Ⅰ 羅巴切夫斯基在數學方面的成果是什麼
尼古拉斯?伊萬諾維奇?羅巴切夫斯基（1792年月1日～1856年2月24日），俄羅斯數學家，非歐幾何的早期發現人之一。1856年12月24日卒於喀山。1807年入喀山大學學習，1811年獲博士學位並留校工作。1816年任副教授，1822年任教授。還曾任物理數學系主任、圖書館館長和喀山大學校長等職。
1893年，在喀山大學樹立起了世界上第一個為數學家雕塑的塑像。這位數學家就是俄國的偉大學者、非歐幾何的重要創始人——羅巴切夫期基。
非歐幾何學的重大意義
非歐幾何是人類認識史上一個富有創造性的偉大成果，它的創立，不僅帶來了近百年來數學的巨大進步，而且對現代物理學、天文學以及人類時空觀念的變革都產生了深遠的影響。
不過，這一重要的數學發現在羅巴切夫斯基提出後相當長的一段時間內，不但沒能贏得社會的承認和贊美，反而遭到種種歪曲、非難和攻擊，使非歐幾何這一新理論遲遲得不到學術界的公認。
羅巴切夫斯基是在嘗試解決歐氏第五公設問題的過程中，從失敗走上他的發現之路的。歐氏第五公設問題是數學史上最古老的著名難題之一，它是由古希臘學者最先提出來的。
公元前三世紀，希臘亞歷山大里亞學派的創始者歐幾里得集前人幾何研究之大成，編寫了數學發展史上具有極其深遠影響的數學巨著《幾何原本》。
這部著作的重要意義在於，它是用公理法建立科學理論體系的最早典範。在這部著作中，歐幾里得為推演出幾何學的所有命題，一開頭就給出了五個公理(適用於所有科學)和五個公設(只應用於幾何學)，作為邏輯推演的前提。《幾何原本》的注釋者和評述者們對五個公理和前四個公設都是很滿意，唯獨對第五個公設（即平行公理）提出了質疑。
第五公設是論及平行線的，它說的是：如果一直線和兩直線相交，且所構成的兩個同側內角之和小於兩直角，那麼，把這兩直線延長，它們一定在那兩內角的一側相交。數學家們並不懷疑這個命題的真實性，而是認為它無論在語句的長度，還是在內容上都不大像是個公設，而倒像是個可以證明的定理，只是由於歐幾里得沒能找到它的證明，才不得不把它放在公設之列。
為了給出第五公設的證明，完成歐幾里得沒能完成的工作，自公元前3世紀起到19世紀初，數學家們投入了無窮無盡的精力，他們幾乎嘗試了各種可能的方法，但都遭到了失敗。
羅巴切夫斯基是從1815年著手研究平行線理論的。開始他也是循著前人的思路，試圖給出第五公設的證明。在保存下來的他的學生聽課筆記中，就記有他在1816～1817學年度在幾何教學中給出的一些證明。可是，很快他便意識到自己的證明是錯誤的。
前人和自己的失敗從反面啟迪了他，使他大膽思索問題的相反提法：可能根本就不存在第五公設的證明。於是，他便調轉思路，著手尋求第五公設不可證的解答。這是一個全新的，也是與傳統思路完全相反的探索途徑。羅巴切夫斯基正是沿著這個途徑，在試證第五公設不可證的過程中發現了一個嶄新的幾何世界。
那麼，羅巴切夫斯基是怎樣證得第五公設不可證的呢？又是怎樣從中發現新幾何世界的呢？原來他創造性地運用了處理復雜數學問題常用的一種邏輯方法——反證法。
這種反證法的基本思想是，為證「第五公設不可證」，首先對第五公設加以否定，然後用這個否定命題和其它公理公設組成新的公理系統，並由此展開邏輯推演。
首先假設第五公設是可證的，即第五公設可由其它公理公設推演出來。那麼，在新公理系統的推演過程中一定會出現邏輯矛盾，至少第五公設和它的否定命題就是一對邏輯矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反駁了「第五公設可證」這一假設，從而也就間接證得「第五公設不可證」。
依照這個邏輯思路，羅巴切夫斯基對第五公設的等價命題——普列菲爾公理「過平面上直線外一點，只能引一條直線與已知直線不相交」作以否定，得到否定命題「過平面上直線外一點，至少可引兩條直線與已知直線不相交」，並用這個否定命題和其它公理公設組成新的公理系統展開邏輯推演。
