馬鞍山到子群

❶ 區內地層及其礦化特徵

研究區內出露的地層，主要有新太古界、元古宇、古生界及中、新生界。現由老到新敘述如下。

一、新太古界

新太古界系區內最古老的地層單元和基底岩系，主要沿內蒙古隆起斷續出露於太僕寺旗、赤峰市南部地區，構成了區域東西向基底火山－沉積建造。地區性地層名稱主要有「紅旗營子群、鞍山群和建平群等」，與其相當的地層在西部烏拉山和大青山地區為烏拉山群。根據《內蒙古自治區區域地質志》(1991)，太僕寺旗地區為紅旗營子群，地層應在鞍山群或建平群之下，相當於新太古界的上集寧群。其北部的正藍旗一帶由烏拉山群黑雲斜長片麻岩組成，出露零星。赤峰市南部地區則屬於鞍山群或建平群。由於中、新生界沉積覆蓋及華夏系和新華夏系構造的改造，該套地層多被分隔成3個呈北東向展布的菱形塊體。

紅旗營子群下部由石榴黑雲淺粒岩組成，上部主要是細粒含石榴子石黑雲母變粒岩夾長石石英岩、含石墨淺粒岩、含矽線石石榴子石淺粒岩和含石墨大理岩等。

王時麒等(1994)將赤峰南部地區變質岩劃分為建平變質雜岩(相當於原建平群小塔子溝組)和大營子群(相當於原建平群大營子組)。

按照現有岩石組合特徵，建平變質雜岩可以劃分為3種類型:①片麻岩+斜長角閃輝石岩+麻粒岩+磁鐵石英岩組合，分布於努魯兒虎山隆起帶東南部，即遼寧朱力科—建平—河北凌源一帶;②斜長角閃(輝石)岩+片麻岩+磁鐵石英岩組合，偶見麻粒岩，分布於努魯兒虎山隆起帶北部貝子府一帶和馬鞍山隆起帶南部的黑里河斷裂以南;③斜長角閃(輝石)岩+片麻岩+少量大理岩組合，偶見基性麻粒岩，主要分布在銘山隆起帶上的紅花溝等地區。

上述變質岩可以劃分為上殼岩和侵入岩。上殼岩包括磁鐵石英岩、大理岩、斜長角閃岩和黑雲母二長片麻岩等;侵入岩包括輝長岩、不同期次侵入的英雲閃長岩、奧長花崗岩、花崗閃長岩(TTG)組合。其中，TTG岩石約占變質岩出露面積的60%以上，上殼岩只呈孤零的捕虜體形式存在。

這套變質岩的全岩Sm－Nd年齡為2847Ma(屬表殼岩系)，TTG岩系侵入岩的鋯石U－Pb年齡為2600～2500Ma。采自赤峰紅花溝地區的黑雲斜長片麻岩(英雲閃長岩)鋯石U－Pb年齡為2575Ma(崔文元，1991;王時麒等，1994)，代表研究區TTG岩石侵位年齡。以2900±100Ma作為古(中)太古代和新太古代的界限年齡，研究區內出露的基底岩石時代屬於新太古代(李永剛等，2003)。

大營子群主要分布於努魯兒虎山隆起帶中部大營子、金廠溝梁一帶和馬鞍山隆起帶的中北部。按照岩石組合可以劃分為兩種類型:①片麻岩(花崗片麻岩、角閃斜長片麻岩、斜長片麻岩)+斜長角閃岩+結晶片岩(角閃片岩、角閃斜長片岩、綠泥片岩、陽起石片岩、黑雲石英片岩)+大理岩組合，分布於努魯兒虎山隆起帶中部及馬鞍山隆起帶南部的黑里河斷裂以北一帶;②片麻岩+斜長角閃岩組合，大理岩少見，分布於馬鞍山隆起帶中部的樓子店—大城子一帶。

這套變質岩原岩建造相當於拉斑玄武岩與科馬提質岩互層的超基性火山岩系、玄武岩、安山岩及流紋岩夾科馬提岩的中基性火山岩系，以及流紋岩、安山岩、火山碎屑岩、硅鐵質岩的中酸性火山－沉積岩系，屬於新太古代華北地塊的優地槽火山島弧建造。

總體上看，區內基底變質岩系構成了新太古代花崗－綠岩帶的一部分。建平變質雜岩變質程度為高角閃岩相—麻粒岩相，以含大量磁鐵石英岩、磁鐵角閃岩類為特徵;而大營子群及紅旗營子群變質程度為低角閃岩相—綠片岩相。

該套變質岩為研究區內金礦最為主要的賦礦圍岩，也是最為主要的礦源岩系之一。區內主要的大、中型金礦床及71%以上的金礦儲量集中分布於該套地層中。除此之外，部分沉積變質型鐵礦也主要發育在該套變質岩系中。

二、元古宇

區內所涉及的元古宇零星分布於以下兩個地區:一是位於西部太僕寺旗一帶的古元古界二道窪群和中新元古界的化德群，以大理岩夾片岩為主，在太古宇紅旗營子群中呈孤島狀分布;二是出露於南部黑里河一帶及東南部鄰區燕遼沉降帶內部的中新元古界，包括下部長城群和上部薊縣群，沉積建造均以碳酸鹽岩－泥質岩為主，夾陸源碎屑岩。依據層位關系，自下而上劃分為常州溝組、串嶺溝組、大紅峪組。常州溝組為石英岩，可見厚度在200m以上;串嶺溝組由砂岩、板岩夾石英岩組成，含層狀磁鐵礦，可見厚度40m;大紅峪組由白雲質大理岩、條帶狀大理岩夾石英砂岩、石英岩及板岩等組成，屬淺海相沉積，厚度大於426m。

另外，在喀喇沁旗明安山地區，有一套結晶灰岩、條帶狀灰岩並夾極少的砂、板岩，厚度在1439m以上。在撰山子金礦南部，有一套片岩、片麻岩夾大理岩岩系。1∶20萬(喀喇沁旗幅)地質報告中分別劃分為奧陶系明安山群和下古生界奧陶－志留系，現1∶50萬全國地質圖資料庫中將其劃歸為中新元古界，本書採用了後者的劃分方案。

區內資料表明，元古宇是區內及鄰區鉛鋅礦、鉬礦、鐵礦等多金屬礦的重要礦源岩系。西部多倫地區的古元古界二道凹群是該地區沉積變質型鐵礦及矽卡岩型鐵礦的主要沉積建造及礦源岩系;研究區東南部鄰區的燕遼沉降帶中的中新元古界中賦存有肖家營子大型鉬礦等。

三、古生界

區內古生界主要分布於赤峰北部和東部，是沿華北地塊北緣形成的一套活動型火山－沉積岩系，包括典型的復理石建造、細碧角斑岩建造、硅質岩建造等，屬於區域上溫都爾廟－翁牛特旗加里東褶皺帶的組成部分。包括寒武系、奧陶－志留系、志留系、泥盆系、石炭系、二疊系，其分布具有較為明顯的地域分帶性。其中，在翁牛特旗東南—敖漢旗西側，以出露早古生代的奧陶－志留系為特徵，分別構成了多倫復背斜和敖漢旗復向斜的核部及翼部。敖漢旗東部至下窪一帶，則以廣泛出露石炭系為特徵。而二疊系則從東到西廣泛出露。區內古生界由老到新特徵如下。

(一)奧陶系－下志留統(O－S₁)

該套地層零星出露於西拉木倫河兩側半拉山—白音板溝門一帶和烏丹南部—西南部半博羅溝、穆家店、旗桿廟，沿少郎河兩岸及解放營子羊腸子河一帶。地層總厚度700～2865m。地層總體走向為近東西向，局部為北西向。該套地層普遍遭受中級區域變質作用。根據變質程度和岩性組合，該系分為上、中、下3部分:上部為黑雲石英片岩、白雲石英片岩、二雲斜長片岩夾薄層灰質板岩;中部為角閃斜長片麻岩、黑雲花崗片麻岩、糖粒狀大理岩;下部為大理岩、角閃斜長片麻岩和斜長角閃片麻岩。

關於該套地層的劃分仍然存在不同的意見。在《內蒙古自治區岩石地層》中認為這套片岩、大理岩等應該屬於元古宙的產物。某些礦產勘查報告中仍然將該套地層劃分為志留系下統雙井組、中統水泉溝組，以及中上統曬勿蘇組。但毫無疑問，該套地層是研究區內鉛鋅礦的主要圍岩之一。

(二)中上志留統(S₂₊₃)

該套地層多與奧陶系－下志留統相伴出現，區內主要分布於翁牛特旗隆起南部的解放營子、西拉木倫河中段的陳家營子—巴林橋一帶，以及奈曼旗的下石碑至庫倫旗南部等地。橫向上岩相變化很大，但岩層延伸較為穩定，分布比較規律。以中上志留統(S₂₊₃)為主，總體上為一套中低級變質的沉積岩及火山岩地層。翁牛特旗南部解放營子一帶的羊腸子河沿岸出露中志留統曬烏蘇組(S₂s)，根據現行採用的岩石地層單元，該組為一套淺海相碳酸鹽岩岩系，岩性主要是結晶灰岩、礁灰岩及泥灰岩，局部夾少量斑岩，厚度大於600m;整合在曬烏蘇組之上的有八當山組火山岩(S₂bν)和西別河組(S—Dx)。其中，八當山火山岩主要為流紋斑岩夾板岩，厚1064m，時代屬中志留世;西別河組則是一套由淺海相的砂岩、灰岩、板岩、變泥岩及生物礁等構成的岩石組合，時代屬於晚志留世—早泥盆世之間的產物。志留系各組均屬連續沉積，與下伏地層(O—S₁)之間為整合接觸。總體上看，該套地層為東西向，但局部為北東東向或北東向。它們共同構成翁牛特旗復背斜及敖漢旗復向斜的一部分。

(三)下泥盆統(D₁)

區內僅出露下泥盆統前坤頭溝組，孤立地分布於敖漢旗前坤頭溝一帶。地層由淺海相碎屑岩夾灰岩組成，主要包括灰褐色、灰綠色碎屑岩(雜砂岩)、板岩夾灰岩及基性火山岩。地層可劃分為上、下兩部分。其中，上部為復成分砂岩、板岩和基性火山岩;中部為砂質板岩、千枚岩板岩，夾砂岩、灰岩;下部為復成分砂岩，夾板岩、鈣質粉砂岩、細砂岩等。不完全厚度為1438m。地層走向近北西－南東向，傾角一般70°左右。與上覆二疊系青鳳山組呈斷層接觸。

