发现这种函数作为代数函数的单值化函数的效用。
1883年，庞加莱提出了一般的单值化定理（1907年，他和克贝相互独立地给出完全的证明）。同年，他进而研究一般解析函数论，研究了整函数的亏格及其与泰勒展开的系数或函数绝对值的增长率之间的关系，它同皮卡定理构成后来的整函数及亚纯函数理论发展的基础。他又是多复变函数论的先驱者之一。
庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题，在1881～1886年发表的四篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文中，创立了微分方程的定性理论。他研究了微分方程的解在四种类型的奇点（焦点、鞍点、结点、中心）附近的性态。他提出根据解对极限环（他求出的一种特殊的封闭曲线）的关系，可以判定解的稳定性。
1885年，瑞典国王奥斯卡二世设立“n体问题”奖，引起庞加莱研究天体力学问题的兴趣。他以关于当三体中的两个的质量比另一个小得多时的三体问题的周期解的论文获奖，还证明了这种限制性三体问题的周期解的数目同连续统的势一样大。这以后，他又进行了大量天体力学研究，引进了渐进展开的方法，得出严格的天体力学计算技术。庞加莱这一工作究竟给N体问题的解决以及动力系统的研究带来巨大而无比深刻的影响：第一，庞加莱证明了对于N体问题在N大于二时，不存在统一的第一积分（uniform first integral）。也就是说即使是一般的三体问题，也不可能通过发现各种不变量最终降低问题的自由度， 把问题化简成更简单可以解出来的问题，这打破了当时很多人希望找到三体问题一般的显式解的幻想。在一百年后学习微分方程课的人大多在第二个星期就从老师那里知道绝大多数微分方程是没法找到定量的解的，但一般都能从定性理论中了解更多解的性质，甚至可以通过计算机“看到”解的形状行为。而在庞加莱的年代，大多数数学家更热衷于用代数或幂函数方法找到解，使用定性方法和几何方法来讨论微分方程就是起源于庞加莱对于N体问题的研究，这彻底改变人们研究微分方程的基本想法。第二，为了研究N体问题，庞加莱发明了许多全新的数学工具。例如他完整地提出了不变积分（invariant integrals) 的概念，并且使用它证明了著名的回归定理（recurrence theorem）。另一个例子是他为了研究周期解的行为，引进了第一回归映象（first return map）的概念，在后来的动力系统理论中被称为庞加莱映象。还有象特征指数（characteristic expontents），解对参数的连续依赖性（continuous dependence of solutions with respect to parameters）等等。所有这些都成为了现代微分方程和动力系统理论中的基本概念。第三，庞加莱通过研究所谓的渐近解（asymptotic solutions），同宿轨道 (homoclinic orbits) 和异宿轨道（hetroclinic orbits），发现即使在简单的三体问题中，在这样的同宿轨道或者异宿轨道附近，方程的解的状况会非常复杂，以至于对于给定的初始条件，几乎是没有办法预测当时间趋于无穷时，这个轨道的最终命运。事实上半个世纪后，后来的数学家们发现这种现象在一般动力系统中是常见的，他们把它叫做稳定流形（stable manifold）和不稳定流形（unstable manifold）正态相交（intersects transversally）所引起的同宿纠缠（homoclinic tangle），而这种对于轨道的长时间行为的不确定性，数学家和物理学家称之为混沌（chaos）。庞加莱的发现可以说是混沌理论的开创者。
庞加莱还开创了动力系统理论，1895年证明了“庞加莱回归定理”。他在天体力学方面的另一重要结果是，在引力作用下，转动流体的形状除了已知的旋转椭球体、不等轴椭球体和环状体外，还有三种庞加莱梨形体存在。
庞加莱对数学物理和偏微分方程也有贡献。他用括去法（sweepingout）证明了狄利克雷问题解的存在性，这一方法后来促使位势论有新发展。他还研究拉普拉斯算子的特征值问题，给出了特征值和特征函数存在性的严格证明。他在积分方程中引进复参数方法，促进了弗雷德霍姆理论的发展。
庞加莱对现代数学最重要的影响是创立组合拓扑学。1892年他发表了第一篇论文，1895～1904年，他在六篇论文中建立了组合拓扑学。他还引进贝蒂数、挠系数和基本群等重要概念，创造流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等工具，借助它们推广欧拉多面体定理成为欧拉—庞加莱公式，并证明流形的同调对偶定理。
庞加莱的思想预示了德·拉姆定理和霍奇理论。他还提出庞加莱猜想，在“庞加莱的最后定理”中，他把限制性三体问题的周期解的存在问题，归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题。
庞加莱在数论和代数学方面的工作不多，但很有影响。他的《有理数域上的代数几何学》一书开创了丢番图方程的有理解的研究。他定义了曲线的秩数，成为丢番图几何的重要研究对象。他在代数学中引进群代数并证明其分解定理。第一次引进代数中的左理想和右理想的概念。证明了李代数第三基本定理及坎贝尔—豪斯多夫公式。还引进李代数的包络代数，并对其基加以描述，证明了庞加莱—伯克霍夫—维特定理。
庞加莱对经典物理学有深入而广泛的研究，对狭义相对论的创立有贡献。早于爱因斯坦，庞加莱在1897年发表了一篇文章“The Relativity of Space”〈空间的相对性〉，其中已有狭义相对论的影子。1898年，庞加莱又发表《时间的测量》一文，提出了光速不变性假设。1902年，庞加莱阐明了相对性原理。1904年，庞加莱将洛伦兹给出的两个惯性参照系之间的坐标变换关系命名为‘洛伦兹变换’。再后来，1905年6月，庞加莱先于爱因斯坦发表了相关论文：《论电子动力学》。 他从1899年开始研究电子理论，首先认识到洛伦茨变换构成群（1904年），第二年爱因斯坦在创立狭义相对论的论文中也得出相同结果。
庞加莱的哲学著作《科学与假设》、《科学的价值》、《科学与方法》也有着重大的影响。他是约定主义哲学的代表人物，认为科学公理是方便的定义或约定，可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛盾。在数学上，他不同意罗素、希尔伯特的观点，反对无穷集合的概念，赞成潜在的无穷，认为数学最基本的直观概念是自然数，反对把自然数归结为集合论。这使他成为直觉主义的先驱者之一。
1905年，匈牙利科学院颁发一项奖金为10000金克朗的鲍尔约奖。这个奖是要奖给在过去25年为数学发展做出过最大贡献的数学家。由于庞加莱从1879年就开始从事数学研究，并在数学的几乎整个领域都做出了杰出贡献，因而此项奖又非他莫属。