在推演過程中，他得到一連串古怪、非常不合乎常理的命題。但是，經過仔細審查，卻沒有發現它們之間存在任何羅輯矛盾。於是，遠見卓識的羅巴切夫斯基大膽斷言，這個「在結果中並不存在任何矛盾」的新公理系統可構成一種新的幾何，它的邏輯完整性和嚴密性可以和歐幾里得幾何相媲美。而這個無矛盾的新幾何的存在，就是對第五公設可證性的反駁，也就是對第五公設不可證性的邏輯證明。由於尚未找到新幾何在現實界的原型和類比物，羅巴切夫斯基慎重地把這個新幾何稱之為「想像幾何」。
非歐幾何的誕生
1826年2月23日，羅巴切夫斯基於喀山大學物理數學系學術會議上，宣讀了他的第一篇關於非歐幾何的論文：《幾何學原理及平行線定理嚴格證明的摘要》。這篇首創性論文的問世，標志著非歐幾何的誕生。然而，這一重大成果剛一公諸於世，就遭到正統數學家的冷漠和反對。
參加2月23日學術公議的全是數學造詣較深的專家，其中有著名的數學家、天文學家西蒙諾夫，有後來成為科學院院士的古普費爾，以及後來在數學界頗有聲望的博拉斯曼。在這些人的心目中，羅巴切夫斯基是一位很有才華的青年數學家。
可是，出乎他們的意料，這位年輕的教授在簡短的開場白之後，接著說的全是一些令人莫明其妙的話，諸如三角形的內角和小於兩直角，而且隨著邊長增大而無限變小，直至趨於零；銳角一邊的垂線可以和另一邊不相交，等等。
這些命題不僅離奇古怪，與歐幾里得幾何相沖突，而且還與人們的日常經驗相背離。然而，報告者卻認真地、充滿信心地指出，它們屬於一種邏輯嚴謹的新幾何，和歐幾里得幾何有著同等的存在權利。這些古怪的語言，竟然出自一個頭腦清楚、治學嚴謹的數家教授之口，不能不使與會者們感到意外。他們先是表現現一種疑惑和驚呆，不多一會兒，便流露出各種否定的表情。
宣講論文後，羅巴切夫斯基誠懇地請與會者討論，提出修改意見。可是，誰也不肯作任何公開評論，會場上一片冷漠。一個具有獨創性的重大發現作出了，那些最先聆聽到發現者本人講述發現內容的同行專家，卻因思想上的守舊，不僅沒能理解這一發現的重要意義，反而採取了冷談和輕慢的態度，這實在是一件令人遺憾的事情。
會後，系學術委員會委託西蒙諾夫、古普費爾和博拉斯曼組成三人鑒定小組，對羅巴切夫斯基的論文作出書面鑒定。他們的態度無疑是否定的，但又遲遲不肯寫出書面意見，以致最後連文稿也給弄丟了。
羅巴切夫斯基應對攻擊
羅巴切夫斯基的首創性論文沒能引起學術界的注意和重視，論文本身也似石沉大海，不知被遺棄何處。但他並沒有因此灰心喪氣，而是頑強地繼續獨自探索新幾何的奧秘。1829年，他又撰寫出一篇題為《幾何學原理》的論文。這篇論文重現了第一篇論文的基本思想，並且有所補充和發展。此時，羅巴切夫斯基已被推選為喀山大學校長，可能出自對校長的「尊敬」，《喀山大學通報》全文發表了這篇論文。
1832年，根據羅巴切夫斯基的請求，喀山大學學術委員會把這篇論文呈送彼得堡科學院審評。科學院委託著名數學家奧斯特羅格拉茨基院士作評定。奧斯特羅格拉茨基是新推選的院士，曾在數學物理、數學分析、力學和天體力學等方面有過卓越的成就，在當時學術界有很高的聲望。可惜的是，就是這樣一位傑出的數學家，也沒能理解羅巴切夫斯基的新幾何思想，甚至比喀山大學的教授們更加保守。
如果說喀山大學的教授們對羅巴切夫斯基本人還是很「寬容」的話，那麼，奧斯特羅格拉茨基則使用極其挖苦的語言，對羅巴切夫斯基作了公開的指責和攻擊。同年11月7日，他在給科學院的鑒定書中一開頭就以嘲弄的口吻寫道：「看來，作者旨在寫出一部使人不能理解的著作。他達到自己的目的。」接著，對羅巴切夫斯基的新幾何思想進行了歪曲和貶低。最後粗暴地斷言：「由此我得出結論，羅馬切夫斯基校長的這部著作謬誤連篇，因而不值得科學院的注意。」
這篇論文不僅引起了學術界權威的惱怒，而且還激起了社會上反動勢力的敵對叫囂。名叫布拉切克和捷列內的兩個人，以匿名在《祖國之子》雜志上撰文，公開指名對羅巴切夫斯基進行人身攻擊。
針對這篇污辱性的匿名文章，羅巴切夫斯基撰寫了一篇反駁文章。但《祖國之子》雜志卻以維護雜志聲譽為由，將羅巴切夫斯基的文章扣壓下來，一直不予發表。對此，羅巴切夫斯基極為氣憤。
羅巴切夫斯基在孤境中奮斗終生
