㈠ 畢達哥拉斯定理的證法
勾股定理(畢達哥拉斯定理)是數學上證明方法最多的定理之一——有四百多種證法！但有記載的第一個證明——畢達哥拉斯的證明方法已經失傳。目前所能見到的最早的一種證法，屬於古希臘數學家歐幾里得。他的證法採用演繹推理的形式，記載在數學巨著《幾何原本》里。在中國古代的數學家中，最早對勾股定理進行證明的是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅「勾股圓方圖」，用數形結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅「勾股圓方圖」中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a） 2 。於是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化簡後便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恆等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典範。 以下網址為趙爽的「勾股圓方圖」：http://cimg.163.com/catchpic/0/01/.gif 以後的數學家大多繼承了這一風格並且有發展， 只是具體圖形的分合移補略有不同而已。 例如稍後一點的劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數的方法，劉徽用了「出入相補法」即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區域剪下來(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區域內(入)，結果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。 以下網址為劉徽的「青朱出入圖」：http://cimg.163.com/catchpic/A/A7/.gif
勾股定理的應用非常廣泛。我國戰國時期另一部古籍《路史後記十二注》中就有這樣的記載："禹治洪水決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，使注東海，無漫溺之患，此勾股之所系生也。"這段話的意思是說：大禹為了治理洪水，使不決流江河，根據地勢高低，決定水流走向，因勢利導，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的災害，是應用勾股定理的結果。
各具特色的證明方法
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三角學里有一個很重要的定理，我國稱它為勾股定理，又叫商高定理。因為《周髀算經》提到，商高說過"勾三股四弦五"的話。下面介紹其中的幾種證明。
最初的證明是分割型的。設a、b為直角三角形的直角邊，c為斜邊。考慮下圖兩個邊長都是a+b的正方形A、B。將A分成六部分，將B分成五部分。由於八個小直角三角形是全等的，故從等量中減去等量，便可推出：斜邊上的正方形等於兩個直角邊上的正方形之和。這里B中的四邊形是邊長為c的正方形是因為，直角三角形三個內角和等於兩個直角。如上證明方法稱為相減全等證法。B圖就是我國《周髀算經》中的「弦圖」。
下圖是H．珀里加爾（Perigal）在1873年給出的證明，它是一種相加全等證法。其實這種證明是重新發現的，因為這種劃分方法，labitibn Qorra（826～901）已經知道。（如：右圖）下面的一種證法，是H•E•杜登尼（Dudeney）在1917年給出的。用的也是一種相加全等的證法。
如右圖所示，邊長為b的正方形的面積加上邊長為a的正方形的面積，等於邊長為c的正方形面積。
下圖的證明方法，據說是L•達•芬奇（da Vinci, 1452～1519）設計的，用的是相減全等的證明法。
歐幾里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命題47中，給出了勾股定理的一個極其巧妙的證明，如次頁上圖。由於圖形很美，有人稱其為「修士的頭巾」，也有人稱其為「新娘的轎椅」，實在是有趣。華羅庚教授曾建議將此圖發往宇宙，和「外星人」去交流。其證明的梗概是：
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。
同理，(BC)2=KEBL
所以
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2
印度數學家兼天文學家婆什迦羅（Bhaskara，活躍於1150年前後）對勾股定理給出一種奇妙的證明，也是一種分割型的證明。如下圖所示，把斜邊上的正方形劃分為五部分。其中四部分都是與給定的直角三角形全等的三角形；一部分為兩直角邊之差為邊長的小正方形。很容易把這五部分重新拼湊在一起，得到兩個直角邊上的正方形之和。事實上，
婆什迦羅還給出了下圖的一種證法。畫出直角三角形斜邊上的高，得兩對相似三角形，從而有
c/b=b/m，
c/a=a/n,
cm=b2
cn=a2
兩邊相加得
a2+b2=c(m+n)=c2
這個證明，在十七世紀又由英國數學家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新發現。
有幾位美國總統與數學有著微妙聯系。G•華盛頓曾經是一個著名的測量員。T•傑弗遜曾大力促進美國高等數學教育。A．林肯是通過研究歐幾里得的《原本》來學習邏輯的。更有創造性的是第十七任總統J．A．加菲爾德（Garfield, 1831～1888），他在學生時代對初等數學就具有強烈的興趣和高超的才能。在1876年，（當時他是眾議院議員，五年後當選為美國總統）給出了勾股定理一個漂亮的證明，曾發表於《新英格蘭教育雜志》。證明的思路是，利用梯形和直角三角形面積公式。如次頁圖所示，是由三個直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面積得
即
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
這種證法，在中學生學習幾何時往往感興趣。
關於這個定理，有許多巧妙的證法（據說有近400種），下面向同學們介紹幾種，它們都是用拼圖的方法來證明的。
證法1 如圖26-2，在直角三角形ABC的外側作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它們的面積分別為c2，b2和a2。我們只要證明大正方形面積等於兩個小正方形面積之和即可。
過C引CM‖BD，交AB於L，連接BC，CE。因為
AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，
所以 △ACE≌△AGB
SAEML=SACFG (1)
同法可證
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)得
SABDE=SACFG+SBKHC，
即 c2=a2+b2
證法2 如圖26-3（趙君卿圖），用八個直角三角形ABC拼成一個大的正方形CFGH，它的邊長是a+b，在它的內部有一個內接正方形ABED，它的邊長為c，由圖可知。
SCFGH=SABED+4×SABC，
所以 a2+b2=c2
證法3 如圖26-4（梅文鼎圖）。
在直角△ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，在直角邊AC上又作正方形ACGF。可以證明（從略），延長GF必過E；延長CG到K，使GK=BC=a，連結KD，作DH⊥CF於H，則DHCK是邊長為a的正方形。設
五邊形ACKDE的面積=S
一方面，
S=正方形ABDE面積+2倍△ABC面積
=c2+ab (1)
另一方面，
S=正方形ACGF面積+正方形DHGK面積
+2倍△ABC面積
=b2+a2+ab. (2)
由(1)，(2)得
c2=a2+b2
證法4 如圖26-5（項名達圖），在直角三角形ABC的斜邊上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的兩個直角邊CA，CB為基礎完成一個邊長為b的正方形BFGJ（圖26-5）。可以證明（從略），GF的延長線必過D。延長AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF於H，則EKGH必為邊長等於a的正方形。
設五邊形EKJBD的面積為S。一方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另一方面，
S=SBEFG+2•S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
由(1)，(2)
得出論證
都是用面積來進行驗證：一個大的面積等於幾個小面積的和。利用同一個面積的不同表示法來得到等式，從而化簡得到勾股定理）圖見http://ett.edae.com/21010000/vcm/0720ggdl.doc
㈡ 畢達哥拉斯生平
畢達哥拉斯(Pythagoras,572 BC?—497BC?)古希臘數學家、哲學家。無論是解說外在物質世界，還是描寫內在精神世界，都不能沒有數學!最早悟出萬事萬物背後都有數的法則在起作用的，是生活在2500年前的畢達哥拉斯。
