黎曼創造力

A. 數學家的軼事

你可能打錯字了.是維爾斯特拉斯
卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾施特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstraß，姓氏可寫作Weierstrass，1815年10月31日——1897年2月19日），德國數學家，被譽為「現代分析之父」。生於威斯特法倫(Westfalen)的奧斯滕費爾德(Ostenfelde)（今德國），逝於柏林。

卡爾·魏爾施特拉斯的父親是威廉·魏爾施特拉斯(Wilhem Weierstrass)，任政府官員；母親是特奧多拉·馮德福斯特(Theodora Vonderforst)。他在文理中學(Gymnasium)學習時對數學開始感到興趣，但他中學畢業後進入波恩大學准備在政府謀職。他要學習的是法律、經濟和金融，違背了他讀數學的心願。他解決矛盾的方法是不留心於指定課業，私下繼續自學數學，結果他沒有學位就離開了大學。他父親在明斯特一家師訓學校為他找到一個位子，他之後也得以注冊為該市教師。他在這段學習中上了克里斯托夫·古德曼(Christoph Gudermann)的課，對橢圓函數萌生興趣。

1850年後魏爾施特拉斯患病了很久，但仍然發表論文，這些論文使他獲得聲譽。1857年柏林大學給予他一個數學教席。

1854年，他發表了一本關於發展阿貝爾（Abel）函數論成果的專論——《關於阿貝爾函數論》公諸於世之後，根據他的學術成就，哥尼斯堡大學授予他名譽博士學位。1856年由庫默爾推薦成為柏林大學（Freie Universität Berlin）助理教授，1865年晉升為教授。生前，他的研究結果大都是向學生講授傳播的。1886年，他出版了《函數論論文集》。雖然他的著作不多，但卻發表了最有影響的論文。

維爾斯特拉斯的主要貢獻在數學分析、解析函數論、變分法、微分幾何學和缐性代數等方面。他是把嚴格的論證引進分析學的一位大師。他的批判精神對19世紀數學產生很大影響。他在嚴格的邏輯基礎上建立了實數理論，用單調有界序列來定義無理數，給出了數集的上、下極限，極限點和連續函數等嚴格定義，還在1861年構造了一個著名的處處不可微的連續函數，為分析學的算術化做出重要貢獻。他完成了由柯西（Cauchy）引進的用不等式描述的極限定義（所謂ε-δ定義）。在解析函數論中，維爾斯特拉斯也有重要貢獻。他建立了解析函數的冪級數展開定理和多元解析函數基本理論，得到代數函數論及阿貝爾積分中的某些結果。在變分法中，他給出了帶有參數的函數的變分結構，研究了變分問題的間斷解。在微分幾何中，他研究了測地缐和最小曲面。在缐性代數中，建立了初等因子理論並用來化簡矩陣。他還是一位傑出的教育家，一生培養了大批有成就的數學人才，其中著名的有柯瓦列夫斯卡婭、施瓦茲、米塔—列夫勒、朔特基、富克斯等

少年數學天才

1826年9月17日，在德國漢諾威的布列斯倫茨，黎曼（1826-1866）出生在一個鄉下牧師之家，是6個孩子中的次子。

黎曼從小酷愛數學。他6歲時開始學習算術，並顯現出他的數學天才。他不僅能解決所有留給他的數學問題，而且還經常提一些問題來捉弄他的兄弟姐妹。10歲時他跟一位職業教師學習高級算數和幾何，很快便超過了老師，常常對一些問題能做出更好的答案。

黎曼14歲時到漢諾威市上中學。由於經濟拮據，他總是靠步行奔波於漢諾威市與鄉間小村莊之間。當然他更沒錢去買參考書。幸運的是中學校長及時地發現了他的數學才能，考慮到他經濟上的困難，校長特許黎曼可以從自己私人藏書室里借閱數學書籍。在校長的推薦下，黎曼借了一部數學家勒讓德的《數論》，這是一部共859頁的4大本的名著。黎曼十分珍惜這種讀書機會，他如飢似渴地自學起來，6天之後，黎曼便學完並歸還了這本書。校長問他：「你讀了多少？」黎曼說：「這是一本了不起的書，我已經掌握了它。」幾個月之後，校長就這本書的內容考他。黎曼對答如流，並且回答得很全面。利用校長的藏書，黎曼還抓緊時間很快地自學了大數學家歐拉的著作，由此掌握了微積分及其分支。黎曼不僅從歐拉的著作中學到了數學知識，還學到了歐拉研究數學的技巧。

大學生涯

19歲時，黎曼進入格丁根大學學習，為了在經濟上幫助家庭以盡快找到一個有報酬的工作，他先攻讀哲學和神學，但是，除了這兩門課程以外，他也去聽數學、物理學課程。他聽了斯特恩關於方程論和定積分、高斯關於最小二乘法以及戈爾德斯米特關於地磁學的數學講座，對數學專業產生了難以割捨的興趣。

黎曼向父親講述了這一切，請求允許自己改學數學專業。父親由衷地同意了他的請求。黎曼極為高興，並深深地感激父親。

1847年，為了師從更多的大師，黎曼轉學到柏林大學，就學於大數學家雅可比、狄利克雷、斯泰納和艾森斯坦門下。他從雅可比那裡學到高等力學和高等代數，從狄利克雷那裡學到數論和分析學，從斯泰納那裡學到現代幾何，從文森斯坦那裡學到橢圓函數論。

在此期間，他極為勤奮，甚至放假期間也不休息。1847年秋假，黎曼找到幾份巴黎科學院《院刊》，上面載有數學家柯西新發表的關於單復變數解析函數的論文，他一眼便看出這是一種新數學理論，於是一連幾個星期閉門不出，潛心研究柯西的論文，並醞釀出他在這個專題上的新見解，為4年後撰寫博士論文「單復變數函數的一般理論的基礎」奠定了基礎。

黎曼不僅認真研讀大師的學術專著，而且虛心地向大師求教。有一次，狄利克雷來格丁根度假，黎曼趁此機會向他求教數學問題，並將自己未定稿論文交給他，請他提意見。狄利克雷被黎曼的謙虛、真誠和天才迷住了。他與黎曼長談了兩個小時，給黎曼的論文提了不少意見，給黎曼正在研究的課題作了許多指點。黎曼深感受益匪淺，他說沒有狄利克雷的指點，他將不得不在圖書館里做好幾天的吃力研究。

生活雖然清貧，但學習極為勤勉，這使得黎曼在大學畢業時獲得了豐碩的成果。1851年底，黎曼將其博士論文呈交給大數學家高斯審閱。高斯在看了論文之後興奮不已，對黎曼的論文作出了高度評價，這對高斯來說是罕見的。高斯評語道：「黎曼先生交來的論文提供了令人信服的證據，說明作者對該文所論述的這一問題作了全面深入的研究，說明作者具有創造性的、活躍的、真正的數學頭腦，具有燦爛豐富的創造力。」

貧困中奮進

1852年初，黎曼憑借優異的學術表現取得了博士學位，並留在了格丁根大學。十九世紀中葉的德國，科學幾乎與國家的經濟全然無關。大學的設立僅在訓練律師、醫師、教師和傳教士士，以及提供貴族子弟和富家子弟渡過引人側目及受尊敬的歲月的場所。只有正教授才可以領政府的津貼，並且可教授正規標准課程，這些課程都是一些基礎科目，上課的學生多，因此教授收到的學費也就多了，這就是為什麼當時課程水準低落的原因，因為如果課程太難，就沒有辦法收到許多學生，從而影響到教授們的收入，畢竟貴族子弟和富家子弟上大學的目的並非真心向學。講師們則沒有政府津貼並且輪不到教基本正規課程的機會，全然靠來聽課的學生的學費維生，通常，聽課的學生不會多，因此收入也就相當微薄，生活非常困苦。擔任講師是成為正教授的必經途徑。但是卻沒有明文規定什麼時候能將一位講師升等為教授，為了照顧特別值得重視的學者而卻沒有正教授的空缺時，政府可任命他為「客座教授」，使他具有教基本正規課程的資格，增多他的收入，但是這個任命附有條件，言明政府不付任何津貼。因此，在擔任講師期間，黎曼沒有任何自主的生活費來源，生活依舊貧窮。