羅巴切夫斯基開創了數學的一個新領域，但他的創造性工作在生前始終沒能得到學術界的重視和承認。就在他去世的前兩年，俄國著名數學家布尼雅可夫斯基還在其所著的《平行線》一書中對羅巴切夫斯基發難，他試圖通過論述非歐幾何與經驗認識的不一致性，來否定非歐幾何的真實性。
英國著名數學家莫爾甘對非歐幾何的抗拒心裡表現得就更加明顯了，他甚至在沒有親自研讀非歐幾何著作的情況下就武斷地說：「我認為，任何時候也不會存在與歐幾里得幾何本質上不同的另外一種幾何。」莫爾甘的話代表了當時學術界對非歐幾何的普遍態度。
在創立和發展非歐幾何的艱難歷程上，羅巴切夫斯基始終沒能遇到他的公開支持者，就連非歐幾何的另一位發現者德國的高斯也不肯公開支持他的工作。
高斯是當時數學界首屈一指的學學巨匠，負有「歐洲數學之王」的盛名，早在1792年，也就是羅巴切夫斯基誕生的那一年，他就已經產生了非歐幾何思想萌芽，到了1817年已達成熟程度。他把這種新幾何最初稱之為「反歐幾何」，後稱「星空幾何」，最後稱「非歐幾何」。但是，高斯由於害怕新幾何會激起學術界的不滿和社會的反對，會由此影響他的尊嚴和榮譽，生前一直沒敢把自己的這一重大發現公之於世，只是謹慎地把部分成果寫在日記和與朋友的往來書信中。
當高斯看到羅巴切夫斯基的德文非歐幾何著作《平行線理論的幾何研究》後，內心是矛盾的，他一方面私下在朋友面前高度稱贊羅巴切夫斯基是「俄國最卓越的數學家之一」，並下決心學習俄語，以便直接閱讀羅巴切夫斯基的全部非歐幾何著作；另一方面，卻又不準朋友向外界泄露他對非歐幾何的有關告白，也從不以任何形式對羅巴切夫斯基的非歐幾何研究工作加以公開評論；他積極推選羅巴切夫斯基為哥廷根皇家科學院通訊院士，可是，在評選會和他親筆寫給羅巴切夫斯基的推選通知書中，對羅巴切夫斯基在數學上的最卓越貢獻－－創立非歐幾何卻避而不談。
高斯憑任在數學界的聲望和影響，完全有可能減少羅巴切夫斯基的壓力，促進學術界對非歐幾何的公認。然而，在頑固的保守勢力面前他卻喪失了斗爭的勇氣。高斯的沉默和軟弱表現，不僅嚴重限制了他在非歐幾何研究上所能達到的高度，而且客觀上也助長了保守勢力對羅巴切夫斯基的攻擊。
晚年的羅巴切夫斯基心情更加沉重，他不僅在學術上受到壓制，而且在工作上還受到限制。按照當時俄國大學委員會的條例，教授任職的最高斯限是30年，依照這個條例，1846年羅巴切夫斯基向人民教育部提出呈文，請求免去他在數學教研室的工作，並推薦讓位給他的學生波波夫。
人民教育部早就對不順從他們意志辦事的羅巴切夫斯基抱有成見，但又找不到合適的機會免去他在喀山大學的校長職務。羅巴切夫斯基辭去教授職務的申請正好被他們用以作為借口，不僅免去了他主持教研室的工作，而且還違背他本人的意願，免去了他在喀山大學的所有職務。被迫離開終生熱愛的大學工作，使羅巴切夫斯基在精神上遭到嚴重打擊。他對人民教育部的這項無理決定，表示了極大的憤慨。
家庭的不幸格外增加了他的苦惱。他最喜歡的、很有才華的大兒子因患肺結核醫治無效死去，這使他十分傷感。他的身體也變得越來越多病，眼睛逐漸失明，最後終於什麼也看不見了。
1856年2月12日，偉大的學者羅巴切夫斯基在苦悶和抑鬱中走完了他生命的最後一段路程。喀山大學師生為他舉行了隆重的追悼會。在追悼會上，他的許多同事和學生高度贊揚他在建設喀山大學、提高民族教育水平和培養數學人材等方面的卓越功績，可是誰也不提他的非歐幾何研究工作，因為此時，人們還普遍認為非歐幾何純屬「無稽之談」。
羅巴切夫斯基為非歐幾何的生存和發展奮鬥了三十多年，他從來沒有動搖過對新幾何遠大前途的堅定信念。為了擴大非歐幾何的影響，爭取早日取得學術界的承認，除了用俄文外，他還用法文、德文發表了自己的著作，同時還精心設計了檢驗大尺度空間幾何特性的天文觀測方案。
不僅如此，他還發展了非歐幾何的解析和微分部分，使之成為一個完整的、有系統的理論體系。在身患重病，卧床不起的困境下，他也沒停止對非歐幾何的研究。他的最後一部巨著《論幾何學》，就是在他雙目失明，臨去世的前一年，口授他的學生完成的。