畢達哥拉斯出生在愛琴海中的薩摩斯島(今希臘東部小島)，自幼聰明好學，曾在名師門下學習幾何學、自然科學和哲學。以後因為嚮往東方的智慧，經過萬水千山來到巴比倫、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中國文明的豐富營養，大約在公元前530年又返回薩摩斯島。後來又遷居義大利南部的克羅通，創建了自己的學派，一邊從事教育，一邊從事數學研究。
畢達哥拉斯和他的學派在數學上有很多創造，尤其對整數的變化規律感興趣。例如，把(除其本身以外)全部因數之和等於本身的數稱為完全數(如6，28， 496等)，而將本身大於其因數之和的數稱為盈數；將小於其因數之和的數稱為虧數。他們還發現了「直角三角形兩直角邊平方和等於斜邊平方」，西方人稱之為畢達哥拉斯定理，我國稱為勾股定理。當今數學上又有「畢達哥拉斯三元數組」的概念，指的是可作為直角三角形三條邊的三數組的集合。
在幾何學方面，畢達哥拉斯學派證明了「三角形內角之和等於兩個直角」的論斷；研究了黃金分割；發現了正五角形和相似多邊形的作法；還證明了正多面體只有五種——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。
畢達哥拉斯學派認為數最崇高，最神秘，他們所講的數是指整數。「數即萬物」，也就是說宇宙間各種關系都可以用整數或整數之比來表達。但是，有一個名叫希帕索斯的學生發現，邊長為1的正方形，它的對角線(根2)卻不能用整數之比來表達。這就觸犯了這個學派的信條，於是規定了一條紀律：誰都不準泄露存在根2 (即無理數)的秘密。天真的希帕索斯無意中向別人談到了他的發現，結果被殺害。但根2很快就引起了數學思想的大革命。科學史上把這件事稱為「第一次數學危機」。希帕索期為根2殉難留下的教訓是：科學是沒有止境的，誰為科學劃定禁區，誰就變成科學的敵人，最終被科學所埋葬。
可惜，朝氣蓬勃的畢達哥拉斯，到了晚年不僅學術上趨向保守，而且政治上反對新生事物，最後死於非命。
畢達哥拉斯
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(Pythagoras， 約公元前580～前500)
生平簡介：
在古希臘早期的數學家中,畢達哥拉斯的影響是最大的。他那傳奇般的一生給後代留下了眾多神奇的傳說。
畢達哥拉斯生於薩摩斯(今希臘東部小島)，卒於他林敦(今義大利南部塔蘭托)。 他既是哲學家、數學家，又是天文學家。他在年輕時，根據當時富家子弟的慣例，曾到巴比倫和埃及去游學，因而直接受到東方文明的熏陶。回國後，畢達哥拉斯創建了政治、宗教、數學合一的秘密學術團體，這個團體被後人稱為畢達哥拉斯學派。這個學派的活動都是秘密的，籠罩著一種不可思議的神秘氣氛。據說，每個新入學的學生都得宣誓嚴守秘密，並終身只加入這一學派。該學派還有一種習慣，就是將一切發明都歸之於學派的領袖，而且秘而不宣，以致後人不知是何人在何時所發明的。
畢達哥拉斯定理(即勾股定理)是畢達哥拉斯的另一貢獻，他的一個學生希帕索斯通過勾股定理發現了無理數，雖然這一發現打破了畢達哥拉斯宇宙萬物皆為整數與整數之比的信條，並導致希帕索斯悲慘地死去，但定理對數學的發展起到了巨大的促進作用。此外，畢達哥拉斯在音樂、天文、哲學方面也做出了一定貢獻，首創地圓說，認為日、月、五星都是球體，浮懸在太空之中。
小故事：
畢達哥拉斯有次應邀參加一位富有政要的餐會，這位主人豪華宮殿般的餐廳鋪著是正方形美麗的大理石地磚，由於大餐遲遲不上桌，這些飢腸轆轆的貴賓頗有怨言；這位善於觀察和理解的數學家卻凝視腳下這些排列規則、美麗的方形磁磚，但畢達哥拉斯不只是欣賞磁磚的美麗，而是想到它們和[數]之間的關系，於是拿了畫筆並且蹲在地板上，選了一塊磁磚以它的對角線 AB為邊畫一個正方形，他發現這個正方形面積恰好等於兩塊磁磚的面積和。他很好奇，於是再以兩塊磁磚拼成 的矩形之對角線作另一個正方形，他發現這個正方形之面積等於5塊磁磚的面積，也就是以兩股為邊作正方形面積之和。至此畢達哥拉斯作了大膽的假設： 任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等於另兩邊平方之和。那一頓飯，這位古希臘數學大師，視線都一直沒有離開地面。
西方哲學史——畢達哥拉斯
作者：畢達哥拉斯
文章來源：
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作者：英 伯特蘭·羅素著 來源：《西方哲學史》
畢達哥拉斯對古代和近代的影響是我這一章的主題；無論就他的聰明而論或是就他的不聰明而論，畢達哥拉斯都是自有生民以來在思想方面最重要的人物之一。數學，在證明式的演繹推論的意義上的數學，是從他開始的；而且數學在他的思想中乃是與一種特殊形式的神秘主義密切地結合在一起的。自從他那時以來，而且一部分是由於他的緣故，數學對於哲學的影響一直都是既深刻而又不幸的。
讓我們先從關於他生平已知的一些很少的事實談起。他是薩摩島的人，大約鼎盛於公元前523年。有人說他是一個殷實的公民叫做姆奈薩爾克的兒子，另有人說他是亞波羅神的兒子；我請讀者們在這兩說中自行選擇一種。在他的時代，薩摩被僭主波呂克拉底所統治著，這是一個發了大財的老流氓，有著一支龐大的海軍。
薩摩是米利都的商業競爭者；它的商人足跡遠達以礦產著名的西班牙塔爾特蘇斯地方。波呂克拉底大約於公元前535年成為薩摩的僭主，一直統治到公元前515年為止。他是不大顧慮道德的責難的；他趕掉了他的兩個兄弟，他們原是和他一起搞僭主政治的，他的海軍大多用於進行海上掠奪。不久之前米利都臣服於波斯的這件事情對他非常有利。
為了阻止波斯人繼續向西擴張，他便和埃及國王阿馬西斯聯盟。但是當波斯王堪比西斯集中全力征服埃及時，波呂克拉底認識到他會要勝利，於是就改變了立場。他派遣一支由他的政敵所組成的艦隊去進攻埃及；但是水兵們叛變了，回到薩摩島向他進攻。雖然他戰勝了他們，但是最後還是中了一樁利用他的貪財心的陰謀而垮台了。在薩爾底斯的波斯總督假裝著要背叛波斯大王，並願拿出一大筆錢來酬答波呂克拉底對他的援助；波呂克拉底到大陸上去會晤波斯總督時，便被捕獲並被釘死在十字架上。
波呂克拉底是一位藝術的保護主，並曾以許多了不起的建築美化了薩摩。安那克里昂就是他的宮廷詩人。然而畢達哥拉斯卻不喜歡他的政府，所以便離開了薩摩島。據說——而且不是不可能的——畢達哥拉斯到過埃及，他的大部分智慧都是在那裡學得的；無論情形如何，可以確定的是他最後定居於義大利南部的克羅頓。
義大利南部的各希臘城市也象薩摩島和米利都一樣，都是富庶繁榮的；此外，它們又遭受不到波斯人的威脅①。最大的兩個城市是西巴瑞斯和克羅頓。西巴瑞斯的奢華至今還膾炙人口；據狄奧多羅斯說，它的人口當全盛時期曾達三十萬人之多，雖然無疑地這是一種誇大。克羅頓與西巴瑞斯的大小大致相等。兩個城市都靠輸入伊奧尼亞的貨物至義大利為生，一部分貨物是做為義大利的消費品，一部分則從西部海岸轉口至高盧和西班牙。義大利的許多希臘城市彼此激烈地進行征戰；當畢達哥拉斯到達克羅頓的時候，克羅頓剛剛被勞克瑞所戰敗。然而在畢達哥拉斯到達之後不久，克羅頓對西巴瑞斯的戰爭便取得了完全的勝利，西巴瑞斯徹底地被毀滅了（公元前510年）。西巴瑞斯與米利都在商業上一直有密切的聯系。克羅頓以醫學著名；克羅頓有一個人德謨西底斯曾經做過波呂克拉底的御醫，後來又作過大流士的御醫。畢達哥拉斯和他的弟子在克羅頓建立了一個團體，這個團體有一個時期在該城中是很有影響的。但是最後，公民們反對他，於是他就搬到梅達彭提翁（也在義大利南部），並死於此處。不久他就成為一個神話式的人物，被賦與了種種奇跡和神力，但是他也是一個數學家學派的創立者②。這樣，就有兩種相反的傳說爭論著他的事跡，而真相便很難弄清楚。
畢達哥拉斯是歷史上最有趣味而又最難理解的人物之一。不僅關於他的傳說幾乎是一堆難分難解的真理與荒誕的混合，而且即使是在這些傳說的最單純最少爭論的形式里，它們也向我們提供了一種最奇特的心理學。簡單地說來，可以把他描寫成是一種愛因斯坦與艾地夫人的結合。他建立了一種宗教，主要的教義是靈魂的輪回①和吃豆子的罪惡性。他的宗教體現為一種宗教團體，這一教團到處取得了對於國家的控制權並建立起一套聖人的統治。但是未經改過自新的人渴望著吃豆子，於是就遲早都反叛起來了。
畢達哥拉斯教派有一些規矩是：
1．禁食豆子。
2．東西落下了，不要揀起來。
3．不要去碰白公雞。
4．不要擘開麵包。
5．不要邁過門閂。
6．不要用鐵撥火。
7．不要吃整個的麵包。
8．不要招花環。
9．不要坐在鬥上。
10．不要吃心。
11．不要在大路上行走。
12．房裡不許有燕子。
13．鍋從火上拿下來的時候，不要把鍋的印跡留在灰上，而要把它抹掉。
14．不要在光亮的旁邊照鏡子。
15．當你脫下睡衣的時候，要把它捲起，把身上的印跡摩平①。
所有這些誡命都屬於原始的禁忌觀念。
康福德（《從宗教到哲學》）說，在他看來，「畢達哥拉斯代表著我們所認為與科學傾向相對立的那種神秘傳統的主潮。」他認為巴門尼德——他稱之為「邏輯的發現者」
——「是畢達哥拉斯的一個支派，而柏拉圖本人則從義大利哲學獲得了他的靈感的主要來源」。他說畢達哥拉斯主義是奧爾弗斯教內部的一種改良運動，而奧爾弗斯教又是狄奧尼索斯崇拜中的改良運動。理性的東西與神秘的東西之互相對立貫穿著全部的歷史，它在希臘人中間最初表現為奧林匹克的神與其他較為不開化的神之間的對立，後者更接近於人類學者們所研究的原始信仰。在這個分野上，畢達哥拉斯是站在神秘主義方面的，雖然他的神秘主義具有一種特殊的理智性質。他認為他自己具有一種半神明的性質，而且似乎還曾說過，「既有人，又有神，也還有象畢達哥拉斯這樣的生物。」康福德說，受他所鼓舞的各種體系「都是傾向於出世的，把一切價值都置於上帝的不可見的統一性之中，並且把可見的世界斥為虛幻的，說它是一種混濁的介質，其中上天的光線在霧色和黑暗之中遭到了破壞，受到了蒙蔽」。
