上帝創造的最完美的公式

① 歐拉公式e^ix=cosx+isinx是什麼意思

歐拉公式e^(ix)=cosx+isinx只是一個定義，沒有推導，你可以認為f（ix）=cosx+isinx；而這個f（ix）很巧妙，和我們已知的e^x性質很像，（比如f（ix）*e^x=f（ix+x））因而寫作e^(ix），但實際上並不是傳統的e^x，只是一種寫法。

推導過程：

因為cosx+isinx=e^ix

cosx-isinx=e^-ix

兩式相加，得：2cosx=e^ix+e^-ix，把2除過去就可以得到cosx=(e^ix+e^-ix)/2。

兩式相減，得：2isinx=e^ix-e^-ix，把2i除過去就可以得到sinx=(e^ix-e^-ix)/2i。

含義

恆等式也叫做歐拉公式，它是數學里最令人著迷的一個公式，它將數學里最重要的幾個數字聯繫到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率π；兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1；以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是「上帝創造的公式」。

② 歐拉公式是什麼

歐拉公式是指以歐拉命名的諸多公式。其中最著名的有，復變函數中的歐拉幅角公式，即將復數、指數函數與三角函數聯系起來。拓撲學中的歐拉多面體公式。初等數論中的歐拉函數公式。歐拉公式描述了簡單多面體頂點數、面數、棱數特有的規律，它只適用於簡單多面體。常用的歐拉公式有復數函數e^ix=cosx+isinx，三角公式d＾2=R＾2-2Rr
，
物理學公式F=fe^ka等。
復變函數
e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里佔有非常重要的地位。[2]
歐拉公式
e^ix=cosx+isinx的證明：
因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……
cos
x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……
sin
x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……
在e^x的展開式中把x換成±ix.
(±i)^2=-1,
(±i)^3=∓i,
(±i)^4=1
……
e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……
=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)
所以e^±ix=cosx±isinx
將公式里的x換成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然後採用兩式相加減的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：
恆等式
e^iπ+1=0.這個恆等式也叫做歐拉公式，它是數學里最令人著迷的一個公式，它將數學里最重要的幾個數字聯繫到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率π，兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是「上帝創造的公式」
那麼這個公式的證明就很簡單了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。
那麼這里的π就是x，那麼
e^iπ=cosπ+isinπ
=-1
那麼e^iπ+1=0
這個公式實際上是前面公式的一個應用。
分式
分式里的歐拉公式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
當r=0,1時式子的值為0
當r=2時值為1
當r=3時值為a+b+c
三角公式
三角形中的歐拉公式：
設R為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則：
d＾2=R＾2-2Rr
拓撲學說
拓撲學里的歐拉公式：
拓撲學V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點個數，F是多面體P的面數，E是多面體P的棱的條數,X(P)是多面體P的歐拉示性數。
如果P可以同胚於一個球面（可以通俗地理解為能吹脹而綳在一個球面上），那麼X(P)=2，如果P同胚於一個接有h個環柄的球面，那麼X(P)=2-2h。[3]
X(P)叫做P的歐拉示性數，是拓撲不變數，就是無論再怎麼經過拓撲變形也不會改變的量，是拓撲學研究的范圍。
初等數論
初等數論里的歐拉公式：
歐拉φ函數：φ(n)是所有小於n的正整數里，和n互素的整數的個數。n是一個正整數。
歐拉證明了下面這個式子：
如果n的標准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數，而且兩兩不等。則有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以證明它。
物理學
歐拉公式應用
眾所周知，生活中處處存在著摩擦力，歐拉測算出了摩擦力與繩索纏繞在樁上圈數之間的關系。現將歐拉這個頗有價值的公式列在這里：
F=fe^ka
其中，f表示我們施加的力，F表示與其對抗的力，e為自然對數的底，k表示繩與樁之間的摩擦系數，a表示纏繞轉角，即繩索纏繞形成的弧長與弧半徑之比。
此外還有很多著名定理都以歐拉的名字命名。