歷史是最公允的，因為它終將會對各種思想、觀點和見解作出正確的評價。1868年，義大利數學家貝特拉米發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐氏空間的曲面上實現。這就是說，非歐幾何命題可以「翻譯」成相應的歐氏幾何命題，如果歐氏幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。
直到這時，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學術界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨創性研究也由此得到學術界的高度評價和一致贊美，這時的羅巴切夫斯基則被人們贊譽為「幾何學中的哥白尼」。
羅巴切夫斯基在無窮級數論、積分學和概率論等方面，也有出色的工作。他還是一位傑出的教育家和管理者，創立了喀山數學學派和喀山數學教育學派。代表作有《幾何學基礎》（1829～1830）、《並行線理論的幾何研究》（1840）等。
在科學探索的征途上，一個人經得住一時的挫折和打擊並不難，難的是勇於長期甚至終生在逆境中奮斗。羅巴切夫斯基就是在逆境中奮斗終生的勇士。
同樣，一名科學工作者，特別是聲望較高的學術專家，正確識別出那些已經成熟的或具有明顯現實意義的科這成果並不難，難的是及時識別出那些尚未成熟或現實意義尚未顯露出來的科學成果。我們每一位科學工作者，既應當作一名勇於在逆境中頑強點頭的科學探索者，又應當成為一個科學領域中新生事物的堅定支持者。
Ⅱ 小學四年級500字數學教學成果
重復著昨天的故事」,但每天的故事都孕育著大量的教育契機.如果一個班主任擁有了發現的眼睛、善思的頭腦、勤奮的雙手,把每一個教育故事、每一個教育問題、每一個教育靈感記錄下來,在反思中凝練出其中的教育智慧,這名班主任就離優秀班主任並不遙遠,他會發現自己正走上一條班主任的成功之路,他的班主任工作也就擁有了全新的狀態和快樂.\x0d無數優秀班主任的成長經歷證明,反思是一個班主任專業成長的關鍵.做一名反思型的班主任是班主任自覺提升專業化發展水平的重要途徑.\x0d二、班主任反思總結的形式\x0d從反思的形式來看,班主任的反思可分為三類：一是「對實踐的反思」,二是「實踐中反思」,三是「為實踐反思」.「對實踐的反思」是指反思發生在實踐之後,「實踐中反思」指的是反思發生在實踐的過程中,而「為實踐反思」則是前兩種反思的預期結果,即「實踐後反思」與「實踐中反思」的目的最終形成超前性的反思,從而形成在實踐之前的三思而行的良好習慣.因此,班主任的班級管理活動,通過「實踐中的反思」來觀察所發生的行為,就好像自己是局外人,以此來理解自己的行為.而後班主任又進行「對實踐的反思」和「為實踐反思」,以分析所發生的班級管理活動,從而不斷改善班級管理行為,不斷指導未來的班級管理工作.這樣在經過一段較長時間的反思後,班主任就會成為一個自覺而有效的反思者,從而不斷提升班主任的能力素質和專業化水平.\x0d1.樹立反思意識\x0d很多班主任經常為找不到反思的內容而苦惱.其實,你面對的每一個孩子、一個故事、一次活動,你接待的每一個家長,你在班級作出的每一項決策,甚至班級里的一個微笑都能讓我們反思.在我們的教育教學生活中,不是缺少可以反思的對象,而是我們缺乏發現的眼睛,沒有樹立反思的意識.當你樹立反思意識後,你會發現,反思可以無處不在、無時不有.\x0d有一位班主任初一時發現班裡女生十分活躍,大部分活動都是女孩主持,男孩卻相對沉默得多.在年級學生會幹部競選時,她特地動員男孩參加,但收效不大,班內20幾個報名學生中,男孩只有5個.錄老師再深入調查,發現這個問題很有普遍性,初中,高中,包括校學生會都是女孩佔多數.她想,在中學的6年裡,如果聽任男孩子在集體活動中沉默,他們就會由開始的不屑於做,發展到不習慣做,最終不敢做了,這對他們性格的形成和今後的發展,都是不可彌補的缺憾.於是,她就開展了性別差異的系列教育活動.通過主題班會,