(四)石炭系(C)

出露廣泛，類型齊全，多屬淺海相至海陸交互相沉積岩、火山沉積岩和火山岩。斷續分布於赤峰北部的橋頭、敖漢旗至東部奈曼旗的下石碑一線。按照兩分法，自下而上分為下石炭統朝吐溝組(C₁ch)、白家店組(C₁b)和石嘴子組(C₁s);上石炭統酒局子組(C₂jj)。各組之間皆為整合關系。

下石炭統朝吐溝組(C₁ch):分布於敖漢旗朝陽溝、赤峰七大分、二道杖和奈曼旗木匠溝至半燒鍋等地。為一套以變質火山岩為主的岩石組合，由變質基性至中酸性熔岩、變火山碎屑岩夾絹英片岩及少量石英岩組成，厚度2215m以上。

白家店組(C₁b):指分布於敖漢旗一帶、位於朝吐溝組之上，被石嘴子組超覆的一套海相碳酸鹽岩岩系，與石嘴子組的砂板岩部分層段呈犬齒狀相變關系，因此，在不同地段的剖面上可以出現數量不等的砂板岩夾層。該組灰岩在區域上厚度變化較大，白家店組灰岩在敖漢旗楊家杖子一帶厚2533.3m，向四周延伸厚度逐漸變小，碎屑岩夾層增多。在白家店厚度為500m左右，到奈曼旗房後溝腦一帶厚度變化為230m。

石嘴子組(C₁s):在區內指分布於赤峰一帶的石炭紀海相砂、泥(板)岩組合，分布於敖漢旗白家店南山、家道溝、奈曼旗房後溝腦等地。與白家店組灰岩呈指狀(犬齒狀)交錯相變，在交界處可以出現數量不等的灰岩夾層。

上石炭統酒局子組(C₂jj):分布於敖漢旗家道溝、范家杖子、搗各朗營子、三官營子、玳瑁溝、庫倫旗向陽所等地;岩性為一套陸相或海陸交互相砂頁(板)岩，含煤，局部可夾灰岩透鏡體、中酸性凝灰岩，厚度為135～664m。

總體來看，該套地層以火山沉積岩為主，由下而上沉積岩逐漸減少以至消失，沉積韻律清楚;岩石普遍經受淺變質作用，一般多具有板岩化、千枚岩化，局部見片理化及青磐岩化。在岩體的接觸帶多形成接觸變質作用，形成紅柱石板岩和角岩化。

(五)二疊系(P)

主要為下二疊統，少量為上二疊統，分布廣泛，為一套巨厚的淺海相或海陸交互相沉積－火山岩地層，岩相變化較大並遭受輕微變質。根據現行採用的岩石地層劃分方案，區內二疊系主要包括三面井組、額里圖組和於家北溝組。

三面井組(Ps):指分布於錫林郭勒盟南部鑲黃旗至多倫一帶，不整合在岩體或石炭系之上的一套淺海至濱海相碎屑岩組合，下部常發育含燧石灰岩和生物碎屑灰岩，上界與額里圖組整合接觸或被中生代火山岩不整合覆蓋;區內主要見於西部正鑲白旗額里圖牧場二分場等地，整體厚度為269m左右;該組沉積時限為早二疊世早期。

額里圖組(Pe):呈東西向分布於鑲黃旗、正鑲白旗、正藍旗、多倫縣、克什克騰旗及翁牛特旗等地。岩性及厚度變化較大，由西向東厚度明顯變小，正常碎屑岩較少、火山岩增多。在克什克騰旗於家北溝一帶，本組以安山岩為主夾凝灰岩，底部被花崗岩侵入，上與於家北溝組整合接觸;翁牛特旗武家溝南山為中酸性火山碎屑岩夾安山岩，下界不清，上界與於家北溝組整合接觸。額里圖組地質時限為早二疊世晚期，總厚度大於1544.7m。

於家北溝組(Py):現指西拉木倫河以南中生代火山岩和額里圖組中酸性火山岩之間的一套海陸交互相沉積，主要在正鑲白旗至翁牛特旗一帶出露。岩石為灰綠、黃綠色凝灰質砂岩、砂礫岩、礫岩、粉砂岩夾板岩和火山碎屑岩組合。上界與滿克頭鄂博組不整合接觸，下界與額里圖組整合接觸。於家北溝組沉積時限為早二疊世晚期—晚二疊世早期。

古生界為區內較為重要的鉛鋅、銅礦源岩系之一，尤其是奧陶－志留系和二疊系，區內小營子等大中型鉛鋅礦等均產於該套地層中。在撰山子金礦古生代地層還成為金礦的直接賦礦圍岩。在北大山—峰水山一帶也是直接的賦礦圍岩。

另外，在研究區東南鄰區(燕遼沉降帶)內廣泛出露古生代地層，但其沉積建造特徵與區內不同。燕遼沉降帶中主要為一套穩定型蓋層沉積，以碳酸鹽岩夾碎屑岩建造為主。

四、中生界

晚二疊世末期，中朝板塊與西伯利亞板塊對接成為歐亞大陸以後，中新生代以來，中國東部受濱太平洋構造域的影響，以形成一系列北東—北北東向的隆起帶和坳陷帶的構造格局為特徵，並伴隨有強烈的火山活動及岩漿侵入。在火山噴發間歇期，發育了以陸內河湖相為主的碎屑岩－泥質岩系和含煤碎屑岩系。中生界包括三疊系、侏羅系和白堊系，以白堊系最為發育。其中，對於侏羅系和白堊系的劃分，我們參考最新公布的《國際地層表》(2004)，以145.5±4Ma作為二者之間的劃分界線。現按由老到新的順序對區內中生界作如下敘述。

(一)三疊系(T)

僅零星見於研究區東南部遼西地區，岩性為長石砂岩、礫岩、砂質頁岩等。

(二)侏羅系(J)

侏羅系主要分布在研究區東南部遼西地區及南部的燕遼沉降帶(冀北—遼西地區)之內。其中，下侏羅統北票組以沉積岩為主，間夾少量火山岩。中侏羅統以藍旗組中酸性火山岩為主;區內僅見零星的上侏羅統沉積。上侏羅統－下白堊統土城子組以紫紅色砂、礫岩為主，不整合蓋在下侏羅統之上。

(三)侏羅－白堊系(J－K)

綜合起來，區內岩石地層單元自下而上主要有土城子組、滿克頭鄂博組、瑪尼吐組、白音高老組和熱河群(包括義縣組、九佛堂組和阜新組)和孫家灣組等。

土城子組(JKt):指廣泛分布在大興安嶺—燕山地區的紫紅色碎屑岩，下部為紫色、紫紅色、灰綠色礫岩、砂岩、粉砂岩、粉砂質頁岩;中部為灰紫色、黃褐色復成分礫岩夾砂岩及岩屑雜砂岩;上部為灰綠色砂岩、凝灰岩偶夾紫紅色礫岩。在區內主要出露於喀喇沁旗朝陽溝、小牛群、克什克騰旗胡蘿卜淖等地，厚度從197～1503m不等。該組地層區域上不整合在萬寶組及新民組之上，其上被滿克頭鄂博組不整合覆蓋。其地層沉積時代為晚侏羅世中晚期至早白堊世早期。

滿克頭鄂博組(Kmk):指不整合於林西組、土城子組、萬寶組或新民組之上，被瑪尼吐組整合覆蓋的酸性火山熔岩、酸性火山碎屑岩、火山碎屑沉積岩，偶夾中性火山岩。廣泛出露於大興安嶺—燕山地區，橫向上岩性及厚度變化較大。

瑪尼吐組(Kmn):指整合於滿克頭鄂博組之上、白音高老組之下的中性火山熔岩、中酸性火山碎屑岩、火山碎屑沉積岩、沉積岩夾少量酸性火山岩地層。其下與滿克頭鄂博組以安山岩大量出現為界，其上以酸性火山岩大量出現與白音高老組分界。野外主要以一套灰紫色、灰色、灰綠色安山岩、粗安岩、英安岩、中性凝灰岩夾凝灰質砂岩、沉凝灰岩為特徵。厚度一般為幾百米，局部可達1000m以上。

白音高老組(Kb):為一套雜色酸性火山碎屑岩、酸性熔岩、酸性熔結凝灰岩夾中酸性火山碎屑岩、火山碎屑沉積岩、沉積岩及安山岩。其整合在瑪尼吐組中性火山岩之上，區域上被梅勒圖組中基性火山岩不整合覆蓋。厚度300～800m不等。

熱河群(KR):為土城子組之上、孫家灣組之下的一套含有熱河動物群的火山岩夾沉積岩組合，包括義縣組、九佛堂組和阜新組。

義縣組(Ky):指發育在赤峰地區不整合於上、中侏羅統及其更老地層之上的以中基性火山岩、火山碎屑岩為主，局部夾中酸性、酸性和鹼性火山岩、火山碎屑岩及多層沉積岩，底部常有礫岩，含熱河動物群化石。其上被九佛堂組平行不整合覆蓋。在區內集中分布於寧城縣、敖漢旗地區、東山區大廟鎮至翁牛特旗橋頭一線，以及遼西等地。總體上為兩套中基性火山岩(局部相變為酸性)，夾沉積岩組合。

九佛堂組(Kjf):指平行不整合於義縣組之上，被阜新組整合覆蓋的灰色、綠灰色夾雜色鈣質粉砂質頁岩、粉砂岩夾泥灰岩、砂岩、礫岩、油頁岩的沉積岩組合，含熱河動物群。區內主要分布於元寶山、平庄兩個盆地中，其次是赤峰市松山區大廟鎮一帶，以及敖漢旗北部長勝鄉一帶。其上被阜新組不整合覆蓋，厚度100～530m不等。

阜新組(Kf):指整合於九佛堂組之上，以灰白色、灰色砂岩、礫岩為主夾深灰色(局部出現紫紅色)泥岩、炭質頁岩和多煤層的一套含煤地層，其上被孫家灣組不整合或平行不整合覆蓋，含動植物化石。廣泛出露於元寶山、平庄盆地以及區域其他地區。厚度110～900m不等。

孫家灣組(Ksj):在內蒙古境內僅出露於元寶山盆地和平庄盆地，岩石類型主要為一套紅色粗碎屑岩，下部為紫紅、黃褐色礫岩，局部夾砂岩及煤線，上部以黃褐色砂岩和礫岩為主夾泥岩及煤層。與下伏阜新組或義縣組不整合接觸。總厚度大於600m。