③ 寫出歐拉公式及其變形公式

歐拉公式及其變形公式：a＾r/（a-b）（a-c）+b＾r/（b-c）（b-a）+c＾r/（c-a）（c-b）。

當r=0，1時式子的值為0當r=2時值為1。

當r=3時值為a+b+c。

e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里佔有非常重要的地位。

含義

這個恆等式也叫做歐拉公式，它是數學里最令人著迷的一個公式，它將數學里最重要的幾個數字聯繫到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率π；兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1；以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是「上帝創造的公式」。

④ 歐拉公式

a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)
當r=0,1時式子的值為0 當r=2時值為1
當r=3時值為a+b+c
復變函數論與歐拉公式

e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是 虛數單位 。它將 三角函數 的定義域擴大到 復數 ，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里佔有非常重要的地位。
e^ix=cosx+isinx的證明：
因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……
cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……
sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……
在e^x的展開式中把x換成±ix.
(±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 ……
e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……
=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)
所以e^±ix=cosx±isinx
將公式里的x換成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然後採用兩式相加減的方法得到： sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：
e^iπ+1=0.這個恆等式也叫做歐拉公式，它是數學里最令人著迷的一個公式，它將數學里最重要的幾個數字聯繫到了一起：兩個超越數：自然對數的底e， 圓周率 π，兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及被稱為人類偉大發現之一的0。 數學家 們評價它是「上帝創造的公式」
那麼這個公式的證明就很簡單了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。 那麼這里的π就是x，那麼
e^iπ=cosπ+isinπ
=-1
那麼e^iπ+1=0
這個公式實際上是前面公式的一個應用
三角形與歐拉公式

設R為 三角形 外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為 外心 到內心的距離，則： d^2=R^2-2Rr
拓撲學里的歐拉公式

事實上，歐拉公式有平面與空間兩個部分：
空間中的歐拉公式
V+F-E=X(P)，V是 多面體 P的頂點個數，F是多面體P的面數，E是多面體P的棱的條數,X(P)是多面體P的 歐拉示性數 。
如果P可以同胚於一個球面（可以通俗地理解為能吹脹而綳在一個球面上），那麼X(P)=2，如果P同胚於一個接有h個環柄的球面，那麼X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的歐拉示性數，是拓撲不變數，就是無論再怎麼經過拓撲變形也不會改變的量，是拓撲學研究的范圍。
在多面體中的運用:
簡單多面體 的頂點數V、面數F及棱數E間有關系
V+F-E=2
這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、棱數特有的規律。
平面上的歐拉公式
V+F-E=X(P), 其中 V 是圖形P的定點個數，F是圖形P內的區域數，E是圖形的邊數。
在非簡單多面體中，歐位公式的形式為：
V-E+F-H=2(C-G)
其中H指的是平面上不完整的個數，而C指的是獨立的多面體的個數，G指的是多面體被貫穿的個數。
初等數論與歐拉公式
歐拉φ函數：φ(n)是所有小於n的正整數里，和n互素的整數的個數。n是一個正整數。 歐拉證明了下面這個式子：
如果n的標准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數，而且兩兩不等。則有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以證明它。

物理學與歐拉公式

眾所周知，生活中處處存在著摩擦力，歐拉測算出了摩擦力與繩索纏繞在樁上圈數之間的關系。現將歐拉這個頗有價值的公式列在這里：
F=fe^ka
其中，f表示我們施加的力，F表示與其對抗的力，e為自然對數的底，k表示繩與樁之間的摩擦系數，a表示纏繞轉角，即繩索纏繞形成的弧長與弧半徑之比。
此外還有很多著名定理都以歐拉的名字命名。

⑤ 歐拉公式為什麼叫上帝公式是什麼

歐拉公式歐拉恆等式，它是數學里最令人著迷的公式之一，它將數學里最重要的幾個常數聯繫到了一起：兩個超越數自然對數的底e，圓周率π，兩個單位，虛數單位i和自然數的單位1，以及數學里常見的0。因此，數學家們評價它是上帝創造的公式，我們只能看它而不能理解它。