Ⅲ 南朝祖沖之撰寫的數學論文集（ ），是當時數學領域的最高成就，直到唐代還被用作數學課本。
祖沖之撰寫的數學論文集（《綴術》 ），是當時數學領域的最高成就，直到唐代還被用作數學課本。
Ⅳ "一切數學成果可建立在集合論基礎上"什麼意思
1900年前後,在數學的集合論中出現了三個著名悖論，理發師悖論就是羅素悖論的一種通俗表達方式。此外還有康托爾悖論、布拉利—福爾蒂悖論。這些悖論特別是羅素悖論，在當時的數學界與邏輯界內引起了極大震動。觸發了數學的第三次危機。
讓我們先了解下什麼是悖論。悖論(paradox)來自希臘語「para+dokein」，意思是「多想一想」。這個詞的意義比較豐富，它包括一切與人的直覺和日常經驗相矛盾的數學結論，那些結論會使我們驚異無比。 悖論是自相矛盾的命題。即如果承認這個命題成立，就可推出它的否定命題成立；反之，如果承認這個命題的否定命題成立，又可推出這個命題成立 如果承認它是真的，經過一系列正確的推理，卻又得出它是假的；如果承認它是假的，經過一系列正確的推理，卻又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖論，它們震撼了邏輯和數學的基礎，激發了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來許多思想家和愛好者的注意力。解決悖論難題需要創造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。
悖論有三種主要形式：
1．一種論斷看起來好像肯定錯了，但實際上卻是對的（佯謬）。
2．一種論斷看起來 好像肯定是對的，但實際上卻錯了（似是而非的理論）。
3．一系列推理看起來好像無懈可擊，可是卻導致邏輯上自相矛盾。
把所有集合分為2類，第一類中的集合以其自身為元素，第二類中的集合不以自身為元素，假令第一類集合所組成的集合為P，第二類所組成的集合為Q，於是有：
P={A∣A∈A}
Q={A∣A￠A}（￠：不屬於的符號，因為實在找不到）
問，Q∈P 還是 Q∈Q？
這就是著名的「羅素悖論」。羅素悖論還有一些較為通俗的版本，如理發師悖論等。
十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。 「一切數學成果可建立在集合論基礎上」 這一發現使數學家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：「………藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……」
可是，好景不長。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。羅素的這條悖論使集合理論產生了危機。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。德國的著名邏輯學家弗里茲在他的關於集合的基礎理論完稿付印時，收到了羅素關於這一悖論的信。他立刻發現，自己忙了很久得出的一系列結果卻被這條悖論攪得一團糟。他只能在自己著作的末尾寫道：「一個科學家所碰到的最倒霉的事，莫過於是在他的工作即將完成時卻發現所乾的工作的基礎崩潰了。」
1874年，德國數學家康托爾創立了集合論，很快滲透到大部分數學分支，成為它們的基礎。到19世紀末，全部數學幾乎都建立在集合論的基礎之上了。就在這時，集合論中接連出現了一些自相矛盾的結果，特別是1902年羅素提出的理發師故事反映的悖論，它極為簡單、明確、通俗。於是，數學的基礎被動搖了，這就是所謂的第三次「數學危機」。
羅素的悖論發表之後，接著又發現一系列悖論（後來歸入所謂語義悖論）：
Ⅳ "一切數學成果可建立在集合論基礎上"什麼意思
1900年前後,在數學的集合論中出現了三個著名悖論,理發師悖論就是羅素悖論的一種通俗表達方式.此外還有康托爾悖論、布拉利—福爾蒂悖論.這些悖論特別是羅素悖論,在當時的數學界與邏輯界內引起了極大震動.觸發了數學的第三次危機.