但黎曼不顧生活上的貧困，仍然把全部精力投向數學。他認為只要能夠勉強維持生活，能夠讓他研究數學，他就心滿意足了。他從不因經濟上的拈據而感到沮喪。他一方面積極准備「無薪講師」的就職演講論文，另一方面認真從事數學物理方面的研究工作。他的就職論文具有相當的難度。當初為了確定論文的選題，他向高斯提交了3個題目，以便讓高斯在其中選定一個。其中第3個題目是涉及幾何基礎的，這個題目黎曼當時並沒有多少案頭准備工作，因此黎曼從心底里希望高斯不要選中它。可是，高斯對第3個題目卻深有研究，他已思考這個問題達60年之久。出於想看看黎曼對這個深奧的問題會做些什麼樣的創造性工作，高斯指定第3個題目作為黎曼就職演講論文的題目。

事後，黎曼在向父親談起這件事時說，「所以我又處在絕境中了」、「我不得不做出這個題目」。

對數學物理研究，黎曼也具有無限的熱情，他當時曾對人說：「我對於把一切與物理規律結合起來的數學研究非常入迷。」「我通過對電、光、磁等之間聯系的總研究，發現了對這個現象的解釋。這件事對我很重要，因為這是我第一次能夠把我的工作應用到未知的現象上。」這兩項研究在當時都是高水平的，因而也是極困難的。黎曼不顧生活清貧、營養不良，超負荷地忘我工作，長時期過四度而緊張地思索，以致他常常體力衰竭，甚至病倒。一旦身體稍有復原，他又繼續研究。功夫不負有心人。1854年6月10日，黎曼以「關於構成幾何基礎的假設」論文作了就職演講，受到了與會數學家們的認可和好評。高斯聽完之後大為驚異，感到這個年輕人處理這個難題非常之好，他贊不絕口。黎曼的這篇論文被人們認為是19世紀數學史上的傑作之一。

1855年格丁根大學開始給黎曼發薪金，但相當的低。一年僅相當於200美元。這一年黎曼29歲，他家裡遭到巨大的不幸，父親和一個妹妹相繼去世，原來依靠父親生活的3個妹妹失去了生活來源。於是黎曼和他的哥哥兩人挑起了照顧3個妹妹生活的擔子。黎曼時時為一家人的生活感到焦慮。1857年黎曼一年的薪金被加到相當於300美元的水平。由於收入不多，又要照顧3個妹妹，生活擔子重，黎曼連自己的婚姻大事都不敢考慮。然而就在這一年，不幸又從天而降，黎曼的哥哥又去世了。這對黎曼來說如同雪上加霜，照料3個妹妹生活的擔子全部落在他一人的肩上。從1855年到1859年這5年中，經濟拮據、生活清貧一直困繞著黎曼，有時一家甚至陷入對口糧都需要算計的地步。就是在這種情況下，黎曼仍不顧物質生活的貧乏，全身心地投入到數學研究工作之中，在科學的崎嶇小道上艱苦奮斗，並獲得了令人驚異的成就。他在數學上的許多重要成果都是在這個時期內完成的。他對阿貝爾積分和阿貝爾函數的研究，開創了現代代數幾何；他首創用復解析函數研究數論問題，開創了現代意義的解析數論；他對超幾何級數的研究，推動了數學物理和微分方程理論的發展。隨著研究成果的問世，黎曼在數學界的學術聲望迅速提高。他受到許多世界著名數學家的贊揚，獲得了一個科學家通常可能得到的最高榮譽。

大師之死

1859年黎曼33歲時，高斯去世。他被任命為格丁根大學正教授，成為繼狄利克雷之後高斯的第二個繼任者。這時黎曼的生活才開始得到改善，才開始考慮個人的婚姻問題，並在36歲時與朋友的妹妹結了婚。一年後，他的女兒出生在比薩。

但是，長時期清貧的生活、過度的操勞、發奮的研究，使得黎曼身體虛弱、精力衰竭。1862年黎曼患了胸膜炎，不久又患了肺病，一年後又患了黃疽病。在病魔纏身之際，只要有一些力氣，黎曼仍堅持數學研究工作。雖然這個時期黎曼積極就醫和療養，但因病入膏盲終無療效。1866年7月20日，黎曼那顆純潔、高尚的心停止了跳動。他過早地離開了人世，也過早地離開了數學，終年僅40歲。

黎曼是數學史上最具獨創性精神的數學家之一，他在眾多的數學領域里作出了許多奠基性和創造性的研究工作：他從幾何方向開創了復變函數論；是現代意義的解析數論的奠基者；他親手建立了黎曼幾何，是組合拓撲學的開拓者。他對微積分的嚴格處理作出了重要貢獻；在數學物理和微分方程等領域內也成果豐碩。1859年，黎曼被選為柏林科學院通訊院士，1866年他被選為法國巴黎科學院通訊院士和英國皇家學會國外會員。

黎曼的英年早逝是德國數學界乃至全世界數學界的遺憾！但是他所留給數學界的，在他少量的已出版的論文集中，已有太多的豐富的概念，至今還未被後世數學家研究殆盡。
高斯
包含人物[1]和物理單位[2]

[1]人物：
卡爾.弗里德里希.高斯（Carl Friedrich Gauß,1777.4.30～1855.2.23），德國數學家、物理學家和天文學家，出生於德國布倫茲維克的一個貧苦家庭。父親格爾恰爾德·迪德里赫先後當過護堤工、泥瓦匠和園丁，第一個妻子和他生活了10多年後因病去世，沒有為他留下孩子。迪德里赫後來娶了羅捷雅，第二年他們的孩子高斯出生了，這是他們唯一的孩子。父親對高斯要求極為嚴厲，甚至有些過分，常常喜歡憑自己的經驗為年幼的高斯規劃人生。高斯尊重他的父親，並且秉承了其父誠實、謹慎的性格。1806年迪德里赫逝世，此時高斯已經做出了許多劃時代的成就。

在成長過程中，幼年的高斯主要是力於母親和舅舅。高斯的外祖父是一位石匠，30歲那年死於肺結核，留下了兩個孩子：高斯的母親羅捷雅、舅舅弗利德里希（Friederich）。弗利德里希富有智慧，為人熱情而又聰明能幹投身於紡織貿易頗有成就。他發現姐姐的兒子聰明伶利，因此他就把一部分精力花在這位小天才身上，用生動活潑的方式開發高斯的智力。若干年後，已成年並成就顯赫的高斯回想起舅舅為他所做的一切，深感對他成才之重要，他想到舅舅多產的思想，不無傷感地說，舅舅去世使「我們失去了一位天才」。正是由於弗利德里希慧眼識英才，經常勸導姐夫讓孩子向學者方面發展，才使得高斯沒有成為園丁或者泥瓦匠。

在數學史上，很少有人象高斯一樣很幸運地有一位鼎力支持他成才的母親。羅捷雅直到34歲才出嫁，生下高斯時已有35歲了。他性格堅強、聰明賢慧、富有幽默感。高斯一生下來，就對一切現象和事物十分好奇，而且決心弄個水落石出，這已經超出了一個孩子能被許可的范圍。當丈夫為此訓斥孩子時，他總是支持高斯，堅決反對頑固的丈夫想把兒子變得跟他一樣無知。

羅捷雅真誠地希望兒子能幹出一番偉大的事業，對高斯的才華極為珍視。然而，他也不敢輕易地讓兒子投入當時尚不能養家糊口的數學研究中。在高斯19歲那年，盡管他已做出了許多偉大的數學成就，但她仍向數學界的朋友W.波爾約（W.Bolyai,非歐幾何創立者之一J.波爾約之父）問道：高斯將來會有出息嗎？W.波爾約說她的兒子將是「歐洲最偉大的數學家」，為此她激動得熱淚盈眶。

7歲那年，高斯第一次上學了。頭兩年沒有什麼特殊的事情。1787年高斯10歲，他進入了學習數學的班次，這是一個首次創辦的班，孩子們在這之前都沒有聽說過算術這么一門課程。數學教師是布特納（Buttner），他對高斯的成長也起了一定作用。

在全世界廣為流傳的一則故事說，高斯最出名的故事就是他十歲時，小學老師出了一道算術難題：「計算1＋2＋3…＋100＝？」 。這可難為初學算術的學生，但是高斯卻在幾秒後將答案解了出來，他利用算術級數（等差級數）的對稱性，然後就像求得一般算術級數和的過程一樣，把數目一對對的湊在一起：1＋100，2＋ 99，3＋98，……49＋52，50＋51 而這樣的組合有50組，所以答案很快的就可以求出是： 101×50＝5050。不過，這很可能是一個不真實的傳說。據對高斯素有研究的著名數學史家E·T·貝爾（E.T.Bell）考證，布特納當時給孩子們出的是一道更難的加法題：81297+81495+81693+…+100899。

