凸性對期限求導

① 函數的凹凸性是怎樣定義的（二階導數）

1、定義為：

設函數f(x)在區間I上有定義，若對I中的任意兩點x₁和x₂,和任意λ∈(0,1)，都有：

f(λx₁+(1-λ)x₂)>=λf(x₁)+(1-λ)f(x₂)，

則稱f為I上的凸函數，若不等號嚴格成立，即「>」號成立，則稱f(x)在I上是嚴格凸函數。

同理，如果">=「換成「<=」就是凹函數。類似也有嚴格凹函數。

2、從幾何上看就是：

在函數f(x)的圖象上取任意兩點，如果函數圖象在這兩點之間的部分總在連接這兩點的線段的下方，那麼這個函數就是凹函數。同理可知，如果函數圖像在這兩點之間的部分總在連接這兩點線段的上方，那麼這個函數就是凸函數。

直觀上看，凸函數就是圖象向上突出來的。

如果函數f(x)在區間I上二階可導，則f(x)在區間I上是凸函數的充要條件是f''(x)<=0;f(x)在區間I上是凹函數的充要條件是f''(x)>=0。

(1)凸性對期限求導擴展閱讀：

不同說法：

不過補充一下，中國數學界關於函數凹凸性定義和國外很多定義是反的。國內教材中的凹凸，是指曲線，而不是指函數，圖像的凹凸與直觀感受一致，卻與函數的凹凸性相反。只要記住「函數的凹凸性與曲線的凹凸性相反」就不會把概念搞亂了。

另外，國內各不同學科教材、輔導書的關於凹凸的說法也是相反的。一般來說，可按如下方法准確說明：

1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V型，為「凸向原點」，或「下凸」；

2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A型，為「凹向原點」，或「上凸」；

凸/凹向原點這種說法一目瞭然。上下凸的說法也沒有歧義。

在二維環境下，就是通常所說的平面直角坐標系中，可以通過畫圖直觀地看出一條二維曲線是凸還是凹，當然它也對應一個解析表示形式,就是那個不等式。

但是，在多維情況下，圖形是畫不出來的，這就沒法從直觀上理解「凹」和「凸「的含義了，只能通過表達式，當然n維的表達式比二維的肯定要復雜，但是，不管是從圖形上直觀理解還是從表達式上理解，都是描述的同一個客觀事實。

而且，按照函數圖形來定義的凹凸和按照函數來定義的凹凸正好相反。

② 階導數與函數的凹凸性問題為什麼二階導數大於0，函

這里僅我個人理解的，要是不對就一笑而過吧。
因為，已經說了，f(x)有凹凸性，所以，f(x)或者為先減後增，或者為先增後減。
當二階導數大於0，說明一階導數單調遞增。根據f(x)不是先減後增就是先增後減，所以，在此情況下，f(x)只能為先減後增了。所以，在二階導數大於0時，函數為凹函數。
同理可證二階導數小於0時，函數為凸函數。
僅為個人理解哦!不負責任的哦!

③ 函數的凹凸性為什麼要用二階導數

一階導數反映的是函數斜率，而二階導數反映的是斜率變化的快慢，表現在函數的圖像上就是函數的凹凸性。

f′′(x)>0,開口向上，函數為凹函數，f′′(x)<0,開口向下，函數為凸函數。

凸凹性的直觀理解：

設函數y=f(x)在區間I上連續,如果函數的曲線位於其上任意一點的切線的上方，則稱該曲線在區間I上是凹的；如果函數的曲線位於其上任意一點的切線的下方，則稱該曲線在區間I上是凸的。

(3)凸性對期限求導擴展閱讀

確定曲線y=f(x)的凹凸區間和拐點的步驟：

1、確定函數y=f(x)的定義域；

2、求出在二階導數f"(x)；

3、求出使二階導數為零的點和使二階導數不存在的

點；

4、判斷或列表判斷,確定出曲線凹凸區間和拐點。

④ CFA一級中關於固定收益部分久期凸性計算的一道題。請教

根據ration，變化2%*10.34=20.68%
再根據convexity修正，肯定是小於20.68%的，就選17.65%
具體變化=-2%*10.34+(1/2)*151.60*2%*2%=-17.648%

