亨利龐加萊關於數學創造

① 數學領域中的發明心理學的讀後感

數學有兩種品格，其一是工具品格，其二是文化品格。由於數學在應用上的極端廣泛性，因而在人類社會發展中，那種揮之不去的短期效益思維模式特別是在實用主義觀點日益強化的思潮中，必然會導致數學之工具品格愈來愈受到重視，更會進一步向數學純粹工具論的觀點傾斜。相反的，數學之另一種更為重要的文化品格，卻已面臨被人淡忘的境況。
《數學領域中的發明心理學》是法國著名數學家雅克·阿達瑪的一本名著，是一本數學方法論的經典著作。著重論述了以「無意識思維」為核心的數學發明心理過程，給人以強烈印象。雖然嚴格地說，無意識問題應是專門的心理學家所關心的事，但他同時牽涉到數學和心理學這兩個領域。具有相當深厚的文化理念內涵和價值。他又不僅僅是關於數學方法論的論述，而且還能夠讓學習數學和研究數學的人們從中認識到關於數學發明的一般性思維規律的論述。
在數學的（乃至一般的）發明創造過程中，往往存在著創造靈感，或稱之曰「頓悟」的現象，這種頓悟的出現，既不能簡單地歸之於機遇，也不能無為地說成是邏輯推理「對中間階段的跳躍」，而是經歷了一種很復雜的，至今尚未被我們完全認識的「無意識思維」過程之後的結果。所謂無意識思維，乃是指思維者本人既沒有意識到他的存在，也沒有受到意識支配的一種思維過程。
關於發明所需要的條件，已被近幾十年最偉大的天才人物所闡明，他的名字為科學界所熟知，而且整個近代數學都在隨著他的脈搏跳動，此人就是亨利·龐加萊。龐加萊的例子取自他自己的最了不起的發現中的一個，即他關於富克斯群和富克斯函數理論的研究，在這個理論中閃爍著他的思想光輝。起先，龐加萊對這種函數冥思苦想了整整兩個星期，企圖證明它的不存在，但這個想法以後被證明是錯誤的。後來，在一個不眠之夜，並且是一種我們以後要談到的特定條件下，他構造出了第一類這種函數。就在此時，他又開始地質考察的旅行生活，途中的許多事使他忘掉了自己的數學工作，當他正要去駕車其他地方時，他剛把腳放到馬車上的一剎那，一個思想突然閃現在他的腦海，這個思想就是他用以富克斯函數的變換與非歐幾何的變換是等價的。在旅行結束後，龐加萊給出了這個思想的證明。此後他就把注意力轉換到與此有關系的一些算術運算問題上去，但沒有取得什麼成功，並且看起來也不像與他以前的研究工作有什麼聯系。由於龐加萊對自己的失敗感到厭煩，到海邊度過了幾天，並考慮了一些其他的事情。有一天，當他正在懸崖上散步時，一種新的思想在他的腦海中又和上一次同樣地突然閃出來，而且，同樣是一種簡單而確定的思想，這個思想就是不定三元二次型的算術變換與非歐幾何變換是等價的。
這兩個結果使龐加萊認為：肯定存在著另外的富克斯群，因此也就還存在著與他在那個不眠之夜所想到的富克斯函數不同的富克斯函數，以前找到的只是一類特殊情況。然而更嚴重的困難使得他的工作由此陷於停頓。此時如果堅持不懈地致力於這個問題，或許可以得到好的結果。但他當時沒有這樣做，亦即未能克服面前的困難。直到後來，當龐加萊在軍隊中服役的日子裡，跟上兩次一樣，這一問題卻又出乎意料地獲解了。龐加萊為此而補充說：「最令人驚奇的首先是這種『頓悟』的出現，所說的這種『頓悟』，乃是在此之前的一段長時間內無意識工作的結果。在我看來，在數學的發明中，這種無意識工作的作用確實是毋庸置疑的。」
面對龐加萊的這種情況呈現在我們面前的解答是：①與前些日子的努力似乎毫無關系，因而難以認為是以前工作的結果；②出現得非常突然，幾乎無暇細想。這種突然性和自發性，在若干年之前也曾被當代科學的偉大學者赫姆霍爾茲指出來過，他在1896年的一個重要講話中就曾說到過這一點。由於赫姆霍爾茲和龐加萊的講話，這種情況已被認為是任何一類發明所共有的。格拉哈姆·沃爾斯在他的《思維的藝術》一文中，提議將這種現象稱為「頓悟」。在頓悟之前一般地有一個醞釀階段，在此階段，研究似乎完全中斷，問題彷彿被丟棄在了一邊。
我們不僅不能否認無意識的存在，而且我們還必須強調指出，如果沒有無意識，恐怕我們什麼事情都做不成。首先，思想只有當用語言表達出來時，才是最清楚的，然而當我們講出一句話的時候，下一句話在哪兒？顯然這第二句話並不在我們當時的意識范圍內，因為此時的意識只有被第一句話所佔有；然而此時我們卻在思考第二句話的內容，這句話是准備在下一時刻出現在我們的意識中的，如果我們此時不在無意識中思考著句話，那麼下一時刻他就不會出現了，但是我們這兒所說的無意識是很表面的，因為他很接近於意識，它可以立即轉化為意識。
這種情況就是弗蘭西斯·高爾頓的所謂意識「前室」現象。為了表示這種較淺的無意識過程，我們當然可以用以與「無意識」涇渭分明的「下意識」這個詞。但是還有另外一個詞，這就是「意識的邊緣」。對心理學而言，在運用內反省法時，下意識狀態是很有用的。事實上，離開了下意識，內部反省是不可能進行的。但是對某種狀態，用下意識這個詞就不一定確切。這一點沃拉斯等心理學家曾用視野做過比喻：「在我們的視野中有一個很小的圓圈，在這圓圈中，我們看的很最清楚，而在這個圓圈的旁邊還是有一個不規則的區域，即視野邊緣。在這個區域中，離開視野中心愈遠，我們就看得愈模糊。人們往往對視野邊緣的存在性不太關心，因為其中任一對象一旦引起我們的關心，我們就會立即把視野中心對准它。由此我們就可明白，為什麼我們往往會忽視意識邊緣中的事情，因為我們一旦對它有興趣，它就立即成為我們的全部意識的對象了。但有時，我們也可作些努力，使它仍然處在意識邊緣的地位而去觀察它。」一般地說，把意識和意識邊緣截然區分開是很困難的，但是關於我們目前感興趣的「發明」這樣一件事中，這種區分就稍微容易些。因為在發明過程中，我們把思想高度集中在問題的求解上，只有當問題獲解之後，我們才有可能去顧及當時在意識邊緣所發生的事情。