當然，這也是一個等差數列的求和問題（公差為198，項數為100）。當布特納剛一寫完時，高斯也算完並把寫有答案的小石板交了上去。E·T·貝爾寫道，高斯晚年經常喜歡向人們談論這件事，說當時只有他寫的答案是正確的，而其他的孩子們都錯了。高斯沒有明確地講過，他是用什麼方法那麼快就解決了這個問題。數學史家們傾向於認為，高斯當時已掌握了等差數列求和的方法。一位年僅10歲的孩子，能獨立發現這一數學方法實屬很不平常。貝爾根據高斯本人晚年的說法而敘述的史實，應該是比較可信的。而且，這更能反映高斯從小就注意把握更本質的數學方法這一特點。

高斯的計算能力，更主要地是高斯獨到的數學方法、非同一般的創造力，使布特納對他刮目相看。他特意從漢堡買了最好的算術書送給高斯，說：「你已經超過了我，我沒有什麼東西可以教你了。」接著，高斯與布特納的助手巴特爾斯(J.M.Bartels)建立了真誠的友誼，直到巴特爾斯逝世。他們一起學習，互相幫助，高斯由此開始了真正的數學研究。

1788年，11歲的高斯進入了文科學校，他在新的學校里，所有的功課都極好，特別是古典文學、數學尤為突出。經過巴特爾斯等人的引薦，布倫茲維克公爵召見了14歲的高斯。這位朴實、聰明但家境貧寒的孩子贏得了公爵的同情，公爵慷慨地提出願意作高斯的資助人，讓他繼續學習。

布倫茲維克公爵在高斯的成才過程中起了舉足輕重的作用。不僅如此，這種作用實際上反映了歐洲近代科學發展的一種模式，表明在科學研究社會化以前，私人的資助是科學發展的重要推動因素之一。高斯正處於私人資助科學研究與科學研究社會化的轉變時期。

1792年，高斯進入布倫茲維克的卡羅琳學院繼續學習。1795年，公爵又為他支付各種費用，送他入德國著名的哥丁根大學，這樣就使得高斯得以按照自己的理想，勤奮地學習和開始進行創造性的研究。1799年，高斯完成了博士論文，回到家鄉布倫茲維克，正當他為自己的前途、生計擔憂而病倒時----雖然他的博士論文順利通過了，已被授予博士學位，同時獲得了講師職位，但他沒有能成功地吸引學生，因此只能回老家，又是公爵伸手救援他。公爵為高斯付諸了長篇博士論文的印刷費用，送給他一幢公寓，又為他印刷了《算術研究》，使該書得以在1801年問世；還負擔了高斯的所有生活費用。所有這一切，令高斯十分感動。他在博士論文和《算術研究》中，寫下了情真意切的獻詞：「獻給大公」，「你的仁慈，將我從所有煩惱中解放出來，使我能從事這種獨特的研究」。

1806年，公爵在抵抗拿破崙統帥的法軍時不幸陣亡，這給高斯以沉重打擊。他悲痛欲絕，長時間對法國人有一種深深的敵意。大公的去世給高斯帶來了經濟上的拮據，德國處於法軍奴役下的不幸，以及第一個妻子的逝世，這一切使得高斯有些心灰意冷，但他是位剛強的漢子，從不向他人透露自己的窘況，也不讓朋友安慰自己的不幸。人們只是在19世紀整理他的未公布於眾的數學手稿時才得知他那時的心態。在一篇討論橢圓函數的手搞中，突然插入了一段細微的鉛筆字：「對我來說，死去也比這樣的生活更好受些。」

慷慨、仁慈的資助人去世了，因此高斯必須找一份合適的工作，以維持一家人的生計。由於高斯在天文學、數學方面的傑出工作，他的名聲從1802年起就已開始傳遍歐洲。彼得堡科學院不斷暗示他，自從1783年歐拉去世後，歐拉在彼得堡科學院的位置一直在等待著象高斯這樣的天才。公爵在世時堅決勸阻高斯去俄國，他甚至願意給高斯增加薪金，為他建立天文台。現在，高斯又在他的生活中面臨著新的選擇。

為了不使德國失去最偉大的天才，德國著名學者洪堡（B.A.Von Humboldt）聯合其他學者和政界人物，為高斯爭取到了享有特權的哥丁根大學數學和天文學教授，以及哥丁根天文台台長的職位。1807年，高斯赴哥丁根就職，全家遷居於此。從這時起，除了一次到柏林去參加科學會議以外，他一直住在哥丁根。洪堡等人的努力，不僅使得高斯一家人有了舒適的生活環境，高斯本人可以充分發揮其天才，而且為哥丁根數學學派的創立、德國成為世界科學中心和數學中心創造了條件。同時，這也標志著科學研究社會化的一個良好開端。

高斯的學術地位，歷來為人們推崇得很高。他有「數學王子」、「數學家之王」的美稱、被認為是人類有史以來「最偉大的三位（或四位）數學家之一」（阿基米德、牛頓、高斯或加上歐拉）。人們還稱贊高斯是「人類的驕傲」。天才、早熟、高產、創造力不衰、……，人類智力領域的幾乎所有褒獎之詞，對於高斯都不過份。

高斯的研究領域，遍及純粹數學和應用數學的各個領域，並且開辟了許多新的數學領域，從最抽象的代數數論到內蘊幾何學，都留下了他的足跡。從研究風格、方法乃至所取得的具體成就方面，他都是18----19世紀之交的中堅人物。如果我們把18世紀的數學家想像為一系列的高山峻嶺，那麼最後一個令人肅然起敬的巔峰就是高斯；如果把19世紀的數學家想像為一條條江河，那麼其源頭就是高斯。

雖然數學研究、科學工作在18世紀末仍然沒有成為令人羨慕的職業，但高斯依然生逢其時，因為在他快步入而立之年之際，歐洲資本主義的發展，使各國政府都開始重視科學研究。隨著拿破崙對法國科學家、科學研究的重視，俄國的沙皇以及歐洲的許多君主也開始對科學家、科學研究刮目相看，科學研究的社會化進程不斷加快，科學的地位不斷提高。作為當時最偉大的科學家，高斯獲得了不少的榮譽，許多世界著名的科學泰斗都把高斯當作自己的老師。

1802年，高斯被俄國彼得堡科學院選為通訊院士、喀山大學教授；1877年，丹麥政府任命他為科學顧問，這一年，德國漢諾威政府也聘請他擔任政府科學顧問。

高斯的一生，是典型的學者的一生。他始終保持著農家的儉朴，使人難以想像他是一位大教授，世界上最偉大的數學家。他先後結過兩次婚，幾個孩子曾使他頗為惱火。不過，這些對他的科學創造影響不太大。在獲得崇高聲譽、德國數學開始主宰世界之時，一代天驕走完了生命旅程。

在處理相片的軟體 photoshop 中,有一種菜單叫高斯模糊,這種功能對模糊一些不必要的地方很有作用。高斯(Gauss 1777~1855)生於Brunswick，位於現在德國中北部。他的祖父是農民，父親是泥水匠，母親是一個石匠的女兒，有一個很聰明的弟弟，高斯這位舅舅，對小高斯很照顧，偶而會給他一些指導，而父親可以說是一名「大老粗」，認為只有力氣能掙錢，學問這種勞什子對窮人是沒有用的。

高斯很早就展現過人才華，三歲時就能指出父親帳冊上的錯誤。七歲時進了小學，在破舊的教室里上課，老師對學生並不好，常認為自己在窮鄉僻壤教書是懷才不遇。高斯十歲時，老師考了那道著名的「從一加到一百」，終於發現了高斯的才華，他知道自己的能力不足以教高斯，就從漢堡買了一本較深的數學書給高斯讀。同時，高斯和大他差不多十歲的助教Bartels變得很熟，而Bartels的能力也比老師高得多，後來成為大學教授，他教了高斯更多更深的數學。

老師和助教去拜訪高斯的父親，要他讓高斯接受更高的教育，但高斯的父親認為兒子應該像他一樣，作個泥水匠，而且也沒有錢讓高斯繼續讀書，最後的結論是－－去找有錢有勢的人當高斯的贊助人，雖然他們不知道要到哪裡找。經過這次的訪問，高斯免除了每天晚上織布的工作，每天和Bartels討論數學，但不久之後，Bartels也沒有什麽東西可以教高斯了。

1788年高斯不顧父親的反對進了高等學校。數學老師看了高斯的作業後就要他不必再上數學課，而他的拉丁文不久也凌駕全班之上。

1791年高斯終於找到了資助人－－布倫斯維克公爵費迪南(Braunschweig)，答應盡一切可能幫助他，高斯的父親再也沒有反對的理由。隔年，高斯進入Braunschweig學院。這年，高斯十五歲。在那裡，高斯開始對高等數學作研究。並且獨立發現了二項式定理的一般形式、數論上的「二次互逆定理」(Law of Quadratic Reciprocity)、質數分布定理(prime numer theorem)、及算術幾何平均(arithmetic-geometric mean)。