至於困擾你的計專算convexity時候為什麼要除屬以2，因為ration是利率變化的一階導數，而convexity是利率變化的二階導數，泰勒級數的展開的第二項，就是要乘以二分之一，如果有三階導數，更精確，三階導數的系數就是六分之一。這是一個純粹的數學問題。你在考試時，需要記住這個公式。

⑤ 如何用數學方法證明債券的久期和凸性

什麼是凸性
久期本身也會隨著利率的變化而變化。所以它不能完全描述債券價格對利率變動的敏感性，1984年Stanley Diller引進凸性的概念。

久期描述了價格-收益率曲線的斜率，凸性描述了曲線的彎曲程度。凸性是債券價格對收益率的二階導數。

[編輯]凸性的計算

由債券定價定理1與4可知，債券價格-收益率曲線是一條從左上向右下傾斜，並且下凸的曲線。下圖中b>a。

債券定價定理1：

債券價格與到期收益率成反向關系。

若到期收益率大於息票率，則債券價格低於面值，稱為折價債券（discount bonds）；
若到期收益率小於息票率，則債券價格高於面值，稱為溢價債券（premium bonds）；
若息票率等於到期收益率，則債券價格等於面值，稱為平價債券（par bonds）。
對於可贖回債券，這一關系不成立。

債券定價定理4：

若債券期限一定，同等收益率變化下，債券收益率上升導致價格下跌的量，要小於收益率下降導致價格上升的量。

例：三債券的面值都為1000元，到期期限5年，息票率7%，當到期收益率變化時。

到期收益率(%) 6 7 8
價格 1042.12 1000 960.07
債券價格變化率(%) 4.21 0 -4.00
[編輯]凸性的性質
1、凸性隨久期的增加而增加。若收益率、久期不變，票面利率越大，凸性越大。利率下降時，凸性增加。

2、對於沒有隱含期權的債券來說，凸性總大於0，即利率下降，債券價格將以加速度上升；當利率上升時，債券價格以減速度下降。

3、含有隱含期權的債券的凸性一般為負，即價格隨著利率的下降以減速度上升，或債券的有效持續期隨利率的下降而縮短，隨利率的上升而延長。因為利率下降時買入期權的可能性增加了。

來自"http://wiki.mbalib.com/wiki/%E5%87%B8%E6%80%A7"

⑥ 如何利用久期和凸性 衡量債券的利率風險

久期和凸性是衡量債券利率風險的重要指標。很多人把久期簡單地視為債券的到期期限,其實是對久期的一種片面的理解,而對凸性的概念更是模糊。在債券市場投資行為不斷規范,利率風險逐漸顯現的今天,如何用久期和凸性量化債券的利率風險成為業內日益關心的問題。

久期

久期(也稱持續期)是1938年由

F.R.Macaulay提出的,用來衡量債券的到期時間。它是以未來收益的現值為權數計算的到期時間。其公式為

其中,P=債券現值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期數,M=到期支付的面值。

可見久期是一個時間概念,是到期收益率的減函數,到期收益率越高,久期越小,債券的利率風險越小。久期較准確地表達了債券的到期時間,但無法說明當利率發生變動時,債券價格的變動程度,因此引入了修正久期的概念。

修正久期

修正久期是用來衡量債券價格對利率變化的敏感程度的指標。由於債券的現值
對P求導並加以變形,得到:

我們將
的絕對值稱作修正久期,它表示市場利率的變化引起的債券價格變動的幅度。這樣,不同現值的券種就可以用修正久期這個指標進行比較。

由公式1和公式2我們可以得到:

在某一特定到期收益率下,P為常數,我們記作P0,即得到:

由於P0是理論現值,為常數,因此,債券價格曲線P與P
/P 0有相同的形狀。由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P
0的斜率為修正久期,而債券價格曲線P的斜率為P0×(修正久期)。

修正久期度量了收益率與債券價格的近似線性關系,即到期收益率變化時債券價格的穩定性。修正久期越大,斜率的得絕對值越大,P對y的變動越敏感,y上升時引起的債券價格下降幅度越大,y下降時引起的債券價格上升幅度也越大。可見,同等要素條件下,修正久期小的債券較修正久期大的債券抗利率上升風險能力強,但抗利率下降風險能力較弱。

但修正久期度量的是一種近似線性關系,這種近似線性關系使由修正久期計算得出的債券價格變動幅度存在誤差。如下圖,對於債券B′,當收益率分別從y上升到y1或下降到y2,由修正久期計算出來的債券價格變動分別存在P1′P1"和P2′P2"的誤差。誤差的大小取決於曲線的凸性。