中生界是區內金、鉛鋅礦、鉬礦的重要礦源岩系之一，但普遍成礦規模較小，部分達到中型。目前發現的金礦主要有奈林溝小型金礦，鉬礦有油房西鉛鋅銀礦等。

五、新生界

新生界涉及的地層包括第三系(古、新近系)和第四系。

(一)第三系(古、新近系，E、N)

區內第三系(古、新近系)的沉積特徵和展布方向，嚴格受地貌條件的控制。根據岩性組成，分為上、下兩個組:漢諾壩組和老梁底組，時代均為中新世。下部老梁底組僅見於赤峰初頭朗以西一處，主要由砂岩、頁岩夾礫岩及泥岩、薄層粉砂岩組成;頂部為一層砂礫岩。厚度約25m。上界與漢諾壩組不整合接觸;下界與義縣組或更老地層不整合接觸。上部漢諾壩組為一套灰黑色、黑色、紫灰色橄欖玄武岩、輝石玄武岩、緻密塊狀及氣孔狀玄武岩夾紅色、磚紅色泥岩、灰白色泥岩、砂質粘土、砂岩及頁岩，有時含煤線。厚數十米至數百米不等。廣泛分布於烏丹、赤峰以西地區，沿河谷兩岸構成平坦的台地，產狀近於水平。下界不整合於下白堊統九佛堂組或阜新組、白音高老組之上。在赤峰老梁底村不整合於老梁底組之上，厚度僅24m左右。漢諾壩組上界被第四系沉積物覆蓋。

(二)第四系(Q)

主要為泥礫層、砂土、亞粘土、黃土及沖、湖積層，沿河谷地帶分布。局部出露有玄武岩及冰水沉積物。

區域上，在第三紀(古、新近紀)砂礫石層及第四紀砂礫石中賦存有砂金及砂鉑礦等。根據1∶20萬區調資料，第三紀(古、新近紀)砂礫石層中砂金達200粒/cm³，但含礦層位不穩定，受古河道控制。另外，在喀喇沁旗南部的七家溝、大窯溝、小葦子溝等地的第四系砂礫石鬆散堆積物中，均含有砂金，曾經為地方開采，但一般規模不大。

❷ 【抽象代數】類方程和有限群

隨著前面我們對於群的結構的探索，在對群進行公理化描述之後，我們又探討了群的結構，(正規) 子群，商群還有直積的概念。如果我們要在進一步，就需要專注於群最為本質的特點，即對稱與變換，這是群的精髓所在，下面就讓我們開始從類方程與群對於集合的作用開始吧。

設 X 是任意一個非空集合，我們已經知道，集合 X 的全體到自身的一一對應組成一個群 S(X), 稱其為對稱群或變換群，從歷史的角度看，人們最早研究的都是某一集合上的變換群。直到現在，各種類型的變換群的研究仍是群論的一個重要部分。抽象群的概念正是從變換群而來。在群論中，一方面是把抽象群論中的結果應用到變換群上。另一方面也常利用變換群來研究抽象群的性質。前面提到的 凱萊定理 就是建立在這二者的聯系。而群在集合上的作用便是一種可以體現抽象群和變換群聯系的廣泛的定義。

設 G 是一個群，X是一個非空集合。如果給了一個映射 , 適合條件：對所有的 ，滿足 與 ，那麼我們就說，f 決定了群G在集合 X 上的作用。在不需要明確映射 f 的情況下，常將 簡寫成 。前面提到過， 將 G 中的元素作了一個變換，同樣 也是對陪集的一個變換。看來我們有必要將這樣的變換提出來單獨研究，變換是從一個群 G 作用到一個集合 X，結果還是在 X 中。用函數的方法表示這個變換： ，其中 。為了能用到群的性質，首先自然是是要求下式左成立（保持運算），其次還要求逆元能將元素還原，即 ，故還要求下式右成立。這樣的變換一般叫 G 在 X 上的作用（action）。

作用的結果可以寫成一張如下所示的表格，行為G列為X，從兩個維度分別考察會得到有趣的結果。變換中最重要一類就是 的情況，其中g稱為x的 穩定子 （stabilizer），x 所有的穩定子記作 ，容易證明它是一個子群。x 稱為g的 不動元素 （fixed element），g 的所有不動元記作 。對所有 g 都不動的也叫 G 的不動元素，記為 ，它在研究問題時非常重要。接下來，分別從行、列兩個方向研究這張表。

先從G的方向考察g(x)，即對於指定的x，g(x)的取值情況。g(x)的所有取值稱為 x 軌道 （orbit），記作 。如果 ，則有 。故不同的 之間要麼完鄭蔽全相同，要麼沒有交集，其中的元素是一個等價關系。軌道中只有一個元素的，便是 G 的不動元。

一個自然的問題是， 中究竟有多少元素？若 使得 ，則有 ，從而 同屬於 的一個陪集。這就是說 中不同元素的個數為 。如果為所有軌道選一個代表 ，則有以下 類方程 。

另外，同屬於一個軌道的穩定子有什麼關系呢？假設g(x)=y，將 帶入 ，則有 ，所以就得到 。這個性質讓我們想到正規子群，即對任意 ，可有 。從而 G 作用下的一個軌道在 N 下有相同的穩定子，即那個軌道在 N 下被分成同樣長的多個軌道。特別地，如果 G 下只有一個軌道，則 N 的每個軌道一樣長。

最後再從X的方向考察 ，即對於指定的 的取值情況。首先若 ，則 ，即有 ，g 的作用是 X 上的一個置換。現在分別從行、列兩個方向統計滿足 都有元素對 ，有 ，整理便得到以下等式，它稱為伯恩賽德（Burnside）定理，在組合數學中有廣泛的應用。

不管是正規子群，還是上面的群的作用，其中都出現了 的身影。現在就讓我們來對它進稿物一步研究，令 X 是群 G 的所有子集的集合，考察群 G 在 X 上的變換 。滿足 的子集S1,S2稱為 共軛的 （conjugat），這個變換顯然是一個作用，現在直接把上段的結論應用到這里來。
首先互為共軛的子集在同一軌道里，這個軌道一般叫做 共軛類 ，共軛類中的元素互為共軛。子集喊敬州S的穩定子滿足 ，它也稱為S的 正規化子 ，記作 ，它是一個子群。這樣一來，共軛類的中的元素和 的陪集一一對應，每個共軛類中有 個元素。進一步地，共軛類中每個元素的正規化子有以下關系，它們也形成一個共軛類。


現在來考慮一些特殊情況。首先，以上 X 中可以只取那些只有一個元素的子集，這個情況等價於 ，這就相當於定義了群元素間的共軛關系。群的元素在共軛的作用下分成了多個等價類，而不動元素 顯然就是中心 C。如果中心元有 c 個，其它等價類 分別有 個元素 ，則類方程變成以下形式。

其次，還可以把 X 中的元素限定為子群，這就定義了 共軛子群 。共軛子群具有共軛子集一樣的性質，只是在子集和其正規化子的關繫上有本質不同。對一般子集，不一定有 ，而對於子群 H 不僅有 ，還有 。從另一個角度看， 其實是通過縮小 G 來使 H 成為正規子群， 是G 中使 H 稱為正規子群的最大子群。反過來能否通過縮小 H 來得到一個正規子群呢？考察H的所有共軛子群之交 ，可以證明 任然包含所有 H 的共軛子群，從而恆有 ，即 K 為正規子群。特別的，如果 H 的指數有限，則 K 的指數也有限。

相對於單個元素的正規化子，子集的正規化子其實是被弱化的。正規化子 是所有滿足 的元素，即所有與 x 可交換的元素。為此可以定義與子集 S 所有元素可交換的集合，稱它為 S的中心化子，並記做 。容易證明它也是子群，並且有下式成立。而對單個元素顯然有： 。

讀者可以思考如下兩個簡單的結論：
• 求證： ；
• 求證： 是 S 各元素正規化子的交。

關於交錯群 有一個重要的結論，現在我們可以來介紹它了：當 時， 都是單群。對 的場景可以直接驗證，也可以證明，但最好使用結論： 有唯一正規子群 。當 時，證明比較繁雜，但方法很基礎，這里僅給出基本思路。首先容易證明任何偶置換都可以表示為若干3-循環之積，並且An可以由一些3-循環生成。其次證明An對3-循環集X的作用只有一個軌道，所以An中包含一個3-循環的正規子群只能是An自身。最後通過分情況討論，證明An的正規子群必含有一個3-循環，這就證明了An,(n>4)是單群。若有疑問可參見《代數學引論》（2nd)，聶靈紹，2009。第 66 頁定理 9 有詳細的證明過程。

元素 g 與左陪集 可以定義作用 ，現在就來看看這個作用有什麼結論。記 X 為子群 K的所有左陪集，考察子群 H 到 X 的作用（選G得不到有用結論）。作用的軌道是一些左陪集，它們的並可以寫成 ，它也稱為 重陪集 。重陪集可以既可以看成是一些K的左陪集之並，也可以看成是一些H的右陪集之並。根據軌道的性質可知，重陪集之間要麼完全相同，要麼沒有交集。

作用的穩定子滿足 ，從而 ，即 。穩定子的集合為 ，從而軌道內元素的個數是 。結合重陪集的意義和群的作用，就得到 里H的右陪集個數 和 K 的左陪集個數 分別為以下公式。

再來看看穩定元素 ，它們對一切 h 滿足 ，這就得到 ，它要求 首先是共軛的。當 時，可知 ，即 為 中 H 的所有陪集，個數為 。

對群的所有研究都是為了分析其結構，目前除了循環群之外，還沒有其它群被完全解析。在儲備了一些知識後，我們開始著眼於有限群和交換群這兩種常見且重要的群。相對於無限群的無窮變換，有限群的結構總也是有窮的，在這里也許可以得到一些有用的結論。我們當然是從群的階出發，逐步尋找規律。首先對於素數階群，顯然必定是循環群，且除 e 外每個元素都是生成元。對於素數冪次 階群，它每個子群的階都是 p 的冪，反之也是成立的，這樣的群有時也叫 p-群 。