1795年高斯進入哥廷根(G?ttingen)大學，因為他在語言和數學上都極有天分，為了將來是要專攻古典語文或數學苦惱了一陣子。到了1796年，十七歲的高斯得到了一個數學史上極重要的結果。最為人所知，也使得他走上數學之路的，就是正十七邊形尺規作圖之理論與方法。

希臘時代的數學家已經知道如何用尺規作出正 2m×3n×5p 邊形，其中 m 是正整數，而 n 和 p 只能是0或1。但是對於正七、九、十一邊形的尺規作圖法，兩千年來都沒有人知道。而高斯證明了：

一個正 n 邊形可以尺規作圖若且唯若 n 是以下兩種形式之一：

1、n = 2k，k = 2, 3,…

2、n = 2k × (幾個不同「費馬質數」的乘積)，k = 0,1,2,…

費馬質數是形如 Fk = 22k 的質數。像 F0 = 3，F1 = 5，F2 = 17，F3 = 257， F4 = 65537，都是質數。高斯用代數的方法解決二千多年來的幾何難題，他也視此為生平得意之作，還交待要把正十七邊形刻在他的墓碑上，但後來他的墓碑上並沒有刻上十七邊形，而是十七角星，因為負責刻碑的雕刻家認為，正十七邊形和圓太像了，大家一定分辨不出來。

1799年高斯提出了他的博士論文，這論文證明了代數一個重要的定理：

任一多項式都有（復數）根。這結果稱為「代數學基本定理」(Fundamental Theorem of Algebra)。

事實上在高斯之前有許多數學家認為已給出了這個結果的證明，可是沒有一個證明是嚴密的。高斯把前人證明的缺失一一指出來，然後提出自己的見解，他一生中一共給出了四個不同的證明。

在1801年，高斯二十四歲時出版了《算學研究》(Disquesitiones Arithmeticae)，這本書以拉丁文寫成，原來有八章，由於錢不夠，只好印七章。 這本書除了第七章介紹代數基本定理外，其餘都是數論，可以說是數論第一本有系統的著作，高斯第一次介紹「同餘」(Congruent)的概念。「二次互逆定理」也在其中。

二十四歲開始，高斯放棄在純數學的研究，作了幾年天文學的研究。

當時的天文界正在為火星和木星間龐大的間隙煩惱不已，認為火星和木星間應該還有行星未被發現。在1801年，義大利的

B. 黎曼取得了哪些成就

黎曼(1826～1866)，1826年9月17日，黎曼生於德國北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一個鄉村的窮苦牧師。他六歲開始上學，14歲進入大學預科學習，19歲按其父親的意願進入哥廷根大學攻讀哲學和神學，以便將來繼承父志也當一名牧師。

由於從小酷愛數學，黎曼在學習哲學和神學的同時也聽些數學課。當時的哥廷根大學是世界數學的中心之一，—些著名的數學家如高斯、韋伯、斯特爾都在校執教。黎曼被這里的數學教學和數學研究的氣氛所感染，決定放棄神學，專攻數學。

1847年，黎曼轉到柏林大學學習，成為雅可比、狄利克萊、施泰納、艾森斯坦的學生。1849年重回哥丁很大學攻讀博士學位，成為高斯晚年的學生。

1851年，黎曼獲得數學博士學位；1854年被聘為哥廷根大學的編外講師；1857年晉升為副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘為教授。

因長年的貧困和勞累，黎曼在1862年婚後不到一個月就開始患胸膜炎和肺結核，其後四年的大部分時間在義大利治病療養。1866年7月20日病逝於義大利，終年39歲。

黎曼是世界數學史上最具獨創精神的數學家之一。黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極富於對概念的創造與想像。黎曼在其短暫的一生中為數學的眾多領域作了許多奠基性、創造性的工作，為世界數學建立了豐功偉績。

黎曼是復變函數論的奠基人

19世紀數學最獨特的創造是復變函數理論的創立，它是18世紀人們對復數及復函數理論研究的延續。1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿貝爾、維爾斯特拉斯已對單值解析函數的理論進行了系統的研究，而對於多值函數僅有柯西和皮瑟有些孤立的結論。

1851年，黎曼在高斯的指導下完成題為《單復變函數的一般理論的基礎》的博士論文，後來又在《數學雜志》上發表了四篇重要文章，對其博士論文中思想的做了進一步的闡述，一方面總結前人關於單值解析函數的成果，並用新的工具予以處理，同時創立多值解析函數的理論基礎，並由此為幾個不同方向的進展鋪平了道路。

柯西、黎曼和維爾斯特拉斯是公認的復變函數論的主要奠基人，而且後來證明在處理復函數理論的方法上黎曼的方法是本質的，柯西和黎曼的思想被融合起來，維爾斯特拉斯的思想可以從柯西—黎曼的觀點推導出來。

在黎曼對多值函數的處理中，最關鍵的是他引入了被後人稱「黎曼面」的概念。通過黎曼面給多值函數以幾何直觀，且在黎曼面上表示的多值函數是單值的。他在黎曼面上引入支點、橫剖線、定義連通性，開展對函數性質的研究獲得一系列成果。

經黎曼處理的復函數，單值函數是多值函數的待例，他把單值函數的一些已知結論推廣到多值函數中，尤其他按連通性對函數分類的方法，極大地推動了拓撲學的初期發展。他研究了阿貝爾函數和阿貝爾積分及阿貝爾積分的反演，得到著名的黎曼—羅赫定理，首創的雙有理變換構成19世紀後期發展起來的代數幾何的主要內容。

黎曼為完善其博士論文，在結束時給出其函數論在保形映射的幾個應用，將高斯在1825年關於平面到平面的保形映射的結論推廣到任意黎曼面上，並在文字的結尾給出著名的黎曼映射定理。

黎曼幾何的創始人

黎曼對數學最重要的貢獻還在於幾何方面，他開創的高維抽象幾何的研究，處理幾何問題的方法和手段是幾何史上一場深刻的革命，他建立了一種全新的後來以其名字命名的幾何體系，對現代幾何乃至數學和科學各分支的發展都產生了巨大的影響。

1854年，黎曼為了取得哥廷根大學編外講師的資格，對全體教員作了一次演講，該演講在其逝世後的兩年(1868年)以《關於作為幾何學基礎的假設》為題出版。演講中，他對所有已知的幾何，包括剛剛誕生的非歐幾何之一的雙曲幾何作了縱貫古今的概要，並提出一種新的幾何體系，後人稱為黎曼幾何。

為競爭巴黎科學院的獎金，黎曼在1861年寫了一篇關於熱傳導的文章，這篇文章後來被稱為他的「巴黎之作」。文中對他1854年的文章作了技術性的加工，進一步闡明其幾何思想。該文在他死後收集在1876年他的《文集》中。

黎曼主要研究幾何空間的局部性質，他採用的是微分幾何的途徑，這同在歐幾里得幾何中或者在高斯、波爾約和羅巴切夫斯基的非歐幾何中把空間作為一個整體進行考慮是對立的。黎曼擺脫高斯等前人把幾何對象局限在三維歐幾里得空間的曲線和曲面的束縛，從維度出發，建立了更一般的抽象幾何空間。

黎曼引入流形和微分流形的概念，把維空間稱為一個流形，維流形中的一個點可以用個可變參數的一組特定值來表示，而所有這些點的全體構成流形本身，這個可變參數稱為流形的坐標，而且是可微分的，當坐標連續變化時，對應的點就遍歷這個流形。

黎曼仿照傳統的微分幾何定義流形上兩點之間的距離、流形上的曲線、曲線之間的夾角。並以這些概念為基礎，展開對維流形幾何性質的研究。在維流形上他也定義類似於高斯在研究一般曲面時刻劃曲面彎曲程度的曲率。他證明他在維流形上維數等於三時，歐幾里得空間的情形與高斯等人得到的結果是一致的，因而黎曼幾何是傳統微分幾何的推廣。

黎曼發展了高斯關於一張曲面本身就是一個空間的幾何思想，開展對維流形內蘊性質的研究。黎曼的研究導致另一種非歐幾何——橢圓幾何學的誕生。

在黎曼看來，有三種不同的幾何學。它們的差別在於通過給定一點做關於定直線所作平行線的條數。如果只能作一條平行線，即為熟知的歐幾里得幾何學；如果一條都不能作，則為橢圓幾何學；如果存在一組平行線，就得到第三種幾何學，即羅巴切夫斯基幾何學。黎曼因此繼羅巴切夫斯基以後發展了空間的理論，使得一千多年來關於歐幾里得平行公理的討論宣告結束。他斷言，客觀空間是一種特殊的流形，預見具有某種特定性質的流形的存在性。這些逐漸被後人一一予以證實。