市場利率變化時,修正久期穩定性如何?比如上圖中,B′和B"的修正久期相同,是否具有同等利率風險呢?顯然不同。當y變大時,B"價格減少的幅度要小,而當y變小時,B"價格變大的幅度要大。顯然,B"的利率風險要小於
B′。因此修正久期用來度量債券的利率風險仍然存在一定誤差,尤其當到期收益率變化較大時。凸性可以更准確地度量該風險。

凸性

利用久期衡量債券的利率風險具有一定的誤差,債券價格隨利率變化的波動性越大,這種誤差越大。凸性可以衡量這種誤差。

凸性是對債券價格曲線彎曲程度的一種度量。凸性越大,債券價格曲線彎曲程度越大,用修正久期度量債券的利率風險所產生的誤差越大。嚴格地定義,凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率發生變動而引起的價格變動幅度的變動程度。

根據其定義,凸性值的公式為:

凸性值
=

凸性值是價格變動幅度對收益率的二階導數。假設P0是理論現值,則凸性值=

應用

由於修正久期度量的是債券價格和到期收益率的近似線性關系,由此計算得出的債券價格變動幅度存在誤差,而凸性值對這種誤差進行了調整。

根據泰勒系列式,我們可以得到
的近似值:

這就是利用修正久期和凸性值量化債券利率風險的計算方法。我們可以看到,當y上升時, 為負數,若凸性值越大,則
的絕對值越小；當y下降時,為正數,若凸性值越大,則越大。

因此,凸性值越大,債券利率風險越小,對債券持有者越有利；而修正久期具有雙面性,具有較小修正久期的債券抗利率上升風險較強,而當利率下降時,其價格增幅卻小於具有較大修正久期債券的價格增幅。

以國債21國債(15)和03國債(11)為例,兩券均為7年期固息債,每年付息一次(附表為今年3月1日的有關指標)。

相比之下,21國債(15)具有較小的修正久期和較小的凸性值。如果收益率都上升50個基點,其價格變動幅度分別為:

21國債(15):

03國債(11):

可見經過對久期和凸性的簡單計算,可以比較直觀地衡量債券的利率風險。如果收益率變動幅度不大,則一般修正久期即可以作為度量利率風險的近似指標。

⑦ 函數的凸凹性與其二階導數有什麼關系（詳細些）

導數應該理解為函數隨自變數增加而增加的速度。
所以導數大於零即為增函數。二階導數即是增速的增速。所以：
二階導數<0 凸函數 ，導數負增長，函數增長變慢。
二階導數>0 凹函數 ，函數增長越來越快。

⑧ 關於函數導數與凹凸性

你注意凹凸函數的定義，
凸函數是一個定義在某個向量空間的凸子集C（區間）上的實值函數
而凹函數是一個定義在某個向量空間的凹子集C（區間）上的實值函數

顯然凹凸性是要在一個區間上才能去研究的，
而你現在得到的條件只是f(x)在x=x0這一點上滿足f "(x0) <0
並不清楚其整個區間上的狀況，

因此不能說f(x)在整個區間上都是凸的

⑨ 凸性的凸性的計算

由債券定價定理1與4可知，債券價格-收益率曲線是一條從左上向右下傾斜，並且下凸的曲線。下圖中b>a。
債券定價定理1：
債券價格與到期收益率成反向關系。
若到期收益率大於息票率，則債券價格低於面值，稱為折價債券(discount bonds);
若到期收益率小於息票率，則債券價格高於面值，稱為溢價債券(premium bonds);
若息票率等於到期收益率，則債券價格等於面值，稱為平價債券(par bonds)。
對於可贖回債券，這一關系不成立。
債券定價定理4：
若債券期限一定，同等收益率變化下，債券收益率上升導致價格下跌的量，要小於收益率下降導致價格上升的量。
例：三債券的面值都為1000元，到期期限5年，息票率7%，當到期收益率變化時。
到期收益率(%) 6 7 8
價格 1042.12 1000 960.07
債券價格變化率(%) 4.21 0 -4.00

⑩ 請問凸函數微分與導數的幾何意義示意圖如何畫

題主給出的示意圖是凹函數，只要把上述圖像畫出與x軸軸對稱的平面圖形，就是凸函數情形下微分與導數的幾何意義的示意圖。