歐拉恆等式是指下列關系式

eiπ＋1=0。

其中e是自然指數的底，i是虛數單位，π是圓周率。

這條恆等式第一次出現於1748年歐拉在洛桑出版的書Introction。這是復分析的歐拉公式的特例：對任何實數x，作代入即給出恆等式。

理查德·費曼稱這恆等式為數學最奇妙的公式，因為它把5個最基本的數學常數簡潔地聯系起來。

歐拉這個公式已經融合於廣義相對論和量子力學結合的m理論。詳見網路費馬大定理，霍奇猜想。成為虛時間的基本架構。也是光量子糾纏的數學表示。

⑥ 歐拉定理

歐拉定理
對於互質的整數a和n，有a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
證明：
首先證明下面這個命題：
對於集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是φ(n)個n的素數，且兩兩互素，即n的一個化簡剩餘系，或稱簡系，或稱縮系)，考慮集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)}
則S = Zn
1) 由於a,n互質，xi也與n互質，則a*xi也一定於p互質，因此
任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一個元素
2) 對於Zn中兩個元素xi和xj，如果xi ≠ xj
則a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，這個由a、p互質和消去律可以得出。
所以，很明顯，S=Zn
既然這樣，那麼
（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)
= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)
= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)
考慮上面等式左邊和右邊
左邊等於(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)
右邊等於x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)
而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互質
根據消去律，可以從等式兩邊約去，就得到：
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
推論：對於互質的數a、n，滿足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)
費馬定理:
a是不能被質數p整除的正整數，則有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
證明這個定理非常簡單，由於φ(p) = p-1，代入歐拉定理即可證明。
同樣有推論：對於不能被質數p整除的正整數a，有a^p ≡ a (mod p)
[編輯本段]歐拉公式
簡單多面體的頂點數V、面數F及棱數E間有關系
V+F-E=2
這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、棱數特有的規律。
[編輯本段]認識歐拉
歐拉，瑞士數學家，13歲進巴塞爾大學讀書，得到著名數學家貝努利的精心指導．歐拉是科學史上最多產的一位傑出的數學家，他從19歲開始發表論文，直到76歲，他那不倦的一生，共寫下了886本書籍和論文，其中在世時發表了700多篇論文。彼得堡科學院為了整理他的著作，整整用了47年。
歐拉著作驚人的高產並不是偶然的。他那頑強的毅力和孜孜不倦的治學精神，可以使他在任何不良的環境中工作：他常常抱著孩子在膝蓋上完成論文。即使在他雙目失明後的17年間，也沒有停止對數學的研究，口述了好幾本書和400餘篇的論文。當他寫出了計算天王星軌道的計算要領後離開了人世。歐拉永遠是我們可敬的老師。
歐拉研究論著幾乎涉及到所有數學分支，對物理力學、天文學、彈道學、航海學、建築學、音樂都有研究！有許多公式、定理、解法、函數、方程、常數等是以歐拉名字命名的。歐拉寫的數學教材在當時一直被當作標准教程。19世紀偉大的數學家高斯（Gauss，1777-1855）曾說過「研究歐拉的著作永遠是了解數學的最好方法」。歐拉還是數學符號發明者，他創設的許多數學符號，例如π，i，e，sin，cos，tg，∑，f (x)等等，至今沿用。
歐拉不僅解決了彗星軌跡的計算問題，還解決了使牛頓頭痛的月離問題。對著名的「哥尼斯堡七橋問題」的完美解答開創了「圖論」的研究。歐拉發現，不論什麼形狀的凸多面體，其頂點數V、棱數E、面數F之間總有關系V+F-E=2，此式稱為歐拉公式。V+F-E即歐拉示性數，已成為「拓撲學」的基礎概念。那麼什麼是「拓撲學」？ 歐拉是如何發現這個關系的？他是用什麼方法研究的？今天讓我們沿著歐拉的足跡，懷著崇敬的心情和欣賞的態度探索這個公式......
[編輯本段]歐拉定理的意義
（1）數學規律：公式描述了簡單多面體中頂點數、面數、棱數之間特有的規律
（2）思想方法創新：定理發現證明過程中，觀念上，假設它的表面是橡皮薄膜製成的，可隨意拉伸；方法上將底面剪掉，化為平面圖形（立體圖→平面拉開圖）。
（3）引入拓撲學：從立體圖到拉開圖，各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關的量發生了變化，而頂點數，面數，棱數等不變。
定理引導我們進入一個新幾何學領域：拓撲學。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料（如橡皮波）做成的圖形，拓撲學就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質。
（4）提出多面體分類方法：