由於黎曼考慮的對象是任意維數的幾何空間，對復雜的客觀空間有更深層的實用價值。所以在高維幾何中，由於多變數微分的復雜性，黎曼採取了一些異於前人的手段使表述更簡潔，並最終導致張量、外微分及聯絡等現代幾何工具的誕生。愛因斯坦就是成功地以黎曼幾何為工具，才將廣義相對論幾何化。現在，黎曼幾何已成為現代理論物理必備的數學基礎。

對微積分理論的創造性貢獻

黎曼除對幾何和復變函數方面的開拓性工作以外，還以其對19世紀初興起的完善微積分理論的傑出貢獻載入史冊。

18世紀末到19世紀初，數學界開始關心數學最龐大的分支——微積分在概念和證明中表現出的不嚴密性。波爾查諾、柯西、阿貝爾、狄利克萊進而到維爾斯特拉斯，都以全力的投入到分析的嚴密化工作中。黎曼由於在柏林大學從師狄利克萊研究數學，且對柯西和阿貝爾的工作有深入的了解，因而對微積分理論有其獨到的見解。

1854年黎曼為取得哥廷根大學編外講師的資格，需要他遞交一篇反映他學術水平的論文。他交出的是《關於利用三角級數表示一個函數的可能性的》文章。這是一篇內容豐富、思想深刻的傑作，對完善分析理論產生深遠的影響。

柯西曾證明連續函數必定是可積的，黎曼指出可積函數不一定是連續的。關於連續與可微性的關繫上，柯西和他那個時代的幾乎所有的數學家都相信，而且在後來50年中許多教科書都「證明」連續函數一定是可微的。黎曼給出了一個連續而不可微的著名反例，最終講清連續與可微的關系。

黎曼建立了如現在微積分教科書所講的黎曼積分的概念，給出了這種積分存在的必要充分條件。

黎曼用自己獨特的方法研究傅立葉級數，推廣了保證博里葉展開式成立的狄利克萊條件，即關於三角級數收斂的黎曼條件，得出關於三角級數收斂、可積的一系列定理。他還證明：可以把任一條件收斂的級數的項適當重排，使新級數收斂於任何指定的和或者發散。

解析數論的跨世紀成果

19世紀數論中的一個重要發展是由狄利克萊開創的解析方法和解析成果的導入，而黎曼開創了用復數解析函數研究數論問題的先例，取得跨世紀的成果。

1859年，黎曼發表了《在給定大小之下的素數個數》的論文。這是一篇不到十頁的內容極其深到的論文，他將素數的分布的問題歸結為函數的問題，現在稱為黎曼函數。黎曼證明了函數的一些重要性質，並簡要地斷言了其它的性質而未予證明。

在黎曼死後的一百多年中，世界上許多最優秀的數學家盡了最大的努力想證明他的這些斷言，並在作出這些努力的過程中為分析創立了新的內容豐富的新分支。如今，除了他的一個斷言外，其餘都按黎曼所期望的那樣得到了解決。

那個未解決的問題現稱為「黎曼猜想」，即：在帶形區域中的一切零點都位於去這條線上(希爾伯特23個問題中的第8個問題)，這個問題迄今沒有人證明。對於某些其它的域，布爾巴基學派的成員已證明相應的黎曼猜想。數論中很多問題的解決有賴於這個猜想的解決。黎曼的這一工作既是對解析數論理論的貢獻，也極大地豐富了復變函數論的內容。

組合拓撲的開拓者

在黎曼博士論文發表以前，已有一些組合拓撲的零散結果，其中著名的如歐拉關於閉凸多面體的頂點、棱、面數關系的歐拉定理。還有一些看起來簡單又長期得不到解決的問題：如哥尼斯堡七橋問題、四色問題，這些促使了人們對組合拓撲學(當時被人們稱為位置幾何學或位置分析學)的研究。但拓撲研究的最大推動力來自黎曼的復變函數論的工作。

黎曼在1851年他的博士論文中，以及在他的阿貝爾函數的研究里都強調說，要研究函數，就不可避免地需要位置分析學的一些定理。按現代拓撲學術語來說，黎曼事實上已經對閉曲面按虧格分類。值得提到的是，在其學位論文中，他說到某些函數的全體組成(空間點的)連通閉區域的思想是最早的泛函思想。

比薩大學的數學教授貝蒂曾在義大利與黎曼相會，黎曼由於當時病魔纏身，自身已無能力繼續發展其思想，把方法傳授給了貝蒂。貝蒂把黎曼面的拓撲分類推廣到高維圖形的連通性，並在拓撲學的其他領域作出傑出的貢獻。黎曼是當之無愧的組合拓撲的先期開拓者。

代數幾何的開源貢獻

19世紀後半葉，人們對黎曼研究阿貝爾積分和阿貝爾函數所創造的雙有理變換的方法產生極大的興趣。當時他們把代數不變數和雙有理變換的研究稱為代數幾何。

黎曼在1857年的論文中認為，所有能彼此雙有理變換的方程(或曲面)屬於同一類，它們有相同的虧格。黎曼把常量的個數叫做「類模數」，常量在雙有理變換下是不變數。「類模數」的概念是現在「參模」的特殊情況，研究參模上的結構是現代最熱門的領域之一。

著名的代數幾何學家克萊布希後來到哥廷根大學擔任數學教授，他進一步熟悉了黎曼的工作，並對黎曼的工作給予新的發展。雖然黎曼英年早逝，但世人公認，研究曲線的雙有理變換的第一個大的步驟是由黎曼的工作引起的。

黎曼在數學物理、微分方程等其他領域也取得了豐碩的成果。

黎曼不但對純數學作出了劃時代的貢獻，他也十分關心物理及數學與物理世界的關系，他寫了一些關於熱、光、磁、氣體理論、流體力學及聲學方面的有關論文。他是對沖擊波作數學處理的第一個人，他試圖將引力與光統一起來，並研究人耳的數學結構。他將物理問題抽象出的常微分方程、偏微分方程進行定論研究得到一系列豐碩成果。

黎曼在1857年的論文《對可用高斯級數表示的函數的理論的補充》，及同年寫的一個沒有發表而後收集在其全集中的一個片斷中，他處理了超幾何微分方程和討論帶代數系數的階線性微分方程。這是關於微分方程奇點理論的重要文獻。

19世紀後半期，許多數學家花了很多精力研究黎曼問題，然而都失敗了，直到1905年希爾伯特和Kellogg藉助當時已經發展了的積分方程理論，才第一次給出完全解。

黎曼在常微分方程理論中自守函數的研究上也有建樹，在他的1858～1859年關於超幾何級數的講義和1867年發表的關於極小正曲面的一篇遺著中，他建立了為研究二階線性微分方程而引進的自守函數理論，即現在通稱的黎曼——許瓦茲定理。

在偏微分方程的理論和應用上，黎曼在1858年～1859年論文中，創造性的提出解波動方程初值問題的新方法，簡化了許多物理問題的難度；他還推廣了格林定理；對關於微分方程解的存在性的狄里克萊原理作了傑出的工作……

黎曼在物理學中使用的偏微分方程的講義，後來由韋伯以《數學物理的微分方程》編輯出版，這是一本歷史名著。

不過，黎曼的創造性工作當時未能得到數學界的一致公認，一方面由於他的思想過於深邃，當時人們難以理解，如無自由移動概念非常曲率的黎曼空間就很難為人接受，直到廣義相對論出現才平息了指責；另一方面也由於他的部分工作不夠嚴謹，如在論證黎曼映射定理和黎曼—羅赫定理時，濫用了狄利克雷原理，曾經引起了很大的爭議。

黎曼的工作直接影響了19世紀後半期的數學發展，許多傑出的數學家重新論證黎曼斷言過的定理，在黎曼思想的影響下數學許多分支取得了輝煌成就。

C. 如何評價黎曼和他的成就

黎曼，是德國十分優秀的數學家，物理學家。它的幾何方面比較的好，十分擅長。所以說他後來還開創了黎曼幾何定律，但是他在打三次去義大利的時候因為感染了肺結核不行的去世了，這也是全球數學物理領域的損失。

D. 全世界古今中外生日是9月17日的名人有哪些

9月17日出生的人物：

黎曼

1826年9月17日，黎曼生於德國北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一個鄉村的
窮苦牧師。他六歲開始上學，14歲進入大學預科學習，19歲按其父親的意願進入哥廷
根大學攻讀哲學和神學，以便將來繼承父志也當一名牧師。