拉格朗日定理說到，子群的階必為父群的因子，那麼反過來呢？對任意階為 的群 G，它有 p 階子群嗎？這個問題的答案是肯定的，現在用歸納法證明該重要結論。當 時結論顯然，現在假設結論對 成立。任意找一個非平凡子群 H，如果 ，則由假設知存在 p 階子群。如果總有 ，考察類方程（5），有 ，從而中心的階滿足 。而中心為正規子群，它的商群 必有 p 階子群 ，則必定有 ，所以 中有 p 階元。綜合以上就得到了結論：階為 的群必有有 階子群，該結論也叫 柯西定理 。

這個結論非常有用，比如由此可以判斷 pq 階交換群必有 p,q 階子群 ，而 的階為 ，所以它必定是循環群。如下有幾個小思考題，供讀者消遣：

• 求證p-群有中心；
• 求證 階群是循環群，另外僅有一個 p 階子群的 p-群 也是循環群；
• 同構意義下，4 階群只有循環群和 。

繼續剛才的問題，如果 G 的階為 ，它是否有 階子群呢？當 時結論顯然成立，假設有 階子群 H，考察式（8）的重陪集分解。左側有 ，右側那些重陪集除了 外都有 ，從而 。所以有 ，故 有 p 階子群 ，其中 ，且 。這就構造出了 階子群，繼而可以構造所有 階子群，其中 階子群也叫 Sylow p-子群。



顯然每個Sylow p-子群的共軛也是Sylow p-子群，反之對兩個Sylowp-子群K,H，考察其重陪集分解（9）。因為 ，而右側重陪集除 外都有 ，故有 。即存在 ，這就有 ，從而 共軛。既然所有的Sylow p-子群是一個共軛子群類，而穩定子為 ，故 Sylow p-子群的個數為 ，首先當然有 。其次，容易有 ，即 ，從而 。總結這兩段的討論就是重要的 西羅定理 （G的階為 ）：

（1）西羅第一定理：存在 階子群，且對任意 階子群 H 都有 階子群 使得 ；
（2）西羅第二定理：所有Sylow p-子群共軛；
（3）西羅第三定理：Sylow p-子群個數 n 滿足： 且 。

西羅定理為研究有限群的結構提供了非常好的工具，如果Sylow p-子群僅有1個，那它必為正規子群，可以將群拆分為Sylow p-子群及其商群來研究。如果Sylow p-子群有 個，考慮它們的共軛關系，已知可以有一個從 G 到 的同態映射，這就說明了G有同態於 的商群。

在上面我們得到過結論： 階交換群是循環群。如果不要求是交換群，但 ，則 p-子群 和 q−子群都是正規子群且無非平凡交集，也可以證明它們是可交換的。之前的證明同樣成立，它還是個循環群。利用這個結論，很多有限群都可以確定是循環群。

這個正規性還使得Sylow p-子群可參與有限群的分解。若有 ，且 -子群Pk都是正規子群（比如上面的條件），你可以證明有下式成立。而把結果用到交換群上則是顯然成立的。並且對任意 ，設 。由Sylow定理知， 中總有 階子群 ，則顯然 的階就是 d。這就是說拉格朗日定理的反命題對滿足條件的有限群是成立的，對任意 都有階為d的子群。

考慮幾個習題：
• P 為Sylow p-子群，若p-群H滿足 ，則 ；
• 同構意義下，6 階群只有循環群和 ；
• 若 或 ，則 G 不是單群。

剛才我們把有限交換群分解成了Sylow p-子群的直積，現在來看交換群Sylow p-子群 P 能否再進一步分解。考察 P 的一組生成元 ，由於是交換群，則必定有 。接下來我們需要找使得表達式成為直積的生成元，主要思想是利用現有生成元，如果不是直積，則能構造出階之和更小的生成元，用無窮遞降法就構造出直積表達式。這樣每個Sylow p-子群 P 都被分解成了若干循環群的直積，進而可以有任何有限交換群 G 都可以分解為循環群的直積，並且每個循環群的解都是 p-群。它們的生成元被稱為G的 基 ，生成元的階被稱為 初等因子 ，由此兩個有限交換群同構的充要條件就是它們的初等因子組相等。

可以將G的初等因子分成多組 ，並且滿足 。相應地就有下式成立。 叫的 不變因子 ，容易證明不變因子組相等也是有限交換群同構的充要條件。其實還可以證明，對任意初等因子組合不變因子組，都可以構造出相應的有限循環群，以上都稱有限 交換群基本定理

❸ 伽羅瓦理論（三+）

以上概要僅為表明伽羅瓦所述思想。他的工作是這樣進行的：給了一個一般或特殊的方程，他首先說明如何找到這個方程在系數域中的群G，即根的置換群，這些置換使根之間的系數在該域中的全部關系保持不變。必須在不知道根的情況下找到這個方程的群。在上面的例子中，四次方程的群是8階的，而系數域是R，在找到方程的群G後，下一步是找G的最大子群H，上例中是一個4階子群，假如有兩個或多個最大子群，可任選一個。確定H是純粹群論的問題，是能夠做到的。找到H後，可用一套僅含有理運算的手續來找到根的一個函數核物Φ，它的系數屬於R，且在H的置換下值不變，但在其它置換下值發生變化。在上例中 ，實際上有無窮多個這樣的函數，這也要在不知道根的情況下找出。一種方法是構造R中的一個方程，使它的一個根就是函數Φ。這個方程的次數是H在G中的指數，稱為部分預解式、在上例中，方程是 ，次數是8/4或2。接著從這個部分預解式解出根Φ，上例中 ，添加到R中得到新域R'，於是可證明，原方程關於域R'的群是H。

重復以上步驟，現在有4階群H和域R'，下一步找H的最大子群。在上例中是2階子群，稱其為K。能得到原方程的根的一個函數，它的系數屬於R'，值在K的每個置換下不變，而在其它置換下變化。上例中構造方程 ，方程次數是K關於H的指數，即4/2或2。這個方程是第二個部分預解式，然後解預解式得到一個根即函數Φ1，把這個值加到R'得到域R''，原方程關於域R''的群是K。

再重復以上步驟找K的最大子群L，上例中是恆等置換E。要找根的一個函數（系數在R''中），值在E下不變，而在其它置換下變化。上例中的函數是x1-x2，為了在不知道根的情況下得到Φ2，必須構造R''中的一個方程，以函數Φ2為一個根。上例中構造方程 ，方程次數是L關於K的指數2/1或2。這個方程是第三個預解式，必須解方程得到Φ2，把根添加到R'改鄭液'得到域R'''。假設這是最後一步，原方程在R'''中的群是恆等置換E.

接著伽羅瓦證明，當一個方程關於給定域的群恰是E時，那麼方程各個根都屬於該域，因此根在R'''中，又因R'''是由已知域R逐次添加已知量獲得，因此知道根所在的這個域。其次有一個用R'''中有理運算直接找根的步驟。

伽羅瓦給出了一個方法找給定方程的群、逐次的預解式以及方程關於逐次擴大了的系數域的群，即原有群的逐次子群，而擴大的系數域是由添加這些逐次的預解式的根到原來的系數域獲得的。這些步驟包含了一個可觀的理論，但正如伽羅瓦指出的，這不是解方程的實際方法。

之後伽羅瓦把上述理論運用到用有理運算和根式解多項式方程的問題，這里他引入了群論的另一個概念，設H是G的一個子群，如果用G的任一元素g乘H的所有置換，則得到一個新的置換集合gH(表示先g後H)，如果對G中的每個g有gH=Hg，稱H為G的一個正規子群（自共軛或不變子群）

伽羅瓦的解方程法要找預解式並求解，他證明當作為約化方程的群（比如由G約化到H）的預解式是一個素數次p的二項方程x^p=A時，則H是G的一個正規子群（且指數為p）；反之，如果H是G的一個正規子群，且具有素指數p，則相應預解式是p次二項方程，或能化簡為二項方程。如所有逐次預解式都是二項方程，則由高斯關於二項方程的結果，能用根式解原方程，因為能從最初的域逐次添加根式得到根所在的最後的域。反之如果一個方程能用根式求解，則必定存在預解式方程組，且預解式方程都是二項方程。

今天可用根式求解理論大致和上述理論相同，不同的是在子群序列G,H,K,L..,E中，每個群必須是前一個叢核群的極大正規子群（而不是任何較大正規子群的子群），這樣的序列叫做合成序列。H對G的指數、K對H的指數等叫做合成序列的指數。若指數都是素數，則方程能用根式求解，若指數不是素數，則不能用根式求解。找極大正規子群時可能有多個選擇，可任選一個，雖然由此得到的子群可能不同，但產生的指數集合完全相同（指數出現的次序可能不同，參考Jordan-Holder定理）。如果群G包含一個素數指數的合成序列，則方程可解。

對一般的n次方程，這個群由n個根的全部n!個置換組成，稱為n級對稱群，它的階是n！，極大正規子群（也稱交錯子群）階為n!//2，這個交錯群僅有的正規子群是恆等元素，指數是2或n!/2，對n>4，n!/2不是素數，因此次數大於4的一般方程不能用根式求解。另一方面，二次方程可以藉助一個預解式方程解出，合成序列的指數只有1個2。一般的三次方程，需要兩個預解式方程，形式為y^2=A和z^3=B，合成序列的指數是2和3。一般的四次方程有四個二項預解式方程，一個三次和三個二次的，合成序列的指數是2.3.2.2。

伽羅瓦對數字系數的方程給出了一個和獨立系數為字母的方程相似的理論，基本原理是相同的，不過判定可用根式求解的步驟更復雜。

伽羅瓦還證明了一些特殊定理。如果有一個素數次的不可約方程，其系數在域R中，它的根全部是其中兩個根的帶有R中系數的有理函數，則方程可用根式求解。並證明了逆定理：每個可用根式求解的素數次的不可約方程，每個根都是其中兩個根的帶有R中系數的有理函數。這種方程現在稱為伽羅瓦方程，這個概念是對阿貝爾方程的推廣，最簡單的伽羅瓦方程是x^p-A=0。

❹ 證明換位子群是正規子群

commutator是換位子，形式aba^(-1)b^(-1)，起源可能是魔方，因為如果要使得魔方產生盡可能小的變化，而其他色塊不變，魔方的擰的順序，就是形式aba^(-1)b^(-1)，只不過a，b可能代表一系列操作。不是單純的擰一下。
為了簡單，我用x'表示x^(-1)
Gc是由所有交換子生成的子群，要證其正規，就是要證左陪集＝右陪集
也就是k Gc= Gc k
也就是對於任何k屬於G，a,b屬空寬銀於Gc。要證存在x，y使得 kaba'b'=xyx'y'k成立。
也就是aba'b'=k'xyx'y'巧蠢k