狄凱阿克斯說，畢達哥拉斯教導說，「首先，靈魂是個不朽的東西，它可以轉變成別種生物；其次，凡是存在的事物，都要在某種循環里再生，沒有什麼東西是絕對新的；一切生來具有生命的東西都應該認為是親屬。」①據說，畢達哥拉斯好象聖法蘭西斯一樣地曾向動物說法。
在他建立的團體里，不分男女都可以參加；財產是公有的，而且有一種共同的生活方式，甚至於科學和數學的發現也認為是集體的，而且，在一種神秘的意義上，都得歸功於畢達哥拉斯；甚至於在他死後也還是如此。梅達彭提翁的希巴索斯曾違反了這條規矩，便因船隻失事而死，這是神對於他的不虔誠而震怒的結果。
但是這一切與數學又有什麼關系呢？它們是通過一種贊美沉思生活的道德觀而被聯系在一片的。伯奈特把這種道德觀總結如下：
「我們在這個世界上都是異鄉人，身體就是靈魂的墳墓，然而我們決不可以自殺以求逃避；因為我們是上帝的所有物，上帝是我們的牧人，沒有他的命令我們就沒權利逃避。在現世生活里有三種人，正象到奧林匹克運動會上來的也有三種人一樣。那些來作買賣的人都屬於最低的一等，比他們高一等的是那些來競賽的人。然而，最高的一種乃是那些只是來觀看的人們。因此，一切中最偉大的凈化便是無所為而為的科學，唯有獻身於這種事業的人，亦即真正的哲學家，才真能使自己擺脫\'生之巨輪\'。」①文字涵義的變化往往是非常有啟發意義的。我在上文已經提到「狂歡」（orgy）那個字；現在我就要談談「理論」（theory）這個字。這個字原來是奧爾弗斯教派的一個字，康福德解釋為「熱情的動人的沉思」。他說，在這種狀態之中「觀察者與受苦難的上帝合而為一，在他的死亡中死去，又在他的新生中復活」；對於畢達哥拉斯，這種「熱情的動人的沉思」乃是理智上的，而結果是得出數學的知識。這樣，通過了畢達哥拉斯主義，「理論」
就逐漸地獲得了它的近代意義；然而對一切為畢達哥拉斯所鼓舞的人們來說，它一直保存著一種狂醉式的啟示的成份。這一點，對於那些在學校里無可奈何地學過一些數學的人們來說，好象是很奇怪的；然而對於那些時時經驗著由於數學上的豁然貫通而感到沉醉歡欣的人們來說，對於那些喜愛數學的人們來說，畢達哥拉斯的觀點則似乎是十分自然的，縱令它是不真實的。彷彿經驗的哲學家只是材料的奴隸，而純粹的數學家，正象音樂家一樣，才是他那秩序井然的美麗世界的自由創造者。
最有趣的是，我們從伯奈特敘述的畢達哥拉斯的倫理學里，可以看出與近代價值相反的觀念。譬如在一場足球賽里，有近代頭腦的人總認為足球員要比觀眾偉大得多。至於國家，情形也類似：他們對於政治家（政治家是比賽中的競爭者）的崇拜有甚於對於那些僅僅是旁觀者的人們。這一價值的變化與社會制度的改變有關——戰士、君子、財閥、獨裁者，各有其自己的善與真的標准。君子在哲學理論方面曾經有過長期的當權時代，因為他是和希臘天才結合在一片的，因為沉思的德行獲得了神學的保證，也因為無所為而為的真理這一理想庄嚴化了學院的生活。君子可以定義為平等人的社會中的一分子，他們靠奴隸勞動而過活，或者至少也是依靠那些毫無疑問地位卑賤的勞動人民而過活。應該注意到在這個定義里也包括著聖人與賢人，因為就這些聖賢的生活而論，他們也是耽於沉思的而不是積極活動的。
近代關於真理的定義，例如實用主義的和工具主義的關於真理的定義，就是實用的而不是沉思的，它是由於與貴族政權相反對的工業文明所激起的。
無論人們對於容許奴隸制存在的社會制度懷著怎樣的想法，但正是從上面那種意義的君子那裡，我們才有了純粹的數學。沉思的理想既能引人創造出純粹的數學，所以就是一種有益的活動的根源；這一點就增加了它的威望，並使它在神學方面、倫理學方面和哲學方面獲得了一種在其他情況下所不能享有的成功。
關於畢達哥拉斯之作為一個宗教的先知與作為一個純粹的數學家這兩方面，我們已經解釋得很多了。在這兩方面，他都有著無可估計的影響，而且這兩方面在當時也不象近代人所想像的那樣是分離開來的。
大多數的科學從它們的一開始就是和某些錯誤的信仰形式聯系在一片的，這就使它們具有一種虛幻的價值。天文學和占星學聯系在一片，化學和煉丹術聯系在一片。數學則結合了一種更精緻的錯誤類型。數學的知識看來是可靠的、准確的，而且可以應用於真實的世界。此外，它還是由於純粹的思維而獲得的，並不需要觀察。因此之故，人們就以為它提供了日常經驗的知識所無能為力的理想。人們根據數學便設想思想是高於感官的，直覺是高於觀察的。如果感官世界與數學不符，那麼感官世界就更糟糕了。人們便以各種不同的方式尋求更能接近於數學家的理想的方法，而結果所得的種種啟示就成了形而上學與知識論中許多錯誤的根源。這種哲學形式也是從畢達哥拉斯開始的。
正如大家所知道的，畢達哥拉斯說「萬物都是數」。這一論斷如以近代的方式加以解釋的話，在邏輯上是全無意義的，然而畢達哥拉斯所指的卻並不是完全沒有意義的。
他發現了數在音樂中的重要性，數學名詞里的「調和中項」與「調和級數」就仍然保存著畢達哥拉斯為音樂和數學之間所建立的那種聯系。他把數想像為象是表現在骰子上或者紙牌上的那類形狀。我們至今仍然說數的平方與立方，這些名詞就是從他那裡來的。
他還提到長方形數目、三角形數目、金字塔形數目等等。這些都是構成上述各種形狀所必需的數目小塊塊（或者我們更自然一些應該說是些數目的小球球）。他把世界假想為原子的，把物體假想為是原子按各種不同形式排列起來而構成的分子所形成的。他希望以這種方式使算學成為物理學的以及美學的根本研究對象。
畢達哥拉斯的最偉大的發現，或者是他的及門弟子的最偉大的發現，就是關於直角三角形的命題；即直角兩夾邊的平方的和等於另一邊的平方，即弦的平方。埃及人已經知道三角形的邊長若為3，4，5的話，則必有一個直角。但是顯然希臘人是最早觀察到32+42=52的，並且根據這一提示發現了這個一般命題的證明。
然而不幸，畢達哥拉斯的定理立刻引到了不可公約數(無理數)的發現，這似乎否定了他的全部哲學。在一個等邊直角三角形里，弦的平方等於每一邊平方的二倍。讓我們假設每邊長一時，那麼弦應該有多麼長呢？讓我們假設它的長度是m/n時。那麼m2/n2=2。
如果m和n有一個公約數，我們可以把它消去，於是m和n必有一個是奇數。現在m2＝2n2，所以m是偶數，所以m也是偶數；因此n就是奇數。假設m＝2p。那末4p2=2n2，因此n2=2p2，而因此n便是偶數，與假設相反。所以就沒有m/n的分數可以約盡弦。以上的證明，實質上就是歐幾里德第十編中的證明①。
這種論證就證明了無論我們採取什麼樣的長度單位，總會有些長度對於那個單位不能具有確切的數目關系；也就是說，不能有兩個整數m、n，從而使問題中的m倍的長度等於n倍的單位。這就使得希臘的數學家們堅信，幾何學的成立必定是獨立的而與算學無關。
柏拉圖對話錄中有幾節可以證明，在他那時候已經有人獨立地處理幾何學了；幾何學完成於歐幾里德。歐幾里德在第二編中從幾何上證明了許多我們會自然而然用代數來證明的東西，例如(a+b)2=a2+2ab+b2。正是因為有不可公約數的困難，他才認為這種辦法是必要的。他在第五編、第六編中論比例時，情形也是如此。整個體系在邏輯上是醒目的，並且已經預示著十九世紀數學家們的嚴謹了。只要關於不可公約數還沒有恰當的算學理論存在時，則歐幾里德的方法便是幾何學中最好的可能方法。當笛卡兒介紹了坐標幾何學（解析幾何）從而再度確定了算學至高無上的地位時，他曾設想不可公約數的問題有解決的可能性，雖然在他那時候還不曾發現這種解法。
幾何學對於哲學與科學方法的影響一直是深遠的。希臘人所建立的幾何學是從自明的、或者被認為是自明的公理出發，根據演繹的推理前進，而達到那些遠不是自明的定理。公理和定理被認為對於實際空間是真確的，而實際空間又是經驗中所有的東西。這樣，首先注意到自明的東西然後再運用演繹法，就好像是可能發現實際世界中一切事物了。這種觀點影響了柏拉圖和康德以及他們兩人之間的大部分的哲學家。「獨立宣言」
①說：「我們認為這些真理是自明的」，其本身便脫胎於歐幾里德。十八世紀天賦人權的學說，就是一種在政治方面追求歐幾里德式的公理②。牛頓的《原理》一書，盡管它的材料公認是經驗的，但是它的形式卻完全是被歐幾里德所支配著的。嚴格的經院形式的神學，其體裁也出於同一個來源。個人的宗教得自天人感通，神學則得自數學；而這兩者都可以在畢達哥拉斯的身上找到。
我相信，數學是我們信仰永恆的與嚴格的真理的主要根源，也是信仰有一個超感的可知的世界的主要根源。幾何學討論嚴格的圓，但是沒有一個可感覺的對象是嚴格地圓形的；無論我們多麼小心謹慎地使用我們的圓規，總會有某些不完備和不規則的。這就提示了一種觀點，即一切嚴格的推理只能應用於與可感覺的對象相對立的理想對象；很自然地可以再進一步論證說，思想要比感官更高貴而思想的對象要比感官知覺的對象更真實。神秘主義關於時間與永恆的關系的學說，也是被純粹數學所鞏固起來的；因為數學的對象，例如數，如其是真實的話，必然是永恆的而不在時間之內。這種永恆的對象就可以被想像成為上帝的思想。因此，柏拉圖的學說是：上帝是一位幾何學家；而詹姆士·琴斯爵士也相信上帝嗜好算學。與啟示的宗教相對立的理性主義的宗教，自從畢達哥拉斯之後，尤其是從柏拉圖之後，一直是完全被數學和數學方法所支配著的。
數學與神學的結合開始於畢達哥拉斯，它代表了希臘的、中世紀的以及直迄康德為止的近代的宗教哲學的特徵。畢達哥拉斯以前的奧爾弗斯教義類似於亞洲的神秘教。但是在柏拉圖、聖奧古斯丁、托馬斯·阿奎那、笛卡爾、斯賓諾莎和康德的身上都有著一種宗教與推理的密切交織，一種道德的追求與對於不具時間性的事物之邏輯的崇拜的密切交織；這是從畢達哥拉斯而來的，並使得歐洲的理智化了的神學與亞洲的更為直接了當的神秘主義區別開來。只是到了最近的時期，人們才可能明確地說出畢達哥拉斯錯在哪裡。我不知道還有什麼別人對於思想界有過象他那麼大的影響。我所以這樣說，是因為所謂柏拉圖主義的東西倘若加以分析，就可以發現在本質上不過是畢達哥拉斯主義罷了。有一個只能顯示於理智而不能顯示於感官的永恆世界，全部的這一觀念都是從畢達哥拉斯那裡得來的。如果不是他，基督徒便不會認為基督就是道；如果不是他，神學家就不會追求上帝存在與靈魂不朽的邏輯證.明.。但是在他的身上，這一切還都不顯著。