由於從小酷愛數學，黎曼在學習哲學和神學的同時也聽些數學課。當時的哥廷根
大學是世界數學的中心之一，—些著名的數學家如高斯、韋伯、斯特爾都在校執教。
黎曼被這里的數學教學和數學研究的氣氛所感染，決定放棄神學，專攻數學。

1847年，黎曼轉到柏林大學學習，成為雅可比、狄利克萊、施泰納、艾森斯坦的
學生。1849年重回哥丁很大學攻讀博士學位，成為高斯晚年的學生。

l851年，黎曼獲得數學博士學位；l854年被聘為哥廷根大學的編外講師；1857年
晉升為副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘為教授。

因長年的貧困和勞累，黎曼在1862年婚後不到一個月就開始患胸膜炎和肺結核，
其後四年的大部分時間在義大利治病療養。1866年7月20日病逝於義大利，終年39歲
。

黎曼是世界數學史上最具獨創精神的數學家之一。黎曼的著作不多，但卻異常深
刻，極富於對概念的創造與想像。黎曼在其短暫的一生中為數學的眾多領域作了許多
奠基性、創造性的工作，為世界數學建立了豐功偉績。

復變函數論的奠基人

19世紀數學最獨特的創造是復變函數理論的創立，它是18世紀人們對復數及復函
數理論研究的延續。1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿貝爾、維爾斯特拉斯已對
單值解析函數的理論進行了系統的研究，而對於多值函數僅有柯西和皮瑟有些孤立的
結論。

1851年，黎曼在高斯的指導下完成題為《單復變函數的一般理論的基礎》的博士
論文，後來又在《數學雜志》上發表了四篇重要文章，對其博士論文中思想的做了進
一步的闡述，一方面總結前人關於單值解析函數的成果，並用新的工具予以處理，同
時創立多值解析函數的理論基礎，並由此為幾個不同方向的進展鋪平了道路。

柯西、黎曼和維爾斯特拉斯是公認的復變函數論的主要奠基人，而且後來證明在
處理復函數理論的方法上黎曼的方法是本質的，柯西和黎曼的思想被融合起來，維爾
斯特拉斯的思想可以從柯西—黎曼的觀點推導出來。

在黎曼對多值函數的處理中，最關鍵的是他引入了被後人稱「黎曼面」的概念。
通過黎曼面給多值函數以幾何直觀，且在黎曼面上表示的多值函數是單值的。他在黎
曼面上引入支點、橫剖線、定義連通性，開展對函數性質的研究獲得一系列成果。

經黎曼處理的復函數，單值函數是多值函數的待例，他把單值函數的一些已知結
論推廣到多值函數中，尤其他按連通性對函數分類的方法，極大地推動了拓撲學的初
期發展。他研究了阿貝爾函數和阿貝爾積分及阿貝爾積分的反演，得到著名的黎曼—
羅赫定理，首創的雙有理變換構成19世紀後期發展起來的代數幾何的主要內容。

黎曼為完善其博士論文，在結束時給出其函數論在保形映射的幾個應用，將高斯
在1825年關於平面到平面的保形映射的結論推廣到任意黎曼面上，並在文字的結尾給
出著名的黎曼映射定理。

黎曼幾何的創始人

黎曼對數學最重要的貢獻還在於幾何方面，他開創的高維抽象幾何的研究，處理
幾何問題的方法和手段是幾何史上一場深刻的革命，他建立了一種全新的後來以其名
字命名的幾何體系，對現代幾何乃至數學和科學各分支的發展都產生了巨大的影響。

1854年，黎曼為了取得哥廷根大學編外講師的資格，對全體教員作了一次演講，
該演講在其逝世後的兩年(1868年)以《關於作為幾何學基礎的假設》為題出版。演講
中，他對所有已知的幾何，包括剛剛誕生的非歐幾何之一的雙曲幾何作了縱貫古今的
概要，並提出一種新的幾何體系，後人稱為黎曼幾何。

為競爭巴黎科學院的獎金，黎曼在1861年寫了一篇關於熱傳導的文章，這篇文章
後來被稱為他的「巴黎之作」。文中對他1854年的文章作了技術性的加工，進一步闡
明其幾何思想。該文在他死後收集在1876年他的《文集》中。

黎曼主要研究幾何空間的局部性質，他採用的是微分幾何的途徑，這同在歐幾里
得幾何中或者在高斯、波爾約和羅巴切夫斯基的非歐幾何中把空間作為一個整體進行
考慮是對立的。黎曼擺脫高斯等前人把幾何對象局限在三維歐幾里得空間的曲線和曲
面的束縛，從維度出發，建立了更一般的抽象幾何空間。

黎曼引入流形和微分流形的概念，把維空間稱為一個流形，維流形中的一個點可
以用個可變參數的一組特定值來表示，而所有這些點的全體構成流形本身，這個可變
參數稱為流形的坐標，而且是可微分的，當坐標連續變化時，對應的點就遍歷這個流
形。

黎曼仿照傳統的微分幾何定義流形上兩點之間的距離、流形上的曲線、曲線之間
的夾角。並以這些概念為基礎，展開對維流形幾何性質的研究。在維流形上他也定義
類似於高斯在研究一般曲面時刻劃曲面彎曲程度的曲率。他證明他在維流形上維數等
於三時，歐幾里得空間的情形與高斯等人得到的結果是一致的，因而黎曼幾何是傳統
微分幾何的推廣。

黎曼發展了高斯關於一張曲面本身就是一個空間的幾何思想，開展對維流形內蘊
性質的研究。黎曼的研究導致另一種非歐幾何——橢圓幾何學的誕生。

在黎曼看來，有三種不同的幾何學。它們的差別在於通過給定一點做關於定直線
所作平行線的條數。如果只能作一條平行線，即為熟知的歐幾里得幾何學；如果一條
都不能作，則為橢圓幾何學；如果存在一組平行線，就得到第三種幾何學，即羅巴切
夫斯基幾何學。黎曼因此繼羅巴切夫斯基以後發展了空間的理論，使得一千多年來關
於歐幾里得平行公理的討論宣告結束。他斷言，客觀空間是一種特殊的流形，預見具
有某種特定性質的流形的存在性。這些逐漸被後人一一予以證實。

由於黎曼考慮的對象是任意維數的幾何空間，對復雜的客觀空間有更深層的實用
價值。所以在高維幾何中，由於多變數微分的復雜性，黎曼採取了一些異於前人的手
段使表述更簡潔，並最終導致張量、外微分及聯絡等現代幾何工具的誕生。愛因斯坦
就是成功地以黎曼幾何為工具，才將廣義相對論幾何化。現在，黎曼幾何已成為現代
理論物理必備的數學基礎。

微積分理論的創造性貢獻

黎曼除對幾何和復變函數方面的開拓性工作以外，還以其對l9世紀初興起的完善
微積分理論的傑出貢獻載入史冊。

18世紀末到l9世紀初，數學界開始關心數學最龐大的分支——微積分在概念和證
明中表現出的不嚴密性。波爾查諾、柯西、阿貝爾、狄利克萊進而到維爾斯特拉斯，
都以全力的投入到分析的嚴密化工作中。黎曼由於在柏林大學從師狄利克萊研究數學
，且對柯西和阿貝爾的工作有深入的了解，因而對微積分理論有其獨到的見解。

1854年黎曼為取得哥廷根大學編外講師的資格，需要他遞交一篇反映他學術水平
的論文。他交出的是《關於利用三角級數表示一個函數的可能性的》文章。這是一篇
內容豐富、思想深刻的傑作，對完善分析理論產生深遠的影響。

柯西曾證明連續函數必定是可積的，黎曼指出可積函數不一定是連續的。關於連
續與可微性的關繫上，柯西和他那個時代的幾乎所有的數學家都相信，而且在後來50
年中許多教科書都「證明」連續函數一定是可微的。黎曼給出了一個連續而不可微的
著名反例，最終講清連續與可微的關系。

黎曼建立了如現在微積分教科書所講的黎曼積分的概念，給出了這種積分存在的
必要充分條件。

黎曼用自己獨特的方法研究傅立葉級數，推廣了保證博里葉展開式成立的狄利克
萊條件，即關於三角級數收斂的黎曼條件，得出關於三角級數收斂、可積的一系列定
理。他還證明：可以把任一條件收斂的級數的項適當重排，使新級數收斂於任何指定
的和或者發散。