令
x=kak'

x'=ka'k'
y=kbk'
y'=kb'k'

k'xyx'y'k=aba'b'
所以是正規子群

第2問是要任何G到交換群S的同態映射f，都是G/Gc factor through？
對a,b屬於G, f(a)，f(b)屬於S
f(ab)=f(a)f(b)
f(aba'b')=f(a)f(b)f(a')f(b')
因為S交換
所以f(a)f(b)f(a')f(b')＝f(a)f(a')f(b)f(b')=f(aa')f(bb')=f(e)f(e)=f(e)
所以在任何f下，Gc被映射成交換群S中的子群{f(e)}，只有單位元哦。
factor through？是什麼我沒太懂你自己看看吧，要斗宴是你知道告訴我也行。

有個東西叫群同態基本定理
G/ker(f)同構於im(f)
所以對於任何f
ker(f)定義是，f作用在ker(f)上為單位元
所以對於任何f，Gc包含在ker(f)中
G/ker(f) 是 G/Gc 的factor？
你自己再看看吧。

❺ 矽卡岩礦床及其有關岩漿岩的深部構造特徵

成礦作用是地質歷史中殼幔物質相互作用、物質遷移的結果，殼幔結構的不均勻性決定了礦產分布的不均勻性。對我國深部構造的研究已初步積累了關於沉積層、地殼與上地幔波速分布和大陸塊體結構的有關資料。依據布格重力異常和重力均衡數據佐以地震測深資料推斷了地殼厚度的分布，探窺上地幔結構和波速分布(馮銳，1985;周姚秀等，1979;王懋基等，1981;騰吉文，1983，1985;葉正仁，1985;張少泉等，1985)，為進一步探討矽卡岩礦床形成的深部構造背景提供了基本的地球物理資料。

(一)我國莫霍面及深斷裂的基本特徵

在我國莫霍面等深線圖上(圖4－1)清楚地顯示出地殼厚度東薄西厚的總體趨勢，東部地區地殼厚32～36km，青藏高原莫霍面深達73km(藏北)，藏南為45～68km。由西而東有賀蘭山－六盤山－龍門山和大興安嶺－太行山－武陵山等深部構造變異帶將我國深部構造劃分3個分區:青藏幔坪區、中部幔坪區及東部地幔台坪區。在西部地幔台坪坳陷區(青藏幔坪區)周圍被梯度很大的寬約200km的環形重力梯度帶所包圍，其北緣自昆侖山東延，經柴達木盆地北緣沿阿爾金山、祁連山，南轉越龍門山，東支沿烏蒙山西側西轉，西支經大雪山後轉至高黎貢山(王懋基等，1981)。門源－平涼－渭南地震測深資料表明(張少泉等，1985)，由渭南－門源莫霍面逐漸加深，由35.5km增至56.6km，六盤山為地幔陡坡帶，且表現為東緩而西陡的形態，伴隨有鄂爾多斯西緣的超深斷裂。東部地幔陡坡帶北起大興安嶺南逾太行山武陵山經廣西百色入越南境內，寬80～100km，重力梯度值可達1mGal/km，形成一系列地壘地塹，控制著地殼上部的沉積建造和深成岩漿活動，沿此構造帶尚有零星金伯利岩、苦橄岩和其他基性—超基性岩出露，地幔密度值可達3.29～3.35g/cm³，表徵出地幔物質沿此構造帶的上涌。

圖4-1 中國莫霍面形態與矽卡岩礦帶關系圖

在莫霍面上述3個分區基礎上，王懋基等(1981)鑒於各區內部構造特徵進一步劃分9個小區。

在上述地幔形態背景上，在各構造帶的邊部或兩構造單元的交銜部位經常發育有巨型斷裂帶或復合斷裂帶，它們隸屬於古亞洲斷裂系，濱太平洋斷裂系、特提斯喜馬拉雅斷裂系。矽卡岩礦床及其含礦岩漿建造主要受控於中朝准地台北緣斷裂系和博羅霍洛－中天山斷裂系，昆侖－秦嶺地槽中的斷裂，如北祁連－北淮陽，柴達木北緣－青海南山－北秦嶺－北淮陽、東秦嶺－南秦嶺等斷裂系，它們控制著我國北部、西部及秦祁地槽系的發育歷史和含礦岩漿建造的時空分布。在東部濱太平洋斷裂系中以郯－廬斷裂系，大興安嶺－太行山－武陵深斷裂系及東南沿海斷裂系尤為主要。我國西南部的玉龍－龍門斷裂系、康滇地軸斷裂系對矽卡岩礦床及斑岩－矽卡岩復合礦床具有重要的控製作用。我國深部構造格局不僅取決於太平洋板塊、印度板塊與中國大陸的相互作用，也取決於殼幔重力均衡及中生代以來歐亞板塊向東南蠕散的特徵。

(二)岩漿岩的構造類型

依據含礦岩漿岩產出的大地構造位置、深部構造特徵、地飢斗殼結構、基底類型和岩漿岩組合等特徵，初步把我國與矽卡岩礦床有關的岩漿岩劃歸下述幾種構造類型:

1.產於穩定地台內部的岩漿建造

中朝准地台中的岩漿建造是其代表，該區莫霍面總體深度30～40km，平均35km，呈台坪狀，地殼向西部和北部增厚，向東部、南部變薄，莫液早霍面等深線除與燕遼台褶帶相毗連部分外，均呈北北東—北東向延伸。在上述總體格局的基礎上，莫霍面的波狀起伏形成局部的幔隆、幔坳帶，波狀起伏的構造單元寬為50～100km，長約100km，多數莫霍面的間斷點位於波狀起伏的拐點處，絕大多數的中生代岩漿岩和深斷裂帶位於地殼厚度的最大梯度帶中，也即地幔隆坳的銜接過渡帶，依據光彈模擬試驗證明，這種地帶是地殼最大剪應力分布帶(孫武城等，1983)。中朝准地台上述深部構造特徵決定了本區主要岩帶呈北北東向展布，特別是東部的郯廬岩帶，中西部的太行岩帶。本區地殼基性度為0.44～0.56。基底由各種不同結晶程度的變質雜岩組成。太古宇—元古宇在魯東出露膠東群(12000～26000m)，魯西為泰山群(3700～21000m)，太行區為阜平群、五台群、鬧肢雀滹坨群，厚逾26000m，山西太古宇—元古宇厚達36000～40000m。它們主要由深變質—中深變質的麻粒岩、片麻岩、角閃岩及混合岩組成，上部為變質較淺的片岩、千枚岩。原岩多為基性—中基性火山岩及粘土半粘土岩，主要屬中基性火山岩型基底，但膠東群、粉子山群酸性程度較高。

華北地區具有較高的熱流值，中、新生代沉陷區熱流值均在1.5HFU以上，沿大興安嶺－太行－武陵深部構造變異帶及沂沭深大斷裂帶有基性、超基性岩及榴輝岩的零星出露，並發現金伯利岩岩筒(蒙陰)，這些都表徵出本區的地熱活動、岩漿活動與深部的地幔活動及深大斷裂有關。

與矽卡岩礦床有關的岩漿岩主要形成於中生代，此時中朝准地台已進入大陸邊緣活動帶的發展階段。此區由東向西依次展布有沂沭岩帶、太行岩帶、太原－臨汾岩帶。這些岩帶中岩漿岩具有較低的δ¹⁸O值(7.7～9.8)和⁸⁷Sr/⁸⁶Sr初始值(山西西安里此值為0.7058)。在deLaRoche的岩漿岩構造－岩漿組合圖解(圖6－14)中，沂沭岩帶及太行岩帶深成岩體變化趨勢線幾乎平行於源趨勢，這說明本區不同侵入階段的岩漿岩成分變異是大地構造有序地漸進發展的結果，成岩物質主要來源於下部地殼及地幔，對上部酸性地殼物質同化較弱。

2.穩定地台邊緣坳陷帶中的岩漿建造

分布於中朝准地台南北兩緣，包括燕遼台褶帶和北秦嶺加里東褶皺帶，是我國鉬礦的主要產區。燕遼台褶帶莫霍面深度為37～42km。呈一由東南向西北降低的地幔坳陷，莫霍面形態呈波狀起伏，形成次一級北東向排布的隆坳帶。在全國莫霍面等深線圖上我們可以看到它位於大興安嶺－太行－武陵深部構造變異帶中，並且深部構造線在此區呈弧形展布，由北而南，由南北向急轉至北東向或北東東向，已知含礦岩漿岩絕大部分分布於地幔波狀起伏的隆坳過渡帶或偏幔坳一側。石家莊－喀拉沁旗地震探測結果揭示出燕遼沉降帶與中朝准地台地殼結構存在某些差異，興隆、承德一帶中層地殼厚度可達16km，並夾有5.5km/s左右的低速層，保定、石家莊地區中層地殼厚度約為12km。殼內低速層的發育，並常伴有較高的地溫場和大地熱流值可視為地殼活動區的重要特徵。

燕遼台褶帶內廣泛出露下中前寒武系遷西群、單塔子群，下部原岩以基性—中性火山岩為主，上部為粘土質岩類，構成基—中性火山岩型基底，而遼西則發育有大面積混合花崗岩，具有較高的鉬豐度。基—中性火山岩相對較少。北秦嶺加里東褶皺帶為祁連加里東褶皺帶的東延部分，此區莫霍面深度35～46km，欒川、盧氏等地為一向西加深的地幔坳陷，軸向近於東西，其中分布有規模較小的幔隆、幔坳。此區西部之門源－渭南地震測深剖面顯示出隨地殼厚度由東至西增加伴隨地殼基性度的增高，金堆城—渭南—平涼一帶莫霍面局部起伏較大，斷裂發育，金堆城、渭南、平涼顯示出相對地幔上隆，地殼厚45～50km。而至永登、門源一帶則深逾55km。據西北冶金地質勘探公司研究所資料，東秦嶺主要含鉬侵入體及其礦床均產於地殼厚度小於44km的幔坳區。金堆城、渭南、平涼一帶地殼基性度較低，屬硅鋁質地殼，向西基性程度增高。太華群構成本區基底，由中、深變質的片麻岩、混合岩、大理岩、斜長角閃岩組成，厚3700～5000m。鉬平均含量約為4.1×10^－6。(黃建軍等，1983)。區內分布東西向切殼斷裂;如崇凝鎮－尖山斷裂，洛源－馬超營斷裂，上樓村－廟子斷裂，特別是黑溝－欒川斷裂在很大程度上控制著中生代含礦岩漿建造的定向展布。含礦岩漿岩具有富Si，K，貧Ca，Mg，Fe，Na的特點，全岩氧同位素δ¹⁸O值為7.2～9.6，⁸⁷Sr/⁸⁶Sr初始值介於0.7034～0.708之間。在deLaRocher構造－岩漿組合圖解中(見圖6－14)，曲線位於4區，垂直於源趨勢，說明岩漿結晶過程中曾發生了，基性組分有限連續的分離及酸性殼源物質的加入。對遼西中生代岩漿建造的分析，我們認為它導源於安山質熔漿，且有較多的酸性地殼物質加入(林文蔚，1987)。喬懷棟(1984)依據豫西含礦岩體⁸⁷Sr/⁸⁶Sr初始值採用C.J.Alligre混合參數公式計算，得出岩漿由57%～76%的上地幔物質和24%～43%的地殼物質混合而成。