在歐拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做歐拉示性數。歐拉定理告訴我們，簡單多面體f (p)=2。
除簡單多面體外，還有非簡單多面體。例如，將長方體挖去一個洞，連結底面相應頂點得到的多面體。它的表面不能經過連續變形變為一個球面，而能變為一個環面。其歐拉示性數f (p)=16+16-32=0，即帶一個洞的多面體的歐拉示性數為0。
（5）利用歐拉定理可解決一些實際問題
如：為什麼正多面體只有5種？ 足球與C60的關系？否有棱數為7的正多面體？等
[編輯本段]歐拉定理的證明
方法1：（利用幾何畫板）
逐步減少多面體的棱數，分析V+F-E
先以簡單的四面體ABCD為例分析證法。
去掉一個面，使它變為平面圖形，四面體頂點數E、棱數V與剩下的面數F1變形後都沒有變。因此，要研究V、E和F關系，只需去掉一個面變為平面圖形，證V+F1-E=1
（1）去掉一條棱，就減少一個面，V+F1-E不變。依次去掉所有的面，變為「樹枝形」。
（2）從剩下的樹枝形中，每去掉一條棱，就減少一個頂點，V+F1-E不變，直至只剩下一條棱。
以上過程V+F1-E不變，V+F1-E=1，所以加上去掉的一個面，V+F-E =2。
對任意的簡單多面體，運用這樣的方法，都是只剩下一條線段。因此公式對任意簡單多面體都是正確的。
方法2：計算多面體各面內角和
設多面體頂點數V，面數F，棱數E。剪掉一個面，使它變為平面圖形（拉開圖）,求所有面內角總和∑α
一方面，在原圖中利用各面求內角總和。
設有F個面，各面的邊數為n1,n2，…，nF，各面內角總和為：
∑α = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·180度
=(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 （1）
另一方面，在拉開圖中利用頂點求內角總和。
設剪去的一個面為n邊形，其內角和為(n-2)·180角，則所有V個頂點中，有n個頂點在邊上，V-n個頂點在中間。中間V-n個頂點處的內角和為(V-n)·360度，邊上的n個頂點處的內角和(n-2)·180度。
所以，多面體各面的內角總和：
∑α = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度
=（V-2）·360度（2）
由(1)(2)得： (E-F) ·360度=（V-2）·360度
所以 V+F-E=2.
方法3 用拓樸學方法證明歐拉公式
圖嘗試一下用拓樸學方法證明關於多面體的面、棱、頂點數的歐拉公式。
歐拉公式：對於任意多面體（即各面都是平面多邊形並且沒有洞的立體），假設F，E和V分別表示面，棱（或邊），角（或頂）的個數，那末
F-E+V=2。
證明 如圖（圖是立方體，但證明是一般的，是「拓樸」的）：
（1）把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。
（2）去掉多面體的一個面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設F′，E′和V′分別表示這個平面圖形的（簡單）多邊形、邊和頂點的個數，我們只須證明F′-E′+V′=1。
（3）對於這個平面圖形，進行三角形分割，也就是說，對於還不是三角形的多邊形陸續引進對角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進一條對角線，F′和E′各增加1，而V′卻不變，所以F′-E′+V′不變。因此當完全分割成三角形的時候，F′-E′+V′的值仍然沒有變。有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。
（4）如果某一個三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△ABC，去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊，即AC，這樣也就去掉了△ABC。這樣F′和E′各減去1而V′不變，所以F′-E′+V′也沒有變。
（5）如果某一個三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△DEF，去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊，即DF和EF，這樣就去掉△DEF。這樣F′減去1，E′減去2，V′減去1，因此F′-E′+V′仍沒有變。
（6）這樣繼續進行，直到只剩下一個三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。
（7）因為原來圖形是連在一起的，中間引進的各種變化也不破壞這事實，因此最後圖形還是連在一起的，所以最後不會是分散在向外的幾個三角形，像圖中⑦那樣。
（8）如果最後是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個三角形，也就是去掉1個三角形，3個邊和2個頂點。因此F′-E′+V′仍然沒有變。
即F′-E′+V′=1
成立，於是歐拉公式：
F-E+V=2
得證。
[編輯本段]歐拉定理的運用方法
（1）分式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
當r=0,1時式子的值為0
當r=2時值為1
當r=3時值為a+b+c
（2）復數
由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：
sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i
cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2
（3）三角形
設R為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則：