⑥ 庞加莱关于数学创造的故事是怎样的

如果要在19世纪末到20世纪初这个时间段选出一名数学界的领袖人物，那么亨利·庞加莱一定会高票当选。庞加莱被后人评价为法国最伟大的数学家之一，对数学、物理、天体力学做出了很多创造性的贡献。他的工作对当今的数学造成了极其深远的影响。庞加莱出生在法国一个显赫世家，从小智力超常，据说这遗传自他父母的高智商。他接受知识极为迅速，口才也很流利，这让他在同龄人中鹤立鸡群。如果走进他住的小区，一定会听见邻居在教育自己的孩子：“你看看别人庞加莱，什么都会!家世好，智商高，也许庞加莱太出色了，上天也嫉妒，在他5岁的时候患了一场白喉病。这场病让他的喉头坏掉了，口头表达能力大幅下降，并且变得体弱多病。尽管如此，他还是热衷于玩游戏和舞蹈，没有变成宅在家里的书呆子。庞加莱8岁的时候进入南锡中学，他的优秀天赋在学校里展露无遗。liuxue86.com在南锡中学度过的11年里，庞加莱垄断了“优秀生”的头衔，每门功课都是优秀。他对数学的兴趣也是从学校里开始的。庞加莱的数学老师将他描述为“数学怪兽”，在法国中学生的数学竞赛里，庞加莱把一等奖拿到手软。他甚至养成了一边散步一边在脑中解题的习惯，这种高级解题技能连纸和笔都不用，真是低碳又环保。1870年由于普法战争，庞加莱不得不中断学业。在不上课的日子里，他也没有停止学习。学业恢复后，他以第一名的成绩考入了巴黎综合理工学院。据说，在他的入学考试上，学校还特意设计了一道难度系数非常高的数学题来考他，当然，这对他来说只是小菜一碟。