上述分析說明了產於中朝准地台南北兩緣中生代岩漿建造具有相似的大地構造、深部構造背景，地殼酸度較高，太古宇基底具有較高的鉬含量，中生代岩漿岩屬幔殼混合源型，殼源物質加入較多，構成以鉬為特徵的中酸性—酸性岩漿岩成礦系列。

3.產於穩定地台間坳陷帶的岩漿建造

此帶以長江中下游斷陷帶為代表，為一弧形斷裂坳陷帶，北臨華北台坪，南接華南幔陷，該帶莫霍面由西向東抬高，常熟—啟東一帶地殼厚28km，常熟—馬鞍山一線約32.5km，湖北東部為30～33km，自武漢至南京形成一地幔弧形隆起帶，稱之為中下揚子幔隆帶，南北兩側分別為幕阜山、黃山及襄樊－大別山幔陷帶。據曹洛華、葛宗俠資料，武漢－南京幔隆帶地殼視基性度(J_s)>0.5(曹洛華，1986;曹洛華、葛宗俠，1987)，屬硅鋁－鐵鎂質地殼，而其南北兩側的幕阜山、大別山J_s< 0.48，屬硅鋁質地殼，在沿江的偏鐵鎂質地殼和兩側硅鋁質地殼之間存在寬度不等的過渡類型，其地殼視基性度J_s介於0.48～0.50之間。依據地質地球物理資料，任紀舜等把揚子准地台劃分為3種基底類型，即川中式、江南式和昆陽式。根據區域重磁資料分析及沿江流域地層展布狀況，葛宗俠等人推斷沿長江一帶應為變質深、僵化程度較高以鐵鎂組分為主的川中式基底，區域南部則為淺變質僵化程度較低的江南式基底，兩者大致以梁子鎮—靈鄉—大冶—網湖為界。

印支旋迴晚期至燕山旋迴的早期淮陽地塊向南滑移，釀成了此區東部以北東向為主，西部以北西向、東西向為主的構造格局，控制著本區中生代岩漿岩帶的空間展布，本區岩漿岩全岩δ¹⁸O絕大多數< 10，⁸⁷Sr/⁸⁶Sr初始值為0.703～0.707。

在deLaRocher構造－岩漿組合圖解中(見圖6－14)，武山、城門山、鐵山等岩體演化趨勢線垂直於源趨勢，推測它們導源於高鋁玄武質或安山質熔漿，武山岩體晚期的富鋁屬性可能是與K₂O，Al₂O₃等組分的加入有關。

長江中下游岩帶之岩體屬輕稀土富集型，除晚期侵入體外大多無銪異常，或僅有極弱的負銪異常，δEu=0.84～1.11，部分樣品有輕度鈰虧損(δCe:0.66～0.83)。稀土元素配分曲線向右傾斜，與安山岩稀土配分曲線相似。

4.產於酸性地殼褶皺帶中的岩漿建造

我國華南與華北地殼結構莫霍面形態，具有很大差異，在全國莫霍面等深線圖上，北部莫霍面等深線主要呈明顯的北東向分布，而逾南陽—合肥—蘇州一線之南莫霍面方向渙散，線性特徵趨於隱沒，華南區莫霍面深28～38km，由北向南、自北西向東南沿海方向抬升。據1978年永平工業爆破資料，華南莫霍面平均深度約為33km，康氏面深21.46km。區內大致以北緯25°為界分為各具特色的南北兩個分區，北區莫霍面形態復雜，地幔隆坳帶呈北東—北北東向分布，地殼加厚減薄明顯，南區莫霍面等深線呈東西展布，隆坳形態舒緩，起伏較小，廣東濱海帶地殼深27～30km，最大厚度差5km，康氏面可能為13～16km。依據莫霍面形態特徵和空間展布可將華南地區劃分下述深部構造單元(張宏良等，1985)。由東至西它們是:浦城－永安幔坳，鄱陽－贛州幔隆、修水－桂東幔坳、洞庭－衡陽幔隆、藏江－源凌幔隆、雪峰山幔坳及南嶺東西向復雜構造區。

大興安嶺－太行－武陵深部構造變異帶通過此區西部經河池、百色而入越南，東部之廬江—南昌—吉安—廣州為其東西兩部重力均衡界線，其東均衡異常為正值，西為負值，該線之南端有吳川－四會斷裂通過，據此判斷它可能是郯廬斷裂之南延部分或是它的一個分支(王懋基，1985)，除上述兩個重要的構造變異帶外，尚有東南沿海幔坳帶、上饒－崇仁幔坡帶、德安－永興幔坡等線形構造，它們在一定程度上控制著華南中生代的岩漿建造。

華南地殼以多層狀和橫向組成的不均勻性為特色，在南陽—合肥—蘇州一線之南為重力低值區，區內各種成因類型的花崗岩均有發育，由北西至南東花崗岩分布范圍逐漸增大，反映了華南具有以低密度花崗質地殼為主的特徵。上地幔與地殼橫向上的不均勻性表現在由西向東低密度地殼增厚，盆地下面地殼密度增高，在沿海火山岩區存在低密度上地幔，這種上地幔地殼密度的橫向變化，南部、東部濱海帶莫霍面變淺並伴有較高的地溫場和熱流值，這些深部構造特徵與中生代花崗岩空間分布的相宜關系，佐證了華南中生代岩漿建造受控於上地幔形態和地殼組成。

區內北東向深斷裂發育，自東南濱海向北西方向主要有長樂－南澳斷裂、麗水－海豐斷裂、邵武－河源斷裂、連平－廣州－思平斷裂，四會－吳川斷裂、廣西靈山斷裂，北北東向有紹興－江山－信江斷裂，宜春－永樂斷裂等，這些深斷裂大多產於地幔陡坡帶中，如長樂－南澳斷裂、麗水－海豐斷裂、邵武－河源斷裂。而紹興－江山－信江斷裂帶恰位於上饒－崇仁幔坡帶中。這些地幔陡坡帶和深斷裂帶在很大程度上控制著本區花崗岩的空間展布，並隨著成岩時代的演變形成了原地花崗岩—侵入花崗岩—高位花崗岩的連續演化系列。

華南褶皺系的地槽建造主要由震旦系—志留系組成，為復理石類復理石少量碳酸鹽岩和火山岩。元古宇主要出露有四堡群淺海相碎屑岩夾細碧角斑岩，板溪群為淺海相復理石碎屑岩夾火山岩類，它們主要分布在黔東、黔東南，桂東北—西南、閩西等地，構成粉砂－泥質基底。在閩北建甌一帶則為片麻岩、片岩、角閃片岩、石英岩、變粒岩。原岩含較多的中、基性火山岩類，構成中、基性火山岩型基底。總之，我國華南與華北區地幔形態和地殼組成、基底類型有較大不同，華南是以花崗岩質為主的硅鋁質地殼，前震旦系以粉砂泥質為主，閩浙濱海帶則變為中基性火山岩型基底。此種深部構造背景，地殼和上部沉積、變質建造的空間變異決定了華南花崗岩的空間分帶。依據各岩帶的深部構造特徵，可劃分下述岩帶。

(1)北東向構造岩漿岩帶

1)浙閩粵濱海岩帶;分布於麗水－海豐斷裂之東的上地幔隆起區，重力資料揭示出此區具異常低密度上地幔，分布有安山質－英安質－流紋質火山岩類，濱海的陸地部分中生代火山岩帶寬達180～260km，延伸1200km，以裂隙噴發為主，伴有同源侵入的花崗閃長岩－黑雲母花崗岩－鹼性長石花崗岩，同熔型花崗岩分布廣泛。此帶與中生代岩漿建造有關的礦產相對較少，主要為Cu，Pb，Zn，Mo，Fe，W，Sn，且從北至南有由Cu，Pb，Zn，Mo向W，Sn變異趨勢，其中矽卡岩礦床甚少，可能與此區碳酸鹽岩層不發育有關。

2)大陸內部北東向的岩漿岩帶:此帶位於麗水－海豐斷裂帶之西，為華南中生代岩漿岩廣泛分布區。其中自幕阜山－雲開大山與武夷山之間的花崗岩約占該區總面積的50%，包括加里東期、海西期、燕山期花崗岩，而以燕山期花崗岩尤為發育，在成因上包括混合岩化交代花崗岩、陸殼重熔型花崗岩，殼幔混合源同熔型花崗岩及極少的幔源型岩漿岩。以重熔型花崗岩為主體。侵入岩多沿北東向線形構造帶展布。自北向東南方向依次排布有湘桂邊界的花崗岩帶，十萬大山－大容山花崗岩帶，雲開大山－武夷山混合岩、花崗岩帶，新興－於都花崗岩帶，寶安－三明花崗岩帶。自北西向南東岩體形成時代有變新徵象，其規模也愈來愈大，常為多期次侵入的復式岩體。