下面就要談到這一切是怎樣變得顯著的。
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①西西里的希臘城市是受著迦太基人的威脅的，但是在義大利，人們並不感到這種威脅的切迫。
②亞里士多德說，畢達哥拉斯「最初從事數學和算學，後來一度不惜從事非里賽底斯所奉行的魔術。」
①「丑：畢達哥拉斯對於野鳥有什麼意見？
馬伏里奧：他說我們祖母的靈魂也許曾在鳥兒的身體里寄住過。
丑：你對他的意見覺得怎樣？
馬：我認為靈魂是高貴的，絕對不贊成他的說法。
丑：再見，你在黑暗裡住下去吧，等到你贊成了畢達哥拉斯的說法之後，我才可以承認你的頭腦健全」。（第十二夜）
（朱生豪譯：《莎士比亞戲劇集》卷二，第218頁，作家出版社，1954）
①引自伯奈特《早期希臘哲學》。
①康福德：前引書，第201頁。
①《早期希臘哲學》，第108頁。
①但是這並非歐幾里德所發現的，見希斯：《希臘的數學》。以上的證明或許柏拉圖是知道的。
①這里指的是美國的《獨立宣言》——中譯本編者
②佛蘭克林用「自明的」代替了傑弗遜的「神聖的與不可否認的」。
㈢ 畢達哥拉斯除勾股定理外的定理有哪些
【畢達哥拉斯(Pythagoras)簡介】
泰勒斯(Thales)在哲學上有個對立面，這個人就是首先提出物質運動應該符合數學規律的古希臘哲學家、數學家、天文學家——畢達哥拉斯(公元前560年～公元前480年)。
【人生簡歷】
公元前580年，畢達哥拉斯出生在米里都附近的薩摩斯島(今希臘東部的小島)——愛奧尼亞群島的主要島嶼城市之一，此時群島正處於極盛時期，在經濟、文化等各方面都遠遠領先於希臘本土的各個城邦。
畢達哥拉斯的父親是一個富商，九歲時被父親送到提爾，在閃族敘利亞學者那裡學習，在這里他接觸了東方的宗教和文化。以後他又多次隨父親作商務旅行到小亞細亞。
公元前551年，畢達哥拉斯來到米利都、得洛斯等地，拜訪了泰勒斯、阿那克西曼德和菲爾庫德斯，並成為了他們的學生。在此之前，他已經在薩摩斯的詩人克萊非洛斯那裡學習了詩歌和音樂。
公元前550年，30歲的畢達哥拉斯因宣傳理性神學，穿東方人服裝，蓄上頭發從而引起當地人的反感，從此薩摩斯人一直對畢達哥拉斯有成見，認為他標新立異，鼓吹邪說。畢達哥拉斯被迫於公元前535年離家前往埃及，途中他在腓尼基各沿海城市停留，學習當地神話和宗教，並在提爾一神廟中靜修。
抵達埃及後，國王阿馬西斯推薦他入神廟學習。從公元前535年到公元前525年這十年中，畢達哥拉斯學習了象形文字和埃及神話歷史和宗教，並宣傳希臘哲學，受到許多希臘人尊敬，有不少人投到他的門下求學。
畢達哥拉斯在49歲時返回家鄉薩摩斯，開始講學並開辦學校，但是沒有達到他預期的成效。公元前520年左右，為了擺脫當時君主的暴政，他與母親和唯一的一個門徒離開薩摩斯，移居西西里島，後來定居在克羅托內。在那裡他廣收門徒，建立了一個宗教、政治、學術合一的團體。
他的演講吸引了各階層的人士，很多上層社會的人士來參加演講會。按當時的風俗，婦女是被禁止出席公開的會議的，畢達哥拉斯打破了這個成規，允許她們也來聽講。熱心的聽眾中就有他後來的妻子西雅娜，她年輕漂亮，曾給他寫過傳記，可惜已經失傳了。
畢達哥拉斯在義大利南部的希臘屬地克勞東成立了一個秘密結社，這個社團里有男有女，地位一律平等，一切財產都歸公有。社團的組織紀律很嚴密，甚至帶有濃厚的宗教色彩。每個學員都要在學術上達到一定的水平，加入組織還要經歷一系列神秘的儀式，以求達到「心靈的凈化」。
他們要接受長期的訓練和考核，遵守很多的規范和戒律，並且宣誓永不泄露學派的秘密和學說。他們相信依靠數學可使靈魂升華，與上帝融為一體，萬物都包含數，甚至萬物都是數，上帝通過數來統治宇宙。這是畢達哥拉斯學派和其他教派的主要區別。
學派的成員有著共同的哲學信仰和政治理想，他們吃著簡單的食物，進行著嚴格的訓練。學派的教義鼓勵人們自製、節欲、純潔、服從。他們開始在大希臘(今義大利南部一帶)贏得了很高的聲譽，產生過相當大的影響，也因此引起了敵對派的嫉恨。
後來他們受到民主運動的沖擊，社團在克羅托內的活動場所遭到了嚴重的破壞。畢達哥拉斯被迫移居他林敦(今義大利南部塔蘭托)，並於公元前500年去世，享年80歲。許多門徒逃回希臘本土，在弗利奧斯重新建立據點，另一些人到了塔蘭托，繼續進行數學哲學研究，以及政治方面的活動，直到公元前4世紀中葉。畢達哥拉斯學派持續繁榮了兩個世紀之久。
【「萬物皆數」】
最早把數的概念提到突出地位的是畢達哥拉斯學派。他們很重視數學，企圖用數來解釋一切。宣稱數是宇宙萬物的本原，研究數學的目的並不在於使用而是為了探索自然的奧秘。他們從五個蘋果、五個手指等事物中抽象出了五這個數。這在今天看來很平常的事，但在當時的哲學和實用數學界，這算是一個巨大的進步。在實用數學方面，它使得算術成為可能。在哲學方面，這個發現促使人們相信數是構成實物世界的基礎。
畢達哥拉斯定理——勾股定理
畢達哥拉斯本人以發現勾股定理(西方稱畢達哥拉斯定理)著稱於世。這定理早已為巴比倫人和中國人所知(在中國古代大約是戰國時期西漢的數學著作 《周髀 算經》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：「…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。」商高那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以後人們就簡單地把這個事實說成「勾三股四弦五」。這就是中國著名的勾股定理.)，不過最早的證明大概可歸功於畢達哥拉斯。他是用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和，即畢達哥拉斯定理(勾股定理)。
數論
畢達哥拉斯對數論作了許多研究，將自然數區分為奇數、偶數、素數、完全數、平方數、三角數和五角數等。在畢達哥拉斯派看來，數為宇宙提供了一個概念模型，數量和形狀決定一切自然物體的形式，數不但有量的多寡，而且也具有幾何形狀。在這個意義上，他們把數理解為自然物體的形式和形象，是一切事物的總根源。因為有了數，才有幾何學上的點，有了點才有線面和立體，有了立體才有火、氣、水、土這四種元素，從而構成萬物，所以數在物之先。自然界的一切現象和規律都是由數決定的，都必須服從「數的和諧」，即服從數的關系。
畢達哥拉斯還通過說明數和物理現象間的聯系，來進一步證明自己的理論。他曾證明用三條弦發出某一個樂音，以及它的第五度音和第八度音時，這三條弦的長度之比為6:4:3。他從球形是最完美幾何體的觀點出發，認為大地是球形的，提出了太陽、月亮和行星作均勻圓運動的思想。他還認為十是最完美的數，所以天上運動的發光體必然有十個。
一個理論
他還有一套這樣的理論：地球沿著一個球面圍繞著空間一個固定點處的「中央火」轉動，另一側有一個「對地星」與之平衡。這個「中央火」是宇宙的祭壇，是人永遠也看不見的。這十個天體到中央火之間的距離，同音節之間的音程具有同樣的比例關系，以保證星球的和諧，從而奏出天體的音樂。
整數的變化
畢達哥拉斯和他的學派在數學上有很多創造，尤其對整數的變化規律感興趣。例如，把(除其本身以外)全部因數之和等於本身的數稱為完全數(如6，28， 496等)，而將本身大於其因數之和的數稱為盈數；將小於其因數之和的數稱為虧數。
幾何的其他貢獻
在幾何學方面，畢達哥拉斯學派證明了「三角形內角之和等於兩個直角」的論斷；研究了黃金分割；發現了正五角形和相似多邊形的作法；還證明了正多面體只有五種——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。
萬物皆數
他同時任意地把非物質的、抽象的數誇大為宇宙的本原，認為「萬物皆數」，「數是萬物的本質」，是「存在由之構成的原則」，而整個宇宙是數及其關系的和諧的體系。畢達哥拉斯將數神秘化，說數是眾神之母，是普遍的始原，是自然界中對立性和否定性的原則。
【畢達哥拉斯得到的倫理觀】
在早年的治學時期，畢達哥拉斯經常到各地演講，以向人們闡明經過他深思熟慮的見解，除了「數是萬物之原」的主題外，他還常常談起有關道德倫理的問題。
他對議事廳的權貴們說，「一定要公正。不公正，就破壞了秩序，破壞了和諧，這是最大的惡。起誓是很嚴重的行為，不到關鍵時刻不要隨便起誓，可是每個官員應能立下保證，保證自己不說謊話。」
在談到治家時，他認為對兒女的愛是不能指望有回報的，但做父親的應當努力用自己的言行去獲得子女由衷的敬愛。父母的愛是神聖的，作子女的應當珍惜。子女應是父母的朋友，兄弟姐妹之間也應該彼此互敬互愛。當提到夫妻關系時，他說彼此尊重是最重要的，雙方都應忠實於配偶。
他談到過自律的問題。他說，自律是對人個性的一種考驗，對兒童、少年、老人、婦女來說，能自律是一種美德，但對年輕人來說，則是必要。自律使你身體健康，心靈潔凈，意志堅強。畢達哥拉斯從如何培養自律講到教育的重要性，他認為人的自律只能在理性和知識的指導下才能培養起來，而知識只能通過教育才能獲得，所以教育的重要性是不容忽視的。
他形象的描述了教育的特性：「你能通過學習從別人那裡獲得知識，但教授你的人卻不會因此失去了知識。這就是教育的特性。世界上有許多美好的東西。好的稟賦可以從遺傳中獲得，如健康的身體，嬌好的容顏，勇武的個性；有的東西很寶貴，但一經授予他人就不再歸你所有，如財富，如權力。而比這一切都寶貴的是知識，只要你努力學習，你就能得到而又不會損害他人，並可能改變你的天性。」