讓我們先了解下什麼是悖論.悖論(paradox)來自希臘語「para+dokein」,意思是「多想一想」.這個詞的意義比較豐富,它包括一切與人的直覺和日常經驗相矛盾的數學結論,那些結論會使我們驚異無比.悖論是自相矛盾的命題.即如果承認這個命題成立,就可推出它的否定命題成立；反之,如果承認這個命題的否定命題成立,又可推出這個命題成立
如果承認它是真的,經過一系列正確的推理,卻又得出它是假的；如果承認它是假的,經過一系列正確的推理,卻又得出它是真的.古今中外有不少著名的悖論,它們震撼了邏輯和數學的基礎,激發了人們求知和精密的思考,吸引了古往今來許多思想家和愛好者的注意力.解決悖論難題需要創造性的思考,悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念.
悖論有三種主要形式：
1．一種論斷看起來好像肯定錯了,但實際上卻是對的（佯謬）.
2．一種論斷看起來
好像肯定是對的,但實際上卻錯了（似是而非的理論）.
3．一系列推理看起來好像無懈可擊,可是卻導致邏輯上自相矛盾.
把所有集合分為2類,第一類中的集合以其自身為元素,第二類中的集合不以自身為元素,假令第一類集合所組成的集合為P,第二類所組成的集合為Q,於是有：
P={A∣A∈A}
Q={A∣A￠A}（￠：不屬於的符號,因為實在找不到）
問,Q∈P
還是
Q∈Q?
這就是著名的「羅素悖論」.羅素悖論還有一些較為通俗的版本,如理發師悖論等.
十九世紀下半葉,康托爾創立了著名的集合論,在集合論剛產生時,曾遭到許多人的猛烈攻擊.但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了,並且獲得廣泛而高度的贊譽.數學家們發現,從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈.因而集合論成為現代數學的基石.「一切數學成果可建立在集合論基礎上」
這一發現使數學家們為之陶醉.1900年,國際數學家大會上,法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：「………藉助集合論概念,我們可以建造整個數學大廈……今天,我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……」
可是,好景不長.1903年,一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的!這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論.羅素的這條悖論使集合理論產生了危機.它非常淺顯易懂,而且所涉及的只是集合論中最基本的東西.所以,羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動.德國的著名邏輯學家弗里茲在他的關於集合的基礎理論完稿付印時,收到了羅素關於這一悖論的信.他立刻發現,自己忙了很久得出的一系列結果卻被這條悖論攪得一團糟.他只能在自己著作的末尾寫道：「一個科學家所碰到的最倒霉的事,莫過於是在他的工作即將完成時卻發現所乾的工作的基礎崩潰了.」
1874年,德國數學家康托爾創立了集合論,很快滲透到大部分數學分支,成為它們的基礎.到19世紀末,全部數學幾乎都建立在集合論的基礎之上了.就在這時,集合論中接連出現了一些自相矛盾的結果,特別是1902年羅素提出的理發師故事反映的悖論,它極為簡單、明確、通俗.於是,數學的基礎被動搖了,這就是所謂的第三次「數學危機」.