(2)酸性地殼內部東西向岩漿岩帶

分布於北緯24°～26°之間，是本區地幔東北向構造帶與桂粵東西向構造的轉換部位，由於北東及東西向構造的聯合作用，使此帶北部邊緣北東向的地幔構造帶端部碎解成規模更小的幔隆、幔坳，此帶西抵河池之西，東達安遠上杭一帶。此帶中，中生代岩漿岩極為發育，伴隨極豐富的稀有、稀土、有色等多金屬礦產。由北向南有塔山－鼓山岩帶，道縣(九嶺)－會昌－仙游岩帶，大東山－九嶷山－泉州岩帶，花山－鼓山－佛岡－廈門岩帶。從總體上看自西向東岩體時代變新，規模增大。依據地質地球物理資料，華南陸殼重熔型花崗岩及混合岩化花崗岩以岩基為主，具有多期次成岩特徵，且原地－半原地花崗岩、高位侵入花崗岩在一系列地質地球化學特徵上具有過渡關系，受控於深大斷裂帶。它們以富硅富鹼貧基性組分鋁過飽和為特徵，礦化以稀土、稀有、有色(W，Sn)及U為主。岩漿岩全岩氧同位素δ¹⁸O為9.5～13.5，⁸⁷Sr/⁸⁶Sr初始值>0.711，稀土元素總量較高且相對富集重稀土，銪負異常甚為明顯，這些特徵都有別於同熔型花崗岩(徐克勤等，1986)。

依據50多個重力異常的反演結果，認為華南花崗岩重力異常變化范圍為30mGal，岩體厚度為5～15km，少數達20km，如九嶺岩基厚7km，瑤崗仙岩體11～12km，柿竹園岩體為13～14km(王懋基，1985)。

此區成礦作用復雜，礦化類型繁多，陳毓川等(1985)將南嶺地區劃分為5個成礦系列。矽卡岩型礦床主要屬於與燕山期中淺成酸性花崗岩有關的稀土有色及多金屬礦床成礦系列，如柿竹園、香花嶺、黃沙坪、大廠、瑤崗仙等礦床，它們與殼源重熔型花崗岩系密切，與燕山期淺成—超淺成中酸性花崗岩有關的Cu，Pb，Zn，W，Mo，Ag;Au，U礦床系列多為岩漿型、偉晶岩型、斑岩型、熱液型金屬礦化，成礦母岩主要為花崗閃長斑岩、石英閃長玢岩、英安斑岩，也有流紋岩。岩體中⁸⁷Sr/⁸⁶Sr初始值< 0.710，屬殼幔混合源型花崗岩。其代表的矽卡岩礦床有水口山、銅山口等。與酸性岩漿侵入活動有關的Fe－Sn－Mo(Pb，Zn)成礦系列中，矽卡岩礦床甚為多見，如福建馬坑、潘田、洛陽、大田，廣東大頂、鐵山嶂、尖山。後兩者的岩漿岩及其礦床主要集中於地幔陡坡帶或地幔隆坳過渡帶中，在空間上它們主要沿上饒－崇仁幔坡帶(上饒－鉛山斷裂帶)、吳川－四會斷裂帶及麗水－海豐斷裂帶展布。

華南地殼以富集稀有、稀土及放射性元素為主要特徵，U，Th具有較高豐度，遠高於地殼花崗岩中U，Th平均含量。富含U，Th的侵入體絕大多數為出露面積大的多期次的復式岩體，這都預示著華南地殼可能有較高的U，Th，K背景含量，它可能是華南地殼具有較高的地溫場的重要因素之一。

5.地槽褶皺帶中的岩漿建造

此類岩漿建造屬同造山期及造山期後的花崗岩類，形成於優地槽褶皺系中，包括天山褶皺系、內蒙古褶皺系、吉黑褶皺系、昆侖－祁連褶皺系。

我國東北地區從大范圍上看是一個大規模地幔隆起帶，松遼和下遼河平原是該幔隆的軸部，莫霍面向東西兩側傾沒，且有東陡西緩的趨勢，其西部:大興安嶺一帶莫霍面由東至西由34km降至39km，形成北北東向延伸的幔坡帶，松遼平原之東側發育一系列正向負向構造，構成次級的隆、坳帶。區內存在兩個主要的深部構造變異帶，其一沿沈陽—長春—綏化展布，為郯廬斷裂北延部分。布特哈旗於烏蘭浩特變異帶實為大興安嶺－太行山－武陵山構造帶的組成部分，此外尚有一系列北東向斷裂。它們控制著本區岩漿岩的分布，據遼南工程爆破探知，遼南地區下部地殼厚13～16km，地殼視基性度0.40～0.43。北部缺乏相應資料。本區西部上前寒武系主要為含十字石、矽線石、石榴子石之片岩、片麻岩夾角閃質片岩及大理岩。構成中基性火山岩及粘土質岩基底。東部主要為碳酸鹽岩及中深變質岩類，出露有麻山群、黑龍江群、晨明群。屬碳酸鹽－砂泥質基底(姜齊節等，1982)。

區內出露前興凱期、加里東期花崗岩類，海西期花崗岩分布尤為廣泛，與Fe，Cu，Pb，Zn關系甚為密切，海西期早期岩漿活動強度較弱，海西期中、晚期花崗岩分布於大興安嶺嶺脊及兩側，隨時代變新花崗岩帶向東南遷移，屬冒地槽褶皺帶的岩漿建造。小興安嶺、張廣才嶺、太平嶺一帶分布有海西期晚期花崗岩，產於優地槽環境。主要為黑雲母花崗岩、斜長花崗岩、花崗閃長岩及白崗質花崗岩、花崗斑岩。

古生代末結束了地槽發展階段，進入了濱太平洋構造域以斷塊運動為主的發展階段，燕山期岩漿岩分別受伊蘭－伊通、密山－敦化－撫順斷裂帶控制，嫩江斷裂之南緣部分形成淺成小岩體。

天山褶皺系、昆侖－秦嶺褶皺系分別受控於天山幔槽，阿爾金山－祁連山幔坡及昆侖山北緣幔坡帶，沿上述地殼厚度變異帶發育一系列深大斷裂，如阿爾金山－北山斷裂，中天山南北兩緣斷裂，巴顏喀拉山、積石山北緣斷裂，以壓剪性為主，區內熱泉廣布，地震頻繁，新構造運動活躍。依據門源－渭南地震測深剖面估算地殼基性度約0.43。天山－肅北前寒武系主要由中淺變質碳酸鹽岩、碎屑岩組成，夾少量中性火山岩，厚逾15000m。祁連山區前寒武繫上部沉積厚度巨大，由變質碎屑岩、碳酸鹽岩組成，夾有較多中基性火山岩類。它們均在中國古地台基礎上裂陷而成為地槽區，始於興凱旋迴，經加里東、海西旋迴逐步轉化為褶皺區，其間形成了地槽型沉積建造，伴有大規模的基—酸性火山活動和深成岩漿侵入，它們大都形成於優地槽環境。與矽卡岩礦床有關的岩漿岩為輝長岩、閃長岩、鈉長花崗斑岩、花崗岩。天山褶皺系中海西期(天山期)花崗岩最為發育，集中於中間隆起帶及北山褶皺帶中，屬鈣鹼質岩石系列，由早期至晚期反映出由基性—酸性—鹼性的演化規律，岩石相對富Na₂O(新疆地質局區域地質調查大隊，1985)。東昆侖－祁連褶皺系加里東期花崗岩主要分布於中祁連和河西走廊，侵入時限分早、中、晚3期，主要為花崗閃長岩、斜長花崗岩、石英閃長岩、花崗岩。加里東期晚期出現較多的黑雲花崗岩，海西期有鉀長花崗岩、石英閃長岩、輝綠岩及偉晶岩類，印支期侵入岩集中於青海南山、都蘭一帶，呈小岩基產出，岩性為黑雲母花崗岩、二長花崗岩，矽卡岩礦床與印支－燕山期侵入岩有關，屬造山期後侵入岩。

總之，產於地槽褶皺帶中的岩漿建造主要形成於地槽發展階段，多為同造山期岩漿岩，也有造山期後和斷塊活動期的侵入岩，它們大多產於深部構造變異帶中，侵入岩伴有相應成分的噴出岩，多形成於壓性、剪性的構造環境中，晚期小岩體則有可能是引張條件的產物。

(三)對深部構造與岩漿活動、礦化關系的初步認識

1)由於印度板塊、太平洋板塊與歐亞板塊的相互作用及陸內重力均衡(包括側向均衡、盆山作用)造成了我國東高西低的上地幔形態，太平洋板塊的俯沖，特提斯洋殼的向北消減促成東南濱海及粵南上地幔撓起。侏羅－白堊紀太平洋板塊向北差異性漂移(張用夏，1983)是我國東部北東向構造發育的主要原因。

2)我國兩個重要的深部構造變異帶將全國深部構造分為3區，岩漿活動和內生金屬礦化大都分布於東西兩區，東區(上地幔隆起區)中—酸性岩漿岩廣泛分布，多為燕山期產物，在濱海上地幔隆起帶具有廣泛強烈的中—新生代基性—中性—鹼性岩的火山活動，較高的地溫場和大地熱流值，多處發現幔源包裹體。金屬礦化以Fe，Cu，Pb，Zn，W，Sn，Mo，U，Th，稀有，稀土為主。西區的岩漿活動產於地槽褶皺帶中，為同造山期和造山期後產物，多分布於優地槽中，岩帶的空間展布與區域構造線一致，成礦以加里東期、海西期為主，主要與Fe，Cu，Ni，Pb，Zn等礦化有關。

3)主要岩漿岩帶均沿地幔陡坡帶分布，我國東部岩漿岩總體上多分布於地殼減薄帶，而次級地幔隆坳帶則控制著岩帶或岩體的空間展布，它們多產於隆坳過渡帶偏幔坳一側，兩種不同方向的深部構造帶的交銜部位(如南嶺)礦產尤為豐富，上地幔陡坡帶與區域深斷裂常相一致。

4)岩漿建造、金屬礦化組合在一定程度上受控於上地幔形態特徵、地殼結構、組成(基性度及基底類型)。一般地殼與基底基性程度愈高，其岩漿岩及相關礦產也多為偏基性岩漿場的元素組合，岩體受深斷裂控制明顯。在酸性地殼、砂泥質基底中，多發育酸性—超酸性岩類及其有關礦產，重熔型花崗岩分布廣泛。我國華南、華北在這些方面存在較大差異，因而具有不同的成礦特徵及礦化組合。

5)殼幔組成在橫向上的不均勻性是地殼運動發展的重要原因之一，它導致於重力均衡補償，殼幔物質的相對運動，活動帶與地台區相比具有較大的地殼厚度和縱橫向變化，有地殼低速高導層的存在並較穩定區發育，如燕遼台褶帶、馬鞍山—常熟—啟東、門源—渭南，青藏高原等地。