d＾2=R＾2-2Rr
（4）多面體
設v為頂點數，e為棱數，f是面數，則
v-e+f=2-2p
p為歐拉示性數，例如
p=0 的多面體叫第零類多面體
p=1 的多面體叫第一類多面體
(5) 多邊形
設一個二維幾何圖形的頂點數為V，劃分區域數為Ar，一筆畫筆數為B,則有：
V+Ar-B=1
(如：矩形加上兩條對角線所組成的圖形，V=5,Ar=4,B=8)
(6). 歐拉定理
在同一個三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九點圓圓心Nine-point-center、垂心Orthocenter共線。
其實歐拉公式是有很多的，上面僅是幾個常用的。
[編輯本段]使用歐拉定理計算足球五邊形和六邊形數
問：足球表面由五邊型和六邊型的皮革拼成，計算一共有多少個這樣的五邊型和六邊型？
答：足球是多面體，滿足歐拉公式F－E＋V＝2，其中F,E,V分別表示面,棱,頂點的個數
設足球表面正五邊形(黑皮子)和正六邊形(白皮子)的面各有x個和y個，那麼
面數F＝x＋y
棱數E＝(5x+6y)/2（每條棱由一塊黑皮子和一塊白皮子共用）
頂點數V＝(5x+6y)/3（每個頂點由三塊皮子共用）
由歐拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，
解得x＝12。所以，共有12塊黑皮子
所以，黑皮子一共有12×5＝60條棱，這60條棱都是與白皮子縫合在一起的
對於白皮子來說：每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起。
所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的
那麼白皮子就應該一共有60×2＝120條邊，120÷6＝20
所以共有20塊白皮子
（或者，每一個六邊形的六條邊都與其它的三個六邊形的三條邊和三個五邊形的三條邊連接；每一個五邊形的五條邊都與其它的五個六邊形的五條邊連接
所以，五邊形的個數x=3y/5。
之前求得x=12，所以y=20）
經濟學中的「歐拉定理」
在西方經濟學里，產量和生產要素L、K的關系表述為Q＝Q(L，K)，如果具體的函數形式是一次齊次的，那麼就有：Q＝L(ðQ/ðL)＋K(ðQ/ðK)，換句話說，產品分配凈盡取決於Q能否表示為一個一次齊次函數形式。
因為ðQ/ðL＝MPL＝w/P被視為勞動對產量的貢獻，ðQ/ðK＝MPK＝r/P被視為資本對產量的貢獻，因此，此式被解釋為「產品分配凈盡定理」，也就是所有產品都被所有的要素恰好分配完而沒有剩餘。因為形式上符合數學歐拉定理，所以稱為歐拉定理。
【同餘理論中的"歐拉定理"】
設a,m∈N,(a,m)=1,則a^(f(m))≡1(mod m)
(注:f(m)指模m的簡系個數)
[編輯本段]歐拉公式
在數學歷史上有很多公式都是歐拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)發現的，它們都叫做歐拉公式，它們分散在各個數學分支之中。
1、復變函數論里的歐拉公式：
e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。
它將三角函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里佔有非常重要的地位。
將公式里的x換成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然後採用兩式相加減的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
這兩個也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：
e^i∏+1=0.
這個恆等式也叫做歐拉公式，它是數學里最令人著迷的一個公式，它將數學里最重要的幾個數學聯繫到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率∏，兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及數學里常見的0。數學家們評價它是「上帝創造的公式」，我們只能看它而不能理解它。
2、拓撲學里的歐拉公式：
V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點個數，F是多面體P的面數，E是多面體P的棱的條數,X(P)是多面體P的歐拉示性數。
如果P可以同胚於一個球面（可以通俗地理解為能吹脹成一個球面），那麼X(P)=2，如果P同胚於一個接有h個環柄的球面，那麼X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的拓撲不變數，是拓撲學研究的范圍。
3、初等數論里的歐拉公式：
歐拉φ函數：φ(n)是所有小於n的正整數里，和n互素的整數的個數。n是一個正整數。
歐拉證明了下面這個式子：
如果n的標准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數，而且兩兩不等。則有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以證明它。
定理：正整數a與n互質，則a^φ(n)除以n餘1
證明：設集合{A1,A2,...,Am}為模n的一個縮系（若整數A1,A2,...,Am模n分別對應0,1,2,...,n-1中所有m個與n互素的自然數,則稱集合{A1,A2,...,Am}為模n的一個縮系）
則{a A1,a A2,...,a Am}也是模n的一個縮系（如果a Ax與a Ay (x不等於y)除以n余數相同，則a(Ax-Ay)是n的倍數，這顯然不可能）
即A1*A2*A3*……Am≡aA1*aA2*……aAm(mod n) （這里m=φ(n)）
兩邊約去A1*A2*A3*……Am即得1≡a^φ(n)（mod n）