羅素的悖論發表之後,接著又發現一系列悖論（後來歸入所謂語義悖論）：
Ⅵ 中國古代數學的成就
中國古代數學成就非常突出，有很多項世界之最：
中國是世界上最早採用了十進位制的國家，距今4000年左右的陝西、山東、上海的出土文物中除表示個位的數字外，已經有10、20、30這樣的記號，比古埃及早1000多年。
殷商時已經有了四則運算，春秋戰國時正整數乘法口訣「九九歌」已形成，從此「九九歌」成為普及數學知識的基礎之一，一直延續至今。
在計算工具方面，殷商時就發明了「算籌」，算籌是圓形小竹棍，以後有了骨制、鐵制的。以算籌表示數目，有縱、橫兩種形式，如「2」可表示為「=」或「Ⅱ」。
勾股定理相傳是在商代由商高發現，比畢達哥拉斯早500多年。
公元前1世紀的《周髀算經》和東漢時期的《九章算術》是最著名的中國古代數學著作。
算盤的最早記載是公元190年。明清兩代，算盤成為當時工商業貿易中不可缺少的工具。算盤攜帶方便，運算準確迅速，即便是現在，仍發揮著巨大作用。
三國時期，劉徽運用割圓術求圓周率π=3.1416。南北朝時期的數學家祖沖之又將圓周率進一步精確到3.1415926～3.1415927之間。
唐代僧一行創立了不等間距二次內插法，王孝通得到求解三次方程的方法；宋元時期得到關於高次方程組的求解法一次同餘式解法。這些成果都處於當時的領先地位。
Ⅶ 中國古代的數學成就
《九章算術》在中國古代數學發展過程中佔有非常重要的地位。它經過許多人整理而成，大約成書於東漢時期。全書共收集了246個數學問題並且提供其解法，主要內容包括分數四則和比例演算法、各種面積和體積的計算、關於勾股測量的計算等。在代數方面，《九章算術》在世界數學史上最早提出負數概念及正負數加減法法則；現在中學講授的線性方程組的解法和《九章算術》介紹的方法大體相同。注重實際應用是《九章算術》的一個顯著特點。該書的一些知識還傳播至印度和阿拉伯，甚至經過這些地區遠至歐洲。
《九章算術》標志以籌算為基礎的中國古代數學體系的正式形成。
中國古代數學在三國及兩晉時期側重於理論研究，其中以趙爽與劉徽為主要代表人物。
趙爽是三國時期吳人，在中國歷史上他是最早對數學定理和公式進行證明的數學家之一，其學術成就體現於對《周髀算經》的闡釋。在《勾股圓方圖注》中，他還用幾何方法證明了勾股定理，其實這已經體現「割補原理」的方法。用幾何方法求解二次方程也是趙爽對中國古代數學的一大貢獻。三國時期魏人劉徽則注釋了《九章算術》，其著作《九章算術注》不僅對《九章算術》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且系統地闡述了中國傳統數學的理論體系與數學原理，並且多有創造。其發明的「割圓術」（圓內接正多邊形面積無限逼近圓面積），為圓周率的計算奠定了基礎，同時劉徽還算出圓周率的近似值——「3927/1250（3.1416）」。他設計的「牟合方蓋」的幾何模型為後人尋求球體積公式打下重要基礎。在研究多面體體積過程中，劉徽運用極限方法證明了「陽馬術」。另外，《海島算經》也是劉徽編撰的一部數學論著。
南北朝是中國古代數學的蓬勃發展時期，計有《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》等算學著作問世。
祖沖之、祖暅父子的工作在這一時期最具代表性。他們著重進行數學思維和數學推理，在前人劉徽《九章算術注》的基礎上前進了一步。根據史料記載，其著作《綴術》（已失傳）取得如下成就：①圓周率精確到小數點後第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，並求得π的約率為22/7，密率為355/113，其中密率是分子分母在1000以內的最佳值；歐洲直到16世紀德國人鄂圖（Otto）和荷蘭人安托尼茲（Anthonisz）才得出同樣結果。②祖暅在劉徽工作的基礎上推導出球體體積公式，並提出二立體等高處截面積相等則二體體積相等（「冪勢既同則積不容異」）定理；歐洲17世紀義大利數學家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理……祖氏父子同時在天文學上也有一定貢獻。
隋唐時期的主要成就在於建立中國數學教育制度，這大概主要與國子監設立算學館及科舉制度有關。在當時的算學館《算經十書》成為專用教材對學生講授。《算經十書》收集了《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》等10部數學著作。所以當時的數學教育制度對繼承古代數學經典是有積極意義的。
公元600年，隋代劉焯在制訂《皇極歷》時，在世界上最早提出了等間距二次內插公式；唐代僧一行在其《大衍歷》中將其發展為不等間距二次內插公式。