解析數論跨世紀的成果

19世紀數論中的一個重要發展是由狄利克萊開創的解析方法和解析成果的導入，
而黎曼開創了用復數解析函數研究數論問題的先例，取得跨世紀的成果。

1859年，黎曼發表了《在給定大小之下的素數個數》的論文。這是一篇不到十頁
的內容極其深到的論文，他將素數的分布的問題歸結為函數的問題，現在稱為黎曼函
數。黎曼證明了函數的一些重要性質，並簡要地斷言了其它的性質而未予證明。

在黎曼死後的一百多年中，世界上許多最優秀的數學家盡了最大的努力想證明他
的這些斷言，並在作出這些努力的過程中為分析創立了新的內容豐富的新分支。如今
，除了他的一個斷言外，其餘都按黎曼所期望的那樣得到了解決。

那個未解決的問題現稱為「黎曼猜想」，即：在帶形區域中的一切零點都位於去
這條線上(希爾伯特23個問題中的第8個問題)，這個問題迄今沒有人證明。對於某些
其它的域，布爾巴基學派的成員已證明相應的黎曼猜想。數論中很多問題的解決有賴
於這個猜想的解決。黎曼的這一工作既是對解析數論理論的貢獻，也極大地豐富了復
變函數論的內容。

組合拓撲的開拓者

在黎曼博士論文發表以前，已有一些組合拓撲的零散結果，其中著名的如歐拉關
於閉凸多面體的頂點、棱、面數關系的歐拉定理。還有一些看起來簡單又長期得不到
解決的問題：如哥尼斯堡七橋問題、四色問題，這些促使了人們對組合拓撲學(當時
被人們稱為位置幾何學或位置分析學)的研究。但拓撲研究的最大推動力來自黎曼的
復變函數論的工作。

黎曼在1851年他的博士論文中，以及在他的阿貝爾函數的研究里都強調說，要研
究函數，就不可避免地需要位置分析學的一些定理。按現代拓撲學術語來說，黎曼事
實上已經對閉曲面按虧格分類。值得提到的是，在其學位論文中，他說到某些函數的
全體組成(空間點的)連通閉區域的思想是最早的泛函思想。

比薩大學的數學教授貝蒂曾在義大利與黎曼相會，黎曼由於當時病魔纏身，自身
已無能力繼續發展其思想，把方法傳授給了貝蒂。貝蒂把黎曼面的拓撲分類推廣到高
維圖形的連通性，並在拓撲學的其他領域作出傑出的貢獻。黎曼是當之無愧的組合拓
撲的先期開拓者。

代數幾何的開源貢獻

19世紀後半葉，人們對黎曼研究阿貝爾積分和阿貝爾函數所創造的雙有理變換的
方法產生極大的興趣。當時他們把代數不變數和雙有理變換的研究稱為代數幾何。

黎曼在1857年的論文中認為，所有能彼此雙有理變換的方程(或曲面)屬於同一類
，它們有相同的虧格。黎曼把常量的個數叫做「類模數」，常量在雙有理變換下是不
變數。「類模數」的概念是現在「參模」的特殊情況，研究參模上的結構是現代最熱
門的領域之一。

著名的代數幾何學家克萊布希後來到哥廷根大學擔任數學教授，他進一步熟悉了
黎曼的工作，並對黎曼的工作給予新的發展。雖然黎曼英年早逝，但世人公認，研究
曲線的雙有理變換的第一個大的步驟是由黎曼的工作引起的。

在數學物理、微分方程等其他領域的豐碩成果

黎曼不但對純數學作出了劃時代的貢獻，他也十分關心物理及數學與物理世界的
關系，他寫了一些關於熱、光、磁、氣體理論、流體力學及聲學方面的有關論文。他
是對沖擊波作數學處理的第一個人，他試圖將引力與光統一起來，並研究人耳的數學
結構。他將物理問題抽象出的常微分方程、偏微分方程進行定論研究得到一系列豐碩
成果。

黎曼在1857年的論文《對可用高斯級數表示的函數的理論的補充》，及同年寫的
一個沒有發表而後收集在其全集中的一個片斷中，他處理了超幾何微分方程和討論帶
代數系數的階線性微分方程。這是關於微分方程奇點理論的重要文獻。

19世紀後半期，許多數學家花了很多精力研究黎曼問題，然而都失敗了，直到1905
年希爾伯特和Kellogg藉助當時已經發展了的積分方程理論，才第一次給出完全解。

黎曼在常微分方程理論中自守函數的研究上也有建樹，在他的1858～1859年關於
超幾何級數的講義和1867年發表的關於極小正曲面的一篇遺著中，他建立了為研究二
階線性微分方程而引進的自守函數理論，即現在通稱的黎曼——許瓦茲定理。

在偏微分方程的理論和應用上，黎曼在1858年～1859年論文中，創造性的提出解
波動方程初值問題的新方法，簡化了許多物理問題的難度；他還推廣了格林定理；對
關於微分方程解的存在性的狄里克萊原理作了傑出的工作，……

黎曼在物理學中使用的偏微分方程的講義，後來由韋伯以《數學物理的微分方程
》編輯出版，這是一本歷史名著。

不過，黎曼的創造性工作當時未能得到數學界的一致公認，一方面由於他的思想
過於深邃，當時人們難以理解，如無自由移動概念非常曲率的黎曼空間就很難為人接
受，直到廣義相對論出現才平息了指責；另一方面也由於他的部分工作不夠嚴謹，如
在論證黎曼映射定理和黎曼—羅赫定理時，濫用了狄利克雷原理，曾經引起了很大的
爭議。

黎曼的工作直接影響了19世紀後半期的數學發展，許多傑出的數學家重新論證黎
曼斷言過的定理，在黎曼思想的影響下數學許多分支取得了輝煌成就。

1970年，FC里加斯孔托的安德雷斯·皮德爾斯（Andrejs Piedels）出生。
1971年，漢堡SV的謝爾蓋·巴巴雷斯（Sergej Barbarez）出生。
1973年，希臘的瑟米斯托克里斯·尼科萊迪斯（Themistoklis Nikolaidis）出生。
1973年，莫爾德FK的佩特·魯迪（Petter Rudi）出生。
1974年，沙爾克04的達里奧·羅德里格斯（Darío RODRíGUEZ）出生。
1977年，莫斯科中央陸軍的羅蘭·古肖夫（Rolan GUSEV）出生。
1977年，AS羅馬的西蒙尼·佩羅塔（Simone PERROTTA）出生。

世界盃球員
1965年，伊朗的阿里·阿克巴爾·奧斯塔達薩德里（Ali Akbar Ostadasadli）出生。
1969年，巴西的巴雷托·法里亞·比斯馬克（Barreto Faria Bismarck）出生。
1970年，巴西的埃迪爾森（Edilson da Silva Ferreira）出生。
1971年，奧地利的羅曼·馬赫里希（Roman Mahlich）出生。
1974年，烏拉圭的達里奧·羅德里格斯（Dario Rodriguez）出生。

E. 黎曼的生平事跡有哪些

翻開科學史冊，每位科學家部有著獨特的個性、堅定的毅力。黎曼的不同就在於他的獨創精神，其創造性的工作，在數學的眾多研究領域作出了突出貢獻，為世界數學建立了豐功偉績。

黎曼出生在德國漢諾瓦一個小鄉村的清教徒家庭，父親是一名鄉村牧師，並且希望兒子能夠繼承他的遺志，長大也做一名牧師。按照父親的意願，19歲的黎曼進入了哥廷根大學攻讀哲學和神學。但是黎曼從小酷愛數學，在中學的時候，他已經顯示出了很高的數學才能，據他的數學老師薩馬福斯德回憶，黎曼在16歲的時候就全部理解了法國數學家勒讓德的《數論》。

當時的哥廷根夫學是世界數學中心之一，其數學教學和數學研究的氣氛非常濃。黎曼在學習哲學和神學之餘一有時間就去聽高斯的最小二乘法及史登恩的定積分的課程，受環境的影響，他決定放棄神學，專攻數學。

1847年，黎曼轉入柏林大學，拜賈可比、獄利克雷和史泰勒為師。在那裡，他學習了高等代數，數論、積分論和偏微方程及橢圓方程，從此，開始了他研究數學的征程。

兩年後，黎曼呈上了博士論文《復變函數論的一般理論的基礎》，為多值解析函數的創立奠定了理論基礎。高斯看到後欣喜地說：「我許多年前就想寫一份像這樣的論文。」

1854年是黎曼生命中重要的一年，他不但成為哥廷根大學講師，還創造性地採用微分幾何的途徑，創立了黎曼幾何，這種處理幾何問題的方法和手段是幾何史上一場深刻的革命。

在偉大的成果中，黎曼得到了極大地鼓舞。在接下來的幾年裡，他把所有的精力都投入到了數學研究中，他的研究范圍幾乎遍及了整個數學領域。

1858年他在一篇關於素數分布的論文中，提出了著名的黎曼猜想。這個猜想提出後，就像珠穆朗瑪峰一樣屹立在數學王國里，目前已有很多人登上這座世界屋脊，但至今還沒有人能證明這個猜想。黎曼也伴隨著這個猜想接受著後人的頂禮膜拜。