誠然，作為一種唯心主義的世界觀，畢達哥拉斯和他的學派的科學探索無法找到正確的方向，甚至在某種程度上給後來的自然哲學以及科學的發展帶來了很大的消極影響。但是，這些失誤，並不能掩蓋畢達哥拉斯在自然科學形成和發展過程中起到的積極作用。列寧告訴我們，畢達哥拉斯是「科學思維的萌芽同宗教神話之類幻想間的一種聯系」。
【畢達哥拉斯的小故事】
畢達哥拉斯有次應邀參加一位富有政要的餐會，這位主人豪華宮殿般的餐廳鋪著是正方形美麗的大理石地磚，由於大餐遲遲不上桌，這些飢腸轆轆的貴賓頗有怨言；這位善於觀察和理解的數學家卻凝視腳下這些排列規則、美麗的方形磁磚，但畢達哥拉斯不只是欣賞磁磚的美麗，而是想到它們和[數]之間的關系，於是拿了畫筆並且蹲在地板上，選了一塊磁磚以它的對角線 AB為邊畫一個正方形，他發現這個正方形面積恰好等於兩塊磁磚的面積和。他很好奇，於是再以兩塊磁磚拼成 的矩形之對角線作另一個正方形，他發現這個正方形之面積等於5塊磁磚的面積，也就是以兩股為邊作正方形面積之和。至此畢達哥拉斯作了大膽的假設： 任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等於另兩邊平方之和。那一頓飯，這位古希臘數學大師，視線都一直沒有離開地面。
【西方哲學史——畢達哥拉斯】
作者：英 伯特蘭·羅素著 來源：《西方哲學史》
畢達哥拉斯對古代和近代的影響是我這一章的主題；無論就他的聰明而論或是就他的不聰明而論，畢達哥拉斯都是自有生民以來在思想方面最重要的人物之一。數學，在證明式的演繹推論的意義上的數學，是從他開始的；而且數學在他的思想中乃是與一種特殊形式的神秘主義密切地結合在一起的。自從他那時以來，而且一部分是由於他的緣故，數學對於哲學的影響一直都是既深刻而又不幸的。
讓我們先從關於他生平已知的一些很少的事實談起。他是薩摩島的人，大約鼎盛於公元前523年。有人說他是一個殷實的公民叫做姆奈薩爾克的兒子，另有人說他是亞波羅神的兒子；我請讀者們在這兩說中自行選擇一種。在他的時代，薩摩被僭主波呂克拉底所統治著，這是一個發了大財的老流氓，有著一支龐大的海軍。
薩摩是米利都的商業競爭者；它的商人足跡遠達以礦產著名的西班牙塔爾特蘇斯地方。波呂克拉底大約於公元前535年成為薩摩的僭主，一直統治到公元前515年為止。他是不大顧慮道德的責難的；他趕掉了他的兩個兄弟，他們原是和他一起搞僭主政治的，他的海軍大多用於進行海上掠奪。不久之前米利都臣服於波斯的這件事情對他非常有利。
為了阻止波斯人繼續向西擴張，他便和埃及國王阿馬西斯聯盟。但是當波斯王堪比西斯集中全力征服埃及時，波呂克拉底認識到他會要勝利，於是就改變了立場。他派遣一支由他的政敵所組成的艦隊去進攻埃及；但是水兵們叛變了，回到薩摩島向他進攻。雖然他戰勝了他們，但是最後還是中了一樁利用他的貪財心的陰謀而垮台了。在薩爾底斯的波斯總督假裝著要背叛波斯大王，並願拿出一大筆錢來酬答波呂克拉底對他的援助；波呂克拉底到大陸上去會晤波斯總督時，便被捕獲並被釘死在十字架上。
波呂克拉底是一位藝術的保護主，並曾以許多了不起的建築美化了薩摩。安那克里昂就是他的宮廷詩人。然而畢達哥拉斯卻不喜歡他的政府，所以便離開了薩摩島。據說——而且不是不可能的——畢達哥拉斯到過埃及，他的大部分智慧都是在那裡學得的；無論情形如何，可以確定的是他最後定居於義大利南部的克羅頓。
義大利南部的各希臘城市也象薩摩島和米利都一樣，都是富庶繁榮的；此外，它們又遭受不到波斯人的威脅①。最大的兩個城市是西巴瑞斯和克羅頓。西巴瑞斯的奢華至今還膾炙人口；據狄奧多羅斯說，它的人口當全盛時期曾達三十萬人之多，雖然無疑地這是一種誇大。克羅頓與西巴瑞斯的大小大致相等。兩個城市都靠輸入伊奧尼亞的貨物至義大利為生，一部分貨物是做為義大利的消費品，一部分則從西部海岸轉口至高盧和西班牙。義大利的許多希臘城市彼此激烈地進行征戰；當畢達哥拉斯到達克羅頓的時候，克羅頓剛剛被勞克瑞所戰敗。然而在畢達哥拉斯到達之後不久，克羅頓對西巴瑞斯的戰爭便取得了完全的勝利，西巴瑞斯徹底地被毀滅了（公元前510年）。西巴瑞斯與米利都在商業上一直有密切的聯系。克羅頓以醫學著名；克羅頓有一個人德謨西底斯曾經做過波呂克拉底的御醫，後來又作過大流士的御醫。畢達哥拉斯和他的弟子在克羅頓建立了一個團體，這個團體有一個時期在該城中是很有影響的。但是最後，公民們反對他，於是他就搬到梅達彭提翁（也在義大利南部），並死於此處。不久他就成為一個神話式的人物，被賦與了種種奇跡和神力，但是他也是一個數學家學派的創立者②。這樣，就有兩種相反的傳說爭論著他的事跡，而真相便很難弄清楚。
畢達哥拉斯是歷史上最有趣味而又最難理解的人物之一。不僅關於他的傳說幾乎是一堆難分難解的真理與荒誕的混合，而且即使是在這些傳說的最單純最少爭論的形式里，它們也向我們提供了一種最奇特的心理學。簡單地說來，可以把他描寫成是一種愛因斯坦與艾地夫人的結合。他建立了一種宗教，主要的教義是靈魂的輪回①和吃豆子的罪惡性。他的宗教體現為一種宗教團體，這一教團到處取得了對於國家的控制權並建立起一套聖人的統治。但是未經改過自新的人渴望著吃豆子，於是就遲早都反叛起來了。
勾股定理
勾股定理又叫商高定理，或稱畢達哥拉斯定理：
在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等於兩條直角邊邊長平方之和。如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那麼a
據考證，人類對這條定理的認識，少說也超過 4000 年！
中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的開頭,就有這條定理的相關內容：周公問：「竊聞乎大夫善數也，請問古者包犧立周天歷度。夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？」商高答：「數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出九九八十一，故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方其外，半之一矩，環而共盤。得成三、四、五，兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所由生也。」從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經發現並應用勾股定理這一重要懂得數學原理了。
在西方有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據說當他證明了勾股定理以後，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為「百牛定理」。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法。
實際上，在更早期的人類活動中，人們就已經認識到這一定理的某些特例。除上述兩個例子外，據說古埃及人也曾利用「勾三股四弦五」的法則來確定直角。但是，這一傳說引起過許多數學史家的懷疑。比如說，美國的數學史家M·克萊因教授曾經指出：「我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥拉斯定理。我們知道他們有拉繩人（測量員），但所傳他們在繩上打結，把全長分成長度為3、4、5的三段，然後用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得證實。」不過，考古學家們發現了幾塊大約完成於公元前2000年左右的古巴比倫的泥板書，據專家們考證，其中一塊上面刻有如下問題：「一根長度為 30個單位的棍子直立在牆上，當其上端滑下6個單位時，請問其下端離開牆角有多遠？」這是一個三邊為為3:4:5三角形的特殊例子；專家們還發現，在另一塊泥板上面刻著一個奇特的數表，表中共刻有四列十五行數字，這是一個勾股數表：最右邊一列為從1到15的序號，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數值，一共記載著15組勾股數。這說明，勾股定理實際上早已進入了人類知識的寶庫。
勾股定理是幾何學中的明珠，它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數學家、畫家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單又實用，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止於此，有資料表明，關於勾股定理的證明方法已有500餘種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。（※關於勾股定理的詳細證明，由於證明過程較為繁雜，不予收錄。）
人們對勾股定理感興趣的原因還在於它可以作推廣。
歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：「直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和」。
從上面這一定理可以推出下面的定理：「以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等於以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和」。
勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等於直角邊上兩個多面體表面積之和。