⑦ 介绍一下庞加莱猜想

庞加莱猜想
一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为

了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数学家

的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞

加莱猜想，就是其中的一个。

1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学猜想:在一个三维空间中，假如每一条封闭

的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。提出这个猜想后，庞加莱一度认为，自己

已经证明了它。但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。

20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然，英国数学家怀特黑德（Whitehead）对这

个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文。失之桑榆、收之东隅的是，

在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，而这些特例，现在被统称为怀特黑德流形。

50年代到60年代之间，又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，著名的宾（R.Bing）、哈肯（

Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。帕帕奇拉克普罗斯是

1964年的维布伦奖得主，一名希腊数学家。因为他的名字超长超难念，大家都称呼他“帕帕”（Papa）。

在1948年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距离，直到被普林斯顿大学邀请做客。帕帕以证明了著名的

“迪恩引理”（Dehn's Lemma）而闻名于世，喜好舞文弄墨的数学家约翰·米尔诺（John Milnor）曾经

为此写下一段打油诗:“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得

毫不费力。”然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却折在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大学流传着一

个故事。直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位

数学家朋友，然而，只是翻了几页，那位数学家就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，最后选择了隐

忍不言。

这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究，虽然没能产生他们所期待的结果，但是，却因此发展出了低维拓

扑学这门学科。

一次又一次尝试的失败，使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。然而，因为它是几何拓扑研究

的基础，数学家们又不能将其撂在一旁。这时，事情出现了转机。

1966年菲尔茨奖得主斯梅尔（Smale），在60年代初想到了一个天才的主意:如果三维的庞加莱猜想难以解

决，高维的会不会容易些呢？1960年到1961年，在里约热内卢的海滨，经常可以看到一个人，手持草稿纸

和铅笔，对着大海思考。他，就是斯梅尔。1961年的夏天，在基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自

己对庞加莱猜想的五维和五维以上的证明，立时引起轰动。

10多年之后的1983年，美国数学家福里德曼（Freed man）将证明又向前推动了一步。在唐纳森工作的基

础上，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖。但是，再向前推进的工作，又停滞了。

拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展，有人开始想到了其他的工具。瑟斯顿（Thruston）就是其中

之一。他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，并因此获得了1983年的菲尔茨奖。

然而，庞加莱猜想，依然没有得到证明。

人们在期待一个新的工具的出现。

“就像费马大定理，当谷山志村猜想被证明后，尽管人们还看不到具体的前景，但所有的人心中都有数了

。因为，一个可以解决问题的工具出现了。”清华大学数学系主任文志英说。

可是，解决庞加莱猜想的工具在哪里？

工具有了

里查德·汉密尔顿，生于1943年，比丘成桐大6岁。虽然在开玩笑的时候，丘成桐会戏谑地称这位有30多

年交情、喜欢冲浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”，但提起他的数学成就，却只有称赞和惺惺相惜

。

1972年，丘成桐和李伟光合作，发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。丘成桐用这

种方法证明了卡拉比猜想，并因此获得菲尔茨奖。1979年，在康奈尔大学的一个讨论班上，当时是斯坦福

大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。“那时候，汉密尔顿刚刚在做Ricci流，别人都不晓得，跟我