從公元11世紀到14世紀的宋、元時期，是以籌算為主要內容的中國古代數學的鼎盛時期，其表現是這一時期涌現許多傑出的數學家和數學著作。中國古代數學以宋、元數學為最高境界。在世界范圍內宋、元數學也幾乎是與阿拉伯數學一道居於領先集團的。
賈憲在《黃帝九章演算法細草》中提出開任意高次冪的「增乘開方法」，同樣的方法至1819年才由英國人霍納發現；賈憲的二項式定理系數表與17世紀歐洲出現的「巴斯加三角」是類似的。遺憾的是賈憲的《黃帝九章演算法細草》書稿已佚。
秦九韶是南宋時期傑出的數學家。1247年，他在《數書九章》中將「增乘開方法」加以推廣，論述了高次方程的數值解法，並且例舉20多個取材於實踐的高次方程的解法（最高為十次方程）。16世紀義大利人菲爾洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶還對一次同餘式理論進行過研究。
李冶於1248年發表《測圓海鏡》，該書是首部系統論述「天元術」（一元高次方程）的著作，在數學史上具有里程碑意義。尤其難得的是，在此書的序言中，李冶公開批判輕視科學實踐活動，將數學貶為「賤技」、「玩物」等長期存在的士風謬論。
公元1261年，南宋楊輝（生卒年代不詳）在《詳解九章演算法》中用「垛積術」求出幾類高階等差級數之和。公元1274年他在《乘除通變本末》中還敘述了「九歸捷法」，介紹了籌算乘除的各種運演算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制訂《授時歷》時，列出了三次差的內插公式。郭守敬還運用幾何方法求出相當於現在球面三角的兩個公式。
公元1303年，元代朱世傑（生卒年代不詳）著《四元玉鑒》，他把「天元術」推廣為「四元術」（四元高次聯立方程）,並提出消元的解法，歐洲到公元1775年法國人別朱（Bezout）才提出同樣的解法。朱世傑還對各有限項級數求和問題進行了研究，在此基礎上得出了高次差的內插公式，歐洲到公元1670年英國人格里高利（Gregory）和公元1676一1678年間牛頓（Newton）才提出內插法的一般公式。
14世紀中、後葉明王朝建立以後，統治者奉行以八股文為特徵的科舉制度，在國家科舉考試中大幅度消減數學內容，於是自此中國古代數學便開始呈現全面衰退之勢。
明代珠算開始普及於中國。1592年程大位編撰的《直指演算法統宗》是一部集珠算理論之大成的著作。但是有人認為，珠算的普及是抑制建立在籌算基礎之上的中國古代數學進一步發展的主要原因之一。
由於演算天文歷法的需要，自16世紀末開始，來華的西方傳教士便將西方一些數學知識傳入中國。數學家徐光啟向義大利傳教士利馬竇學習西方數學知識，而且他們還合譯了《幾何原本》的前6卷（1607年完成）。徐光啟應用西方的邏輯推理方法論證了中國的勾股測望術，因此而撰寫了《測量異同》和《勾股義》兩篇著作。鄧玉函編譯的《大測》［2卷］、《割圓八線表》［6卷］和羅雅谷的《測量全義》［10卷］是介紹西方三角學的著作。
Ⅷ 彭加勒的數學研究成果有哪些
一位數學史權威評價彭加勒(1854—1912年)時說，他是「對於數學和它的應用具有全面知識人的最後一個人。」20世紀以來，數學進入了多學科、高難度的現代階段，要想達到每個領域的最高成就已經不可能，但彭加勒確實是他那個時代的數學全才。
一般把數學劃分為算術、代數、幾何和分析四個領域，彭加勒對各個領域的研究成果，都是第一流的。他成功地解決了像太陽、地球、月亮間相互運動這一類的三體問題；他是現代物理的兩大支住——相對論和量子力學的思想先驅；他研究科學哲學提出的「約定論」著重分析了人類理性認識的基本法則，日益受到當代哲學家的重視。在他從事科學研究的34年裡，發表論文500篇，著作30多部，獲得過法國、英國、俄國、瑞典、匈牙利等國家的獎賞，被聘為30多個國家的科學院院士。
1912年6月26日，彭加勒病逝前20天作了最後一次講演，他說：「人生就是持續斗爭。」彭加勒的一生就是斗爭的一生。他因為小時候得過病，語言不夠流暢，寫字畫圖都有困難；還留下了喉頭麻痹身體虛弱的後遺症。不少人把他當作笨人。他成為數學家後，一位心理學家通過測驗仍然認定他是「笨人」。彭加勒取得成就的關鍵是注意力高度集中。他一生最大的嗜好就是讀書，讀書速度快，記憶准確持久。因為視力不好，書寫困難，他上課不記筆記，全神貫注於聽講、思索、理解，長期的磨練，使他具備了運用大腦完成復雜運算，構思長篇論文的能力。1871年，17歲的彭加勒報考高等工業學校，輕松地解決了主考官特意為他設計的難題，盡管他的幾何作圖得了零分，學校也破格錄取。1879年，25歲的彭加勒獲數學博士學位，32歲任數學和物理學教授，以後在科學園地里辛勒耕耘26年。