若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等於兩直角邊上所作二球表面積之和。
㈣ 畢達哥拉斯的證明方法
畢達哥拉斯定理：
在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等於兩條直角邊邊長平方之和。如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那麼a^2;+b^2;=c^2;，即α*α+b*b=c*c
推廣：把指數改為n時，等號變為小於號
據考證，人類對這條定理的認識，少說也超過 4000 年！
中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的第一章,就有這條定理的相關內容：周公問：「竊聞乎大夫善數也，請問古者包犧立周天歷度。夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？」商高答：「數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出九九八十一，故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方其外，半之一矩，環而共盤。得成三、四、五，兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所由生也。」就是說，矩形以其對角相折所稱的直角三角形，如果勾（短直角邊）為3，股（長直角邊）為4，那麼弦（斜邊）必定是5。從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經發現並應用勾股定理這一重要的數學原理了。
在西方有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據說當他證明了勾股定理以後，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為「百牛定理」。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法。
實際上，在更早期的人類活動中，人們就已經認識到這一定理的某些特例。除上述兩個例子外，據說古埃及人也曾利用「勾三股四弦五」的法則來確定直角。但是，這一傳說引起過許多數學史家的懷疑。比如說，美國的數學史家M·克萊因教授曾經指出：「我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥拉斯定理。我們知道他們有拉繩人（測量員），但所傳他們在繩上打結，把全長分成長度為3、4、5的三段，然後用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得證實。」不過，考古學家們發現了幾塊大約完成於公元前2000年左右的古巴比倫的泥板書，據專家們考證，其中一塊上面刻有如下問題：「一根長度為 30個單位的棍子直立在牆上，當其上端滑下6個單位時，請問其下端離開牆角有多遠？」這是一個三邊為為3:4:5三角形的特殊例子；專家們還發現，在另一塊泥板上面刻著一個奇特的數表，表中共刻有四列十五行數字，這是一個勾股數表：最右邊一列為從1到15的序號，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數值，一共記載著15組勾股數。這說明，勾股定理實際上早已進入了人類知識的寶庫。
勾股定理是幾何學中的明珠，它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數學家、畫家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單又實用，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止於此，有資料表明，關於勾股定理的證明方法已有500餘種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。（※關於勾股定理的詳細證明，由於證明過程較為繁雜，不予收錄。）
人們對勾股定理感興趣的原因還在於它可以作推廣。
歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：「直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和」。
從上面這一定理可以推出下面的定理：「以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等於以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和」。
勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等於直角邊上兩個多面體表面積之和。
若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等於兩直角邊上所作二球表面積之和。
如此等等。
【附錄】
《周髀算經》簡介
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《周髀算經》算經十書之一。約成書於公元前二世紀，原名《周髀》，它是我國最古老的天文學著作，主要闡明當時的蓋天說和四分歷法。唐初規定它為國子監明算科的教材之一，故改名《周髀算經》。《周髀算經》在數學上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測量上的應用。原書沒有對勾股定理進行證明，其證明是三國時東吳人趙爽在《周髀注》一書的《勾股圓方圖注》中給出的。 《周髀算經》使用了相當繁復的分數演算法和開平方法。
伽菲爾德證明勾股定理的故事
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1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發現附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什麼，時而大聲爭論，時而小聲探討。由於好奇心驅使，伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什麼。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。於是伽菲爾德便問他們在干什麼？那個小男孩頭也不抬地說：「請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那麼斜邊長為多少呢？」伽菲爾德答道：「是5呀。」小男孩又問道：「如果兩條直角邊長分別為5和7，那麼這個直角三角形的斜邊長又是多少？」伽菲爾德不假思索地回答道：「那斜邊的平方一定等於5的平方加上7的平方。」小男孩又說：「先生，你能說出其中的道理嗎？」伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心裡很不是滋味。
於是，伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題。他經過反復思考與演算，終於弄清了其中的道理，並給出了簡潔的證明方法。
如下:
解：勾股定理的內容：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方，
a^2;+b^2;=c^2;
說明：我國古代學者把直角三角形的較短直角邊稱為「勾」，較長直角邊為「股」，斜邊稱為「弦」，所以把這個定理成為「勾股定理」。勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關系。
舉例：如直角三角形的兩個直角邊分別為3、4，則斜邊c2= a2+b2=9+16=25
則說明斜邊為5。
㈤ 畢達哥拉斯三角形數的規律是什麼
在眾多的學派中，畢達哥拉斯學派對「形數」的研究最為突出，該項研究強烈地反映了他們將數作為幾何思維元素的精神，有效地印證了「凡物皆數」的觀點。
那什麼是形數呢？即有形狀的數。畢達哥拉斯學派研究數的概念時，喜歡把數描繪成沙灘上的小石子，小石子能夠擺成不同的幾何圖形，於是就產生了一系列的形數。
1、三角形數
畢達哥拉斯發現，當小石子的數目是1、3、6、10、…等數時，小石子都能擺成正三角形，他把這些數叫做「三角形數」。如圖一1、2所示：
不難看出，前四個三角形數都是一些連續自然數的和，記每一個三角形數為 （i=1、2、3、…、n）則：
=1
=1+2=3
=1+2+3=6
=1+2+3+4=10
……………
=1+2+3+…+100=5050
……………
就這樣，畢達哥拉斯藉助生動的直觀的幾何圖形，很快就發現了自然數的一個規律：從1開始的連續自然數的和都是三角形數。如果用字母n表示最後一個加數，那麼1+2+3+…+n的和即是一個三角形數，而且正好是第n個三角形數。
∴=1+2+3+…+n= (n∈)
㈥ 畢達哥拉斯律 與中國古代的什麼理論相似
現如今一些學者會把中國律制的「三分損益法」與西方的「畢達哥拉斯樂制」混淆一談,被視為兩種完全相同的律制.有這樣一種邏輯關系:將三分損益法所派生的十二律按照一定的音高關系進行排列時, 「三分損益律」由於每次上生一個純五度,都包括八個律(例如黃鍾到林鍾),所以也稱為「隔八相生法」,兩種律制雖然在某種特定環境下可以並用,但是兩者還是存在著重大的區別.