6)華南花崗岩具有較高的U，Th豐度，岩石中富鉀，它們絕大多數屬殼源重熔花崗岩類，因此可以認為華南地殼的花崗岩層具有較高的U，Th，⁴⁰K等放射性元素，這種放射能是形成華南地溫場的重要因素，加之地幔熱動力作用可形成廣泛地熔融岩漿，產生重熔型花崗岩及其礦化組合。

7)殼幔作用、區域地球化學場是制約區域岩漿建造及其礦化組合的重要因素，成岩成礦作用是殼幔相互作用、物質與能量遷移轉化的結果，這種作用也深刻地影響著區域地球化學場的特徵。殼幔的相互作用是在重力作用下殼幔物質的相對運移，它包括地幔物質沿構造薄弱帶的上涌，侵位於上部地殼並對地殼載入，造成重力的重新調節和莫霍面形態的相應改變;地殼物質橫向的重力補償(盆山作用);下部地殼沿深斷裂進入上地幔形成幔殼混合帶，並且在地幔高溫狀態下可能發生相應的物理化學變化，當斷裂繼續活動時可能導致殼幔物質的選擇重熔，形成相對富硅富鹼的混合岩漿，因此殼幔混合源岩漿的產生，它可能來源於殼幔物質的混合熔融，也可能是地幔物質與地殼酸性物質的混合，甚至是岩漿上侵過程中的高位同化。如此在混合岩漿中包括較廣泛的殼幔成分特徵和成礦元素組合。因此區域地球化學場在很大程度上決定於殼幔組成的不均勻性。

❻ 我的前半生：為什麼子君身邊都是好男人，子群卻總是遇到渣男

上次我寫了《我的前半生》里，為什麼羅子群和羅子君同為姐妹，一個過得那麼差，一個卻越過越好。最大的原因，是她們對很多事情的認知不同。羅子君在感情里的認知，雖然讓人恨鐵不成鋼，但卻很真實。現實生活里，真的看到很多婚姻不幸的女人，都有羅子群這樣的認知。有這種認知的女人，日常就是不停抱怨，既改變不了婚姻的現狀，又下啟配不了決心重新開始，只能一輩子被拖累。

反觀羅子群，絲毫沒有從第一段婚姻中吸取教訓，在沒有和白光離婚的情況下，就和一個有婦之夫，理發店的設計總監好上了。她經不起理發師阿峰的甜言蜜語，平時捨不得花幾百塊買衣服，卻捨得花兩千塊辦理發店的會員。羅子群挑選另一半真是眼光淺，無腦，又無底線。

❼ 如何證明交錯群a5不包含15階和20階子群

假設G是A_5的子群。
如果|G|=15，那麼Sylow定理可以推出G是循環群（這個比|G|=20的情況簡單，我就不細說了），但A_5中沒有15階元，矛盾。

如果|G|=20，那麼G有唯一的Sylow 5-子群，記成H，它是G的正規子群。因為5是質數，所以H同構於Z/5Z。那麼G中其餘的元素都以共行搏軛的方式作用在H上。從H=Z/5Z到自身的群同構有多少個（這里記得Z/5Z是那個加法群，請忘掉Z/5Z里的乘法）？一共4個，它們都把0映成0，並且分別把1映成1，2，3，4。把1映成1的那個同態記成a_1，把1映成2的那個記成a_2，類似有a_3和a_4。這里，比如說a_3，它把1映成3，然後又是Z/5Z到Z/5Z的群同態，所以a_3就把Z/5Z里的所有元素都乘3。那麼(a_2)^2就把1映成4（先成1變成2，再乘2變成4），所以(a_2)^2 = a_4；類似(a_3)^2=a_4，(a_4)^2=a_1=id，其中id是Z/5Z到Z/5Z的恆同映射。由a_1=id，a_2，a_3和a_4組成的這個群記成Aut(H)，它是H到H的所有自同構所組成的群，這里H是Z/5Z，而按上文所證，Aut(H)同構於Z/檔襪祥4Z（以a_2或者a_3為生成元）。現在看G（就是這個20階群）的一個Sylow 2-子群，記成P，它是4階的（按Sylow定理，G的這樣的子群可能有1個，也可能有5個，不過無所謂）。P在H上有一個共軛作用（因為H是G的正規子群），P中一個元素p把H中一個元素h映成ph p^(-1)。把h映成ph p^(-1)，這是從H到H的一個群同構（證明它是可逆的群同態），也就是Aut(H)里的一個元素，這個元素是由p決定的。這給出了從P到Aut(H)的一個群同態，這個群同態的核是1，因為A_5中的5階元與任何非5階元都不交換（試證之，並證明由此可以推出上面那個群同態的核是1）。現在P和Aut(H)都是4階的，因此P和Aut(H)同構。上文已證Aut(H)就是Z/4Z，所以P也和Z/4Z同構，於是P必須有4階元。但是A_5中尚且沒有4階元（S_5中有，好頌但那不是偶置換），因此矛盾。

❽ 群論的基本概念

定義: 設S是一個非空集合，那麼S與自身的笛卡爾積到S自身的映射就叫做S的結合法或運算 即：


這時，S叫做代數系。換句話說，對於一個集合S，如果在這個集合上的某種運算是封閉的( )，那麼就稱S是這種運算的代數系。

代數系有時候也被稱為廣群，當一個廣群滿足某些條件的時候，便可以稱作群
1.結合律
設S是具有一個運算的非空集合，如果對S中的任意元素a,b,c，在S上的運算都有：
(ab)c = a(bc)
則稱該運算滿足結合律。
2.單位元
設S是一個具有運算的非空歷明集合，如果S中存在一個元素e；使得對S中的所有元素a都有：
ea = ae = a
則稱該元素e為S中的單位元，通常記作e
3.可逆性
設S是一個具有運算並且有單位元的非空集合，設a是一個S中的元素，如果S中存在一個元素a'使得:
aa' = a'a = e
則稱該元素a為S中可逆元，a'稱為a的逆元，通常記作
4.群的定義：
設G是一個具有運算的非空集合，稱G為一個群，如果G上的運算滿足下面三個條件：
(i)結合律，即對 都有：
(ab)c = a(bc)
(ii)單位元，即 使得 都有：
ae = ea = a
(iii)可逆元，即 使得：
aa' = a'a =e
如果群G中的元素個數叫做群G的階，記位|G|；當|G|為有限數的時，G叫做有限群，否則G叫做無限群。
換句話說，如果在集合G上的運算滿足結合律，並且在該運算下G中存在單位元，並且G中的每個元素都有逆元，則稱G是一個群。

因此群的單位元是唯一的
5.交換律
設S是一個具有運算的非空集合S，如果 都有：
ab = ba
則稱該運算滿足交換律。
如果群G中的運算還滿足交換律，那麼則稱這個群是交換群或者阿貝爾(Abel)群。

定理： 設n是正整數，如果 ，則記冊纖 ，稱為 a 的 n 次冪；特別地，定義 為單位元， 逆元 的n次冪。
性質 ：設a是群G中的任意元素，則對任意的整數m, n, 有:

定義: 設H是群G的一個子集合，如果對於群G的運算，H成為一個群，那麼H就叫做群G的子群，記作
Notation: H={e}和H=G都是群G的子群，叫做群G的平凡子群；群G的子群H叫做群G的真子群，如果H不是群G的平凡子群。

子群的判定定理: 設 是群 的一個非空子集，則H是群G的子群的充分必要條件是：

陪集的定義: 設 是群 的子群， 是 中任意元素，那麼集合：

叫做 中 的左陪集(相似的，可以定義 中 的右陪集 )， 中的元素叫做 的代表元，如果 ，則 叫做 中 的陪集
需要注意的是，在陪集定義中的 是指 和 在群 上定義的運算

陪集的性質: 設 是群 的子群，則
i)對任意 ，有： ，
ii)對任意 ，有
判斷陪集相等: 對任意 的充要條件是 ，相反的如果 ，則 。

商集的定義: 設H是群G的子群，則H在G中不同左陪集組成的新集合
，叫做H在G中的商集，記作G/H,即
而G/H中不同左陪集的個數叫做H在G中的指標，記為[G:H]

商集指標的性質州爛仿: 設H是群G的子群，則|G|=[G:H]|H|
更進一步，如果 是群 的子群，且 是 的子群，則
，其中的每個指標都是有限的

拉格朗日推論: 設 是有限群 的子群，則子群的階 是群 的階 的因數

定義: 設N是群G的子群，稱N為群G的正規子群，如果N滿足：
i)對任意 ，有
ii)對任意 ，有
iii)對任意 ，有 ，其中

正規子群的性質: 設N是群G的正規子群，G/N是由N在G中的所有左陪集組成的集合，則對於運算(aN)(bN)=(ab)N，G/N構成一個群.

定義: 設 和 都是群， 是 到 的一個映射，若 有：

則稱 是 到 的一個同態
需要注意的是，同態可稱作保持運算的映射：

如果 是單射，則稱 為單同態；如果 是滿射，則稱 是滿同態；如果 是雙射，則稱 為同構。

如果群G和G'之間存在一個同構映射，則稱G和G『是同構的，記為G G'
當G=G'的時候，同態 叫做自同態；同構 叫做自同構。
同態的性質：
i) ，即同態將單位元映射到單位元

ii) ，即同態將a的逆元映射到 的逆元

iii) 是G'的子群，且f是滿同態的充要條件是：f(G)=G'

核子群： 是 的子群，並且 是單同態的充要條件是： ， 便稱為核子群

定理： 設 是群G到群G'的同態，則 是G的正規子群，反過來，如果N是群G的正規子群，則映射： 是ker(f)=N的同態，並且s被稱為G到G/N的自然同態。

同態分解（由一個同態映射得到一個同構映射）： 設f是群G到群G『的同態，則存在唯一的G/ker(f)到群f(G)的同構映射 。

並且可以得到一個映射轉換關系： ，其中s是群G到商群G/ker(f)的自然同態， 是f(G)到G'的恆等同態。即：

❾ 有關抽象代數里的一個同態定理的證明上的疑問

定理：設H是G的子群，a,b∈G則aH=bH的充要條件是a-1b∈旁迅鬧H
證明：充分性，設a-1b=h(h屬於H)，則b=ah,所昌棚以bH=ahH=aH
必要運罩性，因為aH=bH,所以對h屬於H，必存在h1屬於H使ah=bh1,a-1b=hh1^-1屬於H
證畢！