⑦ 「數學英雄」歐拉的天才之作—歐拉公式，為啥被稱為宇宙第一公式

歐拉公式對於學習數學的人來說都不會陌生，他被數學家們稱為“最美公式”、“上帝創造的公式”，甚至還有人說它是宇宙第一公式。這個公式不僅蘊含著數學思想，並且還包含了宇宙的哲理，歐拉將最基本的五個常數組在一起，卻形成了如此優美的公式。它可能是讓高中生甚至大學生最為頭疼的，但是它是每個數學領域的財富。

總之，我們對宇宙的了解是有無限可能的，所以我們現在科技的發展，都是在探索奧秘的路上，在未來的某一天我們可能會看到宇宙的盡頭，看到宇宙的終點，那時也許我們也就回歸到了最初的起點，看到了一切誕生時的樣子。

⑧ 在世界上，最著名、最美麗和最偉大的數學公式有哪些

今天我們整理了這10著名公式，分享給大家：

No.10 圓的周長公式(The Length of the Circumference of a Circle)

創立者：古人

意義：自然界之美的數學表達。

這公式賊牛逼了，初中學到現在。目前，人類已經能得到圓周率的2061億位精度。還是挺無聊的。現代科技領域使用的-圓周率值，有十幾位已經足夠了。如果用 35位精度的-圓周率值，來計算一個能把太陽系包起來的一個圓的周長，誤差還不到質子直徑的百萬分之一。現在的人計算圓周率，多數是為了驗證計算機的計算能力，還有就是為了興趣。

No.9 傅立葉變換(The Fourier Transform)

創立者：讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅立葉

意義：將電場和磁場有機地統一成完整的電磁場。並創立了電磁場理論，而沒有電磁學理論，就不會有現在的社會文明。任何一個能把這幾個公式看懂的人，一定會感到背後有涼風——如果沒有上帝，怎麼解釋如此完美的方程?

這組公式融合了電的高斯定律、磁的高斯定律、法拉第定律以及安培定律。

比較謙虛的評價是：「一般地，宇宙間任何的電磁現象，皆可由此方程組解釋。」到後來麥克斯韋僅靠紙筆演算，就從這組公式預言了電磁波的存在。

我們不是總喜歡編一些故事，比如愛因斯坦小時候因為某一刺激從而走上了發奮學習、報效祖國的道路么?事實上，這個刺激就是你看到的這個方程組。也正是因為這個方程組完美統一了整個電磁場，讓愛因斯坦始終想要以同樣的方式統一引力場，並將宏觀與微觀的兩種力放在同一組式子中：即著名的「大一統理論」。

愛因斯坦直到去世都沒有走出這個隧道，而如果一旦走出去，我們將會在隧道另一頭看到上帝本人。