㈦ 畢達哥拉斯與勾股定理
勾股定理是一個基來本的初等幾自何定理，直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。如果直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼a²+b²=c²，若a、b、c都是正整數，(a,b,c)叫做勾股數組。
勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。「勾三，股四，弦五」是勾股定理的一個最著名的例子。
遠在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應用勾股定理，還知道許多勾股數組。古埃及人也應用過勾股定理。在中國，西周的商高提出了「勾三股四弦五」的勾股定理的特例。在西方，最早提出並證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和。
㈧ 求畢達哥拉斯，赫拉克利特，德謨克利特的資料
畢達哥拉斯是古希臘著名的哲學家、數學家、天文學家。約公元前580年生於薩摩斯，約公元前500年卒於他林敦。早年曾游歷埃及、巴比倫等地。為了擺脫暴政，他移居義大利半島南部的克羅托內，並組織了一個政治、宗教、數學合一的秘密團體。後在政治斗爭中失敗，被殺害。
畢達哥拉斯學派很重視數學，企圖用數來解釋一切。他們研究數學的目的並不在於實用，而是為了探索自然的奧秘。畢達哥拉斯本人以發現勾股定理著稱，其實這個定理早為巴比倫人和中國人所知，不過最早的證明應歸功畢達哥拉斯。
畢達哥拉斯還是音樂理論的鼻祖，他闡明了單弦的樂音與弦長的關系。在天文方面，首創地圓說。畢達哥拉斯的思想和學說，對希臘文化有巨大的影響。
畢 達 哥 拉 斯
達哥拉斯(Pythagoras,572 BC?—497 BC?)古希臘數學家、哲學家。無論是解說外在物質世界，還是描寫內在精神世界，都不能沒有數學!最早悟出萬事萬物背後都有數的法則在起作用的，是生活在2500年前的畢達哥拉斯。
畢達哥拉斯出生在愛琴海中的薩摩斯島(今希臘東部小島)，自幼聰明好學，曾在名師門下學習幾何學、自然科學和哲學。以後因為嚮往東方的智慧，經過萬水千山來到巴比倫、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中國文明的豐富營養，大約在公元前530年又返回薩摩斯島。後來又遷居義大利南部的克羅通，創建了自己的學派，一邊從事教育，一邊從事數學研究。
畢達哥拉斯在Croton建立了「學術幫派」兄弟會（也允許女性參加；足見畢氏沒有性別歧視），後來因志同道合而娶了Milo美麗的女兒Theano（是典型的希臘美女——白晰的皮膚，挺直的鼻樑及高挑的身材），之後，畢氏繼續領導這個神秘的組織致力於數理及哲學的探討，當時外界對兄弟會的研究完全不了解。有一次畢達哥拉斯和Leon王子應邀出席參觀一場盛大的競技比賽，Leon和畢達哥拉斯無所不談，Leon就問畢達哥拉斯：「能否談談你是怎樣的一個人？」，畢達哥拉斯簡單的回答Leon說：「我是哲學家（philosopher）」，王子之前從未聽過「philosophy」這個字眼，就向大師請益，畢達哥拉斯說：「就好象今天來參加盛會的人，有一些是沽名釣譽者，有些是為獎賞而拚死拼活的，而我呢？我來這里就只是為了『觀察』和『理解』這里的一切，而『觀察』和『理解』就是哲學。」
畢達哥拉斯有次應邀參加一位富有政要的餐會，這位主人豪華宮殿般的餐廳鋪著是正方形美麗的大理石地磚，由於大餐遲遲不上桌，這些飢腸轆轆的貴賓頗有怨言；但這位善於觀察和理解的數學家卻凝視腳下這些排列規則、美麗的方形磁磚，但畢達哥拉斯不只是欣賞磁磚的美麗，而是想到它們和「數」之間的關系，於是拿了畫筆並且蹲在地板上，選了一塊磁磚以它的對角線AB為邊畫一個正方形，他發現這個正方形面積恰好等於兩塊磁磚的面積和。他很好奇……於是再以兩塊磁磚拼成的矩形之對角線作另一個正方形，他發現這個正方形之面積等於5塊磁磚的面積，也就是以兩股為邊作正方形面積之和。至此畢達哥拉斯作了大膽的假設：任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等於另兩邊平方之和……那一頓飯，這位古希臘數學大師，視線都一直沒有離開地面。
畢達哥拉斯（BC560～480）逃離Samos島之後，前往義大利的Croton（當時仍屬於希臘版圖）並結識了當地最有權勢的人——Milo。畢達哥拉斯的哲理思想在當時是能影響全希臘的知識界，但Milo的聲望比畢氏更高，他除了有著像力神Hercules般的體形之外，同時也是奧林匹克競技十項全能，也同時是哲學及數學的愛好者；乾材遇烈火也是慧眼識英雄，於是Milo提供財力及房舍給畢達哥拉斯辦「學校」，他倆就成了最好的夥伴。畢達哥拉斯成立了「學校」——畢達哥拉斯兄弟會，這個組織立刻吸引了600位會員，這是歷史上很特殊的知識幫派，會員必須貢獻他所有的財產給組織；畢達哥拉斯為了顯示兄弟會的「組織性」，他規定入會的兄弟要發毒誓，不準泄露組織的任何數學發現……
在那個一切歸美於神的年代裡，Pythagoras所創立的「兄弟會」，其實就是一個宗教性團體，只是說這些教徒所信奉的偶像是「數」，畢達哥拉斯相信神用「數」創造了宇宙萬物，而能透過對數的研究就能更了解宇宙的奧密也就更能接近神，這是畢達哥拉斯的信仰也是他所創兄弟會的教義。此外，信徒被迫發毒誓不得泄露組織內的活動以及他們所研究的成果，畢達哥拉斯之所以如此定「組織章程」，其實並不難理解，就類似現在的休閑中心採用會員制，一方面是便於管理、提升素質，另一方面也是維護會員的權益；兄弟會會員入會必須要將他所有財產貢獻給組織，會員的義務是這么大，所以當然，相對的，成員的權益（數學新知）也不能讓外人分享。由於組織的神秘色彩，在當時是吸引了無數人才進入兄弟會。
赫拉克利特
赫拉克利特（Heraclitus，約公元前540年——前480年），古希臘哲學家、愛非斯派的創始人。生於愛非斯一個貴族家庭。他的文章晦澀難懂，富有隱喻。
赫拉克利特的理論以畢達哥拉斯的學說為基礎。他借用畢達哥拉斯「和諧」的概念，認為在對立與沖突的背後有某種程度的和諧，而協調本身並不是引人注目的。他認為沖突使世界充滿生氣。赫拉克利特還認為，火是萬物的本原，「一切事物都換成火，火也換成一切事物」。
赫拉克利特也認為所有東西都是流動的，每一件事物都在不斷變換，他的名言是：「人不能兩次踏入同一條河流，因為無論是這條河還是這個人都已經不同。」蘇格拉底因此稱赫拉克利特為「流動者」。
赫拉克利特的對立理論則指出，世間的事物都是相對的，在沒有理解惡的時候也就不可能理解善。
赫拉克利特認為神是涵蓋整個世界的事物。但他常常用邏各斯（logos，即理性）一詞來代替神。他相信世界上有「普遍的理性」來指導大自然發生的每一件事。
他本來應該繼承王位，但是他將王位讓給了他的兄弟，自己跑到女神阿爾迪美斯廟附近隱居起來。據說，波斯國王大流士曾經寫信邀請他去波斯宮廷教導希臘文化。赫拉克利特傲慢地拒絕了。他說：「因為我有一種對顯赫的恐懼，我不能到波斯去，我滿足於我的心靈既有的渺小的東西。」還有一則軼事說，他整天和小孩玩骰子。他對圍觀的人說：「你們這般無賴，有什麼值得大驚小怪的！難道這不比你們參加的政治活動更好嗎？」有人問他為什麼保持沉默，他回答說：「為什麼？好讓你們去嘮叨！」這些軼事雖然不完全可信，但是它們表明希臘哲學家已經開始脫離公共事務。其實，赫拉克利特也沒有完全脫離政治。當愛菲斯城邦放逐了他的朋友赫爾謨多羅時，他氣呼呼地說：「愛菲斯的每個成年人最好都將自己弔死，把城邦留給尚葆其天真的少年。」他號召人民保衛法律，鏟除暴虐。據說，他在隱居時，以草根和植物度日，得了水腫病。他到城裡找醫生，用啞謎的方式詢問醫生能否使陰雨天變得乾燥起來。醫生不懂他的意思。他跑到牛圈裡，想用牛糞的熱力把身體里的水吸出，結果無濟於事，去世時大約60歲。
赫拉克利特寫過一部總稱為《論自然》的書，內容有「論萬物」、「論政治」和「論神靈」三部分。可惜這部書沒有保存下來，我們現在看到的只是130多個殘篇，它們是從不同時期的著作中摘錄出來的。殘篇的語言多形象比喻，內容是深奧的辯證法，讀起來十分困難，赫拉克利特因此得到「晦澀哲人」的稱號。
永恆的活火
「這個有秩序的宇宙(科斯摩斯)對萬物都是相同的，它既不是神也不是人所創造的，它過去、現在和將來永遠是一團永恆的活火，按一定尺度燃燒，一定尺度熄滅。」
赫拉克利特主張火與萬物可以相互轉化，但並未說明轉化是如何進行的。這體現了他哲學上晦澀難懂和神秘主義的特點。他認為火的燃燒中有一定的尺度和邏各斯的思想。
原因：火是諸元素中最精緻，並且是最接近於沒有形體的東西；更重要的是，火既是運動的，又是能使別的事物運動。
赫拉克利特認為萬物的本原是火，說宇宙是永恆的活火，他的基本出發點是：這個有秩序的宇宙既不是神也不是人所創造的。宇宙本身是它自己的創造者，宇宙的秩序都是由它自身的邏各斯所規定的。這是赫拉克利特學說的本質，它是米利都學派的樸素唯物論思想的繼承和深入的發展。
萬物皆流