黎曼的創造性工作在當時未能得到數學界的一致公認，德國數學家克萊因評價他說：「黎曼具有很強的直觀，這天份使他超越了當代的數學家。」但他艱深難解的深邃思想和部分工作不夠嚴謹的態度，曾引起了很大的爭議。

除在數學研究之外，黎曼還把數學引到了物理研究上，將物理問題抽象出的常微分方程、偏微分方程進行定論研究得到一系列豐碩成果。此外，他還是對沖擊波作數學處理的第一個人。

因為長年的貧困和勞累，在1862年婚後不到一個月黎曼就開始患胸膜炎和肺結核，並於1866年病逝。他在數學界僅僅活躍了15年，但他對純數學的研究作出了劃時代的貢獻。他去世後，許多數學家對黎曼斷言過的定理開始重新論證並取得了輝煌成就。愛因斯坦廣義相對論就是建立在黎曼幾何的基礎之上的。

F. 古代著名的數學書

《算經十書》是指漢、唐一千多年間的十部著名數學著作,它們曾經是隋唐時候國子監算學科（國家所設學校的數學科）的教科書.十部算書的名字是：《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《五曹算經》、《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》、《五經算術》、《緝古算經》、《綴術》.
這十部算書,以《周髀算經》為最早,不知道它的作者是誰,據考證,它成書的年代當不晚於西漢後期（公元前一世紀）.《周髀算經》不僅是數學著作,更確切地說,它是講述當時的一派天文學學說——「蓋天說」的天文著作.就其中的數學內容來說,書中記載了用勾股定理來進行的天文計算,還有比較復雜的分數計算.當然不能說這兩項演算法都是到公元前一世紀才為人們所掌握,它僅僅說明在現在已經知道的資料中,《周髀算經》是比較早的

G. 著名的數學家黎曼是哪國人

波恩哈德·黎曼(公元1826—1866年)，是德國著名的數學家，他在數學分析和微分幾何方面作出過重要貢獻，他開創了黎曼幾何，並且給後來愛因斯坦的廣義相對論提供了數學基礎。

1826年，他出生於漢諾威王國（今德國）的小鎮布列斯倫茨（Breselenz）。他的父親弗雷德里希·波恩哈德·黎曼是當地的路德會牧師。他在六個孩子中排行第二。他是個安靜多病而且害羞的人，終生喜歡獨處。他的同事戴德金（Dedekind）是少數了解他的人之一。據戴德金說，除了黎曼真正糟糕的身體狀況之外，他還是

黎曼之墓

坦的廣義相對論提供了數學基礎。

1857年，發表的關於阿貝爾函數的研究論文，引出黎曼曲面的概念 ，將阿貝爾積分與阿貝爾函數的理論帶到新的轉折點並做系統的研究。其中對黎曼曲面從拓撲、分析、代數幾何各角度作了深入研究。創造了一系列對代數拓撲發展影響深遠的概念，闡明了後來為G.羅赫所補足的黎曼-羅赫定理。1857年，升為哥廷根大學的編外教授。1859年，接替狄利克雷成為教授。並發表論文《論小於某給定值的素數的個數》，提出黎曼假設。

1862年，他與愛麗絲·科赫（Elise Koch）結婚。

1866年7月20日，他在第三次去義大利修養的的途中因肺結核在塞拉斯卡（Selasca）去世。

主要貢獻

1859年，發表的關於素數分布的論文《論小於某給定值的素數的個數》中，研究了黎曼ζ函數，給出了ζ函數的積分表示與它滿足的函數方程，他指出素數的分布與黎曼ζ函數之間存在深刻聯系。這一關聯的核心就是J(x)的積分表達式。

1854年，黎曼在格丁根大學發表的題為《論作為幾何學基礎的假設》的演說，創立了黎曼幾何學。黎曼將曲面本身看成一個獨立的幾何實體，而不是把它僅僅看作歐幾里得空間中的一個幾何實體。1915年，A.愛因斯坦運用黎曼幾何和張量分析工具創立了新的引力理論——廣義相對論。

另外，他對偏微分方程及其在物理學中的應用有重大貢獻。甚至對物理學本身，如對熱學、電磁非超距作用和激波理論等也作出重要貢獻。

黎曼的工作直接影響了19世紀後半期的數學發展，許多傑出的數學家重新論證黎曼斷言過的定理，在黎曼思想的影響下數學許多分支取得了輝煌成就。

黎曼首先提出用復變函數論特別是用ζ函數研究數論的新思想和新方法，開創了解析數論的新時期，並對單復變函數論的發展有深刻的影響 。他是世界數學史上最具獨創精神的數學家之一，黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極富於對概念的創造與想像。

他的名字出現在黎曼ζ函數，黎曼積分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼空間，黎曼映照定理，黎曼-希爾伯特問題，柯西-黎曼方程，黎曼思路回環矩陣中。

人物評價

埃丁頓(Eddington)爵士曾說：「一個像黎曼這樣的幾何學者幾乎可以預見到現實世界的更重要的特徵。」

高斯說：「黎曼……具有創造性的、活躍的、真正數學家的頭腦，具有燦爛豐富的創造力。」

近代數學史家貝爾認為：「作為一個數學家，黎曼的偉大在於他給純數學和應用數學揭示的方法和新觀點的有力的普遍性和無限的范圍。」

德國數學家克萊因說：「黎曼具有非凡的直觀能力，他的理解天才勝過所有同代數學家。」

H. 黎曼問題的相關背景

描寫氣體運動的基本方程是歐拉方程，它由質量、動量和能量三個守恆律組成，它的最大特點和困難在於解中會出現間斷現象，沖擊波就是一種壓縮性的間斷。1858年，黎曼緊緊抓住了間斷現象這一特點，提出並解決了歐拉方程一種最簡單的間斷初值問題即初值為含有一個任意間斷的階梯函數，被後人稱為黎曼問題。黎曼構造出了它的四類解，它們分別由前、後向疏散波和前、後向沖擊波組裝而成。並利用相平面分析方法給出了此四類解的判別條件。黎曼的這一工作開創了「微分方程廣義解」概念及「相平面分析」方法之先河，具有極大的超前性。黎曼以其敏銳的洞察力和巨大的創造力為非線性雙曲型守恆律的數學理論奠定了第一塊基石。
在計算流體力學中，傳統上，針對可壓縮Navier-Stokes方程的無粘部分和粘性部分分別構造數值方法。其中最為困難和復雜的是無粘部分的離散方法；而粘性項的離散相對簡單，一般採用中心差分離散。所以學者們重點研究的是無粘的歐拉方程的解法。在推廣到Navier-Stokes方程時，只需在歐拉方程的基礎上加上粘性項的離散即可。歐拉方程是一種典型的非線性守恆系統。

I. 誰能簡單通俗的講一下四維空間的存在

提及四維空間，大家會首先想到什麼？是《三體》中輕松毀滅人類的高維生物還是一個人類能夠永生的世界？

四維空間的概述為「一個時間的概念」，看上去可望不可及，與我們的接觸似乎只存在於科幻小說中，但如果四維空間已經被證實了，距離我們並不遙遠呢？

沒錯，已經有相當數量的科學家宣稱自己已經證明了四維空間的存在，至於是真是假，是博取名頭的噱頭還是有理有據的推理，那就要看我們的判斷了。接下來，讓我們一起來看一看一位德國數學家給出的關於四維空間的答案。

人類進入四維空間會經歷怎樣的情景？

這位德國科學家名為喬治·波恩哈德·黎曼，就四維空間的討論，他曾於1850年左右發表過一篇在當時極具有前瞻性的文章《論幾何基礎假說》。

四維空間的理論的存在無疑是人類對於宇宙有了更多元的理解，在文化、科技爭相迸發出璀璨光芒的現在，四維空間給人類帶來的不僅僅是多於想像的滿足，更是對廣袤未來的嚮往。

人類作為智慧生物，對於未知世界的渴求和探索一刻也未曾停止，雖然在茫茫宇宙之中，人類可能連一粒沙粒都算不上，但只要對於未來、對於未知的無限渴求的心存在，人類總有一天尋得宇宙的奧秘，一覽這個美麗神秘世界的全貌。