说起。我觉得这个东西不太容易做。没想到，1980年，他就做出了第一个重要的结果。”丘成桐说，“于

是，我跟他讲，可以用这个结果来证明庞加莱猜想，以及三维空间的大问题。”

Ricci流，以意大利数学家Gregorio Ricci命名的一个方程。用它可以完成一系列的拓扑手术，构造几何

结构，把不规则的流形变成规则的流形，从而解决三维的庞加莱猜想。看到这个方程的重要性后，丘成桐

立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究Ricci流。其中，就包括他的第一个来自中国大陆的学生曹

怀东。

第一次见到曹怀东，是在超弦大会丘成桐关于庞加莱猜想的报告上。虽然那一段时间，几乎所有的媒体都

在找曹怀东，但穿着件颜色鲜艳的大T恤的他，在会场里走了好几圈，居然没有人认出。这也难怪。绝大

多数的数学家，依然是远离公众视线的象牙塔中人，即使是名动天下如威滕（Witten），坐在后排，俨然

也是大隐隐于市的模样。

1982年，曹怀东考取丘成桐的博士。1984年，当丘成桐转到加州大学圣迭戈分校任教时，曹怀东也跟了过

来。但是，他的绝大多数时间，是与此时亦从康奈尔大学转至圣迭戈分校的汉密尔顿“泡在一起”。这时

，丘成桐的4名博士生，全部在跟随汉密尔顿的研究方向。其中做得最优秀的，是施皖雄。他写出了很多

非常漂亮的论文，提出很多好的观点，可是，因为个性和环境的原因，在没有拿到大学的终身教职后，施

皖雄竟然放弃了做数学。提起施皖雄，时至今日，丘成桐依然其辞若有憾焉。一种虽然于事无补但惹人深

思的假设是，如果，当时的施皖雄坚持下去，今天关于庞加莱猜想的故事，是否会被改写？

在使用Ricci流进行空间变换时，到后来，总会出现无法控制走向的点。这些点，叫做奇点。如何掌握它

们的动向，是证明三维庞加莱猜想的关键。在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后，1993

年，汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文。便在此时，丘成桐隐隐感觉到，解决庞加莱猜想的那

一刻，就要到来了。

⑧ 五岁患病，语言障碍，能和爱因斯坦争论的法国数学家是谁

他5岁患白喉病，喉头坏死，语言表达能力有障碍。但是数学老师却形容他是“数学怪兽”，囊括了法国高中数学竞赛所有第一名。后“宣战”爱因斯坦，二人互相杠上，最后爱因斯坦承认他是相对论先驱之一。为表达他对数学界的贡献，月球上的火山口以他名字命名，一颗小行星也以他名字命名！

有人说不是谁都能成为数学家的，那么要想成为更加全能的数学家，难度就更大了。

不过数学研究史上，也有很多全能的数学家，他们在研究数学的同时，在其他的领域上也有着非常高的造诣，像早期牛顿等人，都属于这类全能的数学巨匠。

在他生活的时期，居然能研究出这么多的新领域，而且他在研究中对于数学工具，很多新理念的应用，也让人惊叹不已，估计人们也跟不上庞加莱他的思维，自然就很难重现他当初的一些研究。

有的时候，全才也不是那么好做的，并非谁都能像牛顿一样，在各个领域都能有那么高的成就。

庞加莱他的能力特点非常接近牛顿，但俩人还是存在着一些差距，庞加莱学说的难度较大，完成度不够高，他倒是给后人指出了不少方向，可人们按照他给出的方向去研究，也会非常艰难，这也是他与黎曼等人存在差距的原因。

涉及的面太广，往往就很难专门在一个领域里面深入下去，再加上庞加莱前期更多是涉及到工程这些具体的项目研究，在理论上用的时间就少了些。

可他的天赋，与牛顿一样都是百年难遇的，至今他还有很多的研究，没有能被后人完整继承开发出来。