「人不能兩次走進同一條河流」是古希臘唯物主義哲學家赫拉克利特的一句名言，列寧稱他為「辯證法的奠基人之一」。這句名言的意思是說，河裡的水是不斷流動的，你這次踏進河，水流走了，你下次踏進河時，又流來的是新水。河．水川流不息，所以你不能踏進同一條河流。顯然，這句名言是有其特定意義的，並不是指這條河與那條河之間的區別。赫拉克利特主張「萬物皆動」，「萬物皆流」，這使他成為當時具有樸素辯證法思想的「流動派」的卓越代表。
赫拉克利特的這一名言，說明了客觀事物是永恆地運動。變化和發展著的這樣一個真理。恩格斯曾評價說：「這個原始的、樸素的但實質上正確的世界觀是古希臘哲學的世界觀，而且是由赫拉克利特第一次明白地表述出來的：一切都存在，同對又不存在，因為一切都在流動，都在不斷地變化，不斷地產生和消失。」赫拉克利特還認為，事物都是相互轉化的。冷變熱，熱變冷，濕變干，干變濕。他還明確斷言：「我們走下而又沒有走下同一條河流。我們存在而又不存在。」
邏各斯
赫拉克利特認為萬物是永遠變動的，而這種變動是按照一定的尺度和規律進行的。這就是他的邏各斯學說，是他的辯證法思想的第二個方面。
萬物的運動，無論是火的燃燒和熄滅以及萬物的生成和互相轉化都是按照一定的邏各斯進行的；這種邏各斯主要就是一種尺度、大小、分寸，即數量上的比例關系。這種尺度當然也是一種規律，但它和通常說的一般規律還有點不同，即尺度還只是一種主要表現為數量上的一定的比例和關系，而一般規律卻不僅表現在數量方面也可以表現在其他方面。從抽象的程度說，一般規律高於尺度。人的認識發展是從具體到一般的，先從具體的事物中發現比較一般的東西，然後再深入到更為一般的東西。所以，發現尺度是發現一般規律的前一步，從認識尺度再前進一步就可以認識一般規律。赫拉克利特提出的邏各斯正是處在人類認識發展的這個階段——認識尺度、比例上。
由此也可以看到赫拉克利特和畢達哥拉斯學派之間的關系。畢達哥拉斯學派認為萬物的本原是數，它們的存在和變化都根據一定的數的比率關系，整個宇宙就是按一定的數的比例組成的有秩序的科斯摩斯。赫拉克利特用「邏各斯」這樣一個簡單的概念將畢達哥拉斯學派的思想完美地表達出來。在這點上，赫拉克利特和畢達哥拉斯學派的思想是根本一致的。我們可以說：在公元前六——五世紀期間，以畢達哥拉斯學派和赫拉克利特為代表的希臘哲學，已經比米利都學派前進了一步，即他們不滿足於尋求萬物的本原，而是開始要尋求隱藏在現象背後的帶有規律性的東西。他們開始發現了數量上的比例關系，也就是邏各斯。這是當時哲學上的一個重大發展，也是他們對哲學發展作出的重要貢獻之一。
對立統一
原始的統一是不斷地活動和變化的，永不停止。它的創造是毀滅，毀滅是創造。一種東西變成另外一種東西，比如火變成水，火就消失在新的存在形式中。每一種東西都這樣變成它的對立面，因此每一種東西都是對立性質的統一。沒有什麼東西的性質不變，沒有什麼東西具有永恆的性質。從這一意義來看，每一種東西既存在，又不存在。有這種對立，才能有世界。比如，音樂中的和諧就產生於高低音調的結合。
世界為斗爭所支配。赫拉克利特說，「戰爭是萬有之父和萬有之王」。如果沒有斗爭和對立，世界就會消亡——停滯或者毀滅。對立和矛盾統一起來才能產生和諧。「生與死，夢與醒、少與老，是同樣的東西。後者變化，就成為前者，前者便回來，則稱為後者。」
總結
赫拉克利特被稱為辯證法的奠基人之一，因為他是在古代希臘哲學家中，第一個用樸素的語言講出了辯證法的要點的人。赫拉克利特的辯證思想主要表現在以下三個方面：
第一，他認為萬物都是在不斷運動變化中的，並提出了「人不能兩次踏進同一條河流」這一著名命題來說明它。
第二，他看到事物的運動變化是按照一定的規律進行的，第一個提出了「邏各斯」的思想。
第三，他看到事物的運動變化是和事物本身存在的矛盾對立分不開的；雖然他自己並沒有明確提出「對立統一」這樣的命題，但他注意到各種對立面統一的現象，並且提出了「斗爭是產生萬物的根源」的思想。這些觀點使他成為辯證法的創始人和奠基人。
赫拉克利特是伊奧尼亞的哲學家，他繼承米利都學派的傳統，認為物質性的元素是萬物的本原。他認為本原是永恆的活火，強調它本身就是不停歇的運動，火轉化為萬物，萬物又轉化為火。在這方面，他將米利都學派關於本原的思想向前發展了。
赫拉克利特在哲學思想上的發展，主要表現在辯證法方面。他的辯證法思想雖然還帶著樸素的直觀性，但在當時卻是非常深刻的。首先，他提出事物不斷運動變化，一切皆流的思想。將運動作為一個哲學問題來探討，是從他開始的。比他稍後的愛利亞學派和他針鋒相對地提出只有靜止不動的東西才是我們可以認知的真實的東西。這樣，運動和靜止的關系就成為哲學中的一個重要問題而展開了。
赫拉克利特還認為事物的運動變化都是按照一定的尺度、分寸進行的，從而提出了邏各斯的思想。他相映早於他的畢達哥拉斯及其早期學派一起，從探究萬物的本原深入到要探求現象背後的普遍規律。這為人類認識的發展，為希臘以至整個西方的哲學和科學的發展提供了廣闊的領域和深遠的前途。
赫拉克利特的辯證法的核心還是他有關對立統一的思想。有關對立的問題，雖然是希臘哲學一開始在米利都學派的哲學中就已經涉及到了，畢達哥拉斯學派也已經列出對立的表來；但是，從哲學上探討對立面之間的相互關系，卻是從赫拉克利特開始的。他從自然社會和日常生活中，樸素地看到對立雙方是相互依存、相互統一、相互轉化、相互作用的，提出了斗爭是萬物之父、萬物之王的思想。他無愧為辯證法的奠基人。
雖然後來的哲學家在理論上對赫拉克利特的對立統一學說沒有真正的認識，但是在實踐中，討論有關對立的種種問題，卻一直是希臘哲學的一個重要方面的內容。許多重要的哲學家如德謨克利特、柏拉圖、亞里士多德等人，都以自己的方式提出和討論了對立統一的關系，在某些方面達到和赫拉克利持相似的結論。
赫拉克利特又可以說是第一個提出認識論問題的哲學家。他重視感覺經驗，最早提出感覺是否可靠的問題，又提出入人有共同的智慧。從這方面也可以說赫拉克利特是第一個人，他將哲學從完全討論外部世界開始轉向也研究認識以及認識的主體——人。
在宗教上，赫拉克利特和比他稍早的塞諾芬尼一起反對傳統宗教，但赫拉克利特主要是反對傳統的宗教祭神儀式，反對偶像崇拜。赫拉克利特也承認神，但他所說的神，就是指永恆的活火，指邏各斯，指最高的智慧。因此他又是最早把宗教哲學化，將宗教的神改造成為理性的神，從而使哲學擺脫宗教走出了一大步。但因為他不可能也沒有劃清哲學和宗教的界限，所以到後期希臘羅馬哲學時期的斯多亞學派和基督教教義哲學，又將他的邏各斯和火解釋成為宗教的神，使他的哲學為宗教教義服務，既使宗教哲學化，又將哲學拉回到宗教。
德謨克利特
德謨克利特（約公元前160年～約公元前370年），古希臘唯物主義者，在原子論的發展方面佔有重要地位的哲學家。據考證，他的著作幾乎涉及人類知識的一切部門，但傳於今世的僅有幾百個片段。
德漠克利特繼承了古希臘原子論創始人劉基伯的觀點原子是組成物體的不可分割的最小微粒。他認為萬物皆由「不可分割」的原子所組成，原子在質上都是相同的，只是外形彼此不相同，這就可以解釋各種物質的性質。水的原子平滑呈圓形，因此水才能流動而無固定形狀。火的原子是多刺的，這就是燒灼使人痛苦的原因。自然界中物質發生變化是由於結合在一起的原子分散開來，又重新以新的形式結合的結果。
根據德謨克利特的見解，原子的運動和變化受自然界一定的而又不可打破的規律的影響，根本不是上帝或鬼神靈機一動的結果。所以，德謨克利特是最早期的徹底機械唯物論者，他認為宇宙的活動就象一台機器的活動一樣，是無知覺和有限制的。他甚至還認為天地宇宙的產生是無數原子引起無目的旋轉運動的結果。這種運動使原子結成團塊而形成宇宙。德謨克利特的觀點與現代關於物質結構和宇宙起源的理論甚為相似，但有本質的不同，德謨克利特的結論產生於自我直覺和猜測，而現代理論是建立在定量實驗和井然有序的數學推理基礎之上的。
㈨ 畢達哥拉斯與畢達哥拉斯學派有什麼關系
畢達哥拉斯（公元前５８０至前570之間～約前５００年）畢達哥拉斯，古希臘數學家、天文學家、哲學家。
畢達哥拉斯是泰勒斯的學生。曾游學埃及、巴比倫等國，後定居於克羅托內城，在那裡創立畢達哥拉斯學派，對數學和天文學的發展產生過巨大影響。在數學方面，畢達哥拉斯約於公元前５３１年在西方首次提出直角三角形各邊的平方關系，後人稱為「畢達哥拉斯定理」。他還證明了三角形三個角之和等於兩個直角，指出內接半圓的所有角都為直角，提出區別奇數、偶數和質數的方法，和他的學生們發現無理數，並用數學研究樂律，指出弦長的比數越簡單，其音越和諧。但他們把數的概念絕對化、神秘化，斷言「凡物皆數」，把數和物質的東西分割開來，把數的關系當做事物原型，構成宇宙的「秩序」，走向唯心主義。
在天文學方面，畢達哥拉斯認為地球是一個球體，位於宇宙中心。把表面觀察到的太陽繞地球的螺旋運動分析成兩種勻速的圓周運動，即周日運動和周年運動，並以此來解釋月球和其他行星的運動。
㈩ 畢達哥拉斯定理的簡單說明
畢達哥拉斯定理又叫做勾股定理~
在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等於兩條直角邊邊長平方之和。如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那麼a^2+b^2=c^2
畢達哥拉斯簡介:
http://ke..com/view/16578.htm