現在很多人的問題肯能出現了，問題在於對無意識的理解是否正確，無意識是不是一種特殊的神秘的東西。事實上，真正神秘之處使我們大腦的功能，即我們的大腦為什麼能夠思考！這種精神過程是怎麼回事？人類已有幾千年的歷史，而我們對這些問題的了解即毫無進展，不管是對這種或那種精神過程，我們至今還是一無所知。至於說無意識和意識究竟哪個更高級，我認為提出這種問題是愚蠢的。當你騎在一匹馬上時，你說它比你高級還是低級？當然，馬比你強壯，又比你跑得快，但你卻能讓它做你所要它做的事。同樣的，我也不知道氧氣和氫氣哪個更高級，也不知道左腿和右腿哪個更高級，實際上，它們在行走中是相互合作的，意識和無意識也是這樣，一種合作而相互彼此的關系。
大量的例子表明，這種無意識思維過程的存在，而且，一旦承認了無意識思維的存在性，頓悟現在便得到很好的科學解釋。無意識思維在發明創造中佔有舉足輕重的地位，而且這是由發明的本質所決定的。任何領域中的發明，都是思想組合的方式進行的。也即，發明就是將各種「觀念原子」（這使龐加萊用以描述各種基本思想元素的一個形象化的比喻）進行千千萬萬的組合，再從中選出有用的組合，而這種選擇的標准時所謂「科學的美感」。在發明過程的組合與選擇這樣兩大步驟中，由於無意識思維不受理智之條條框框的約束，而僅僅服從於人的直覺中之和諧的美感，因而比有意識的思維過程更為深刻和奏效。然而我們並不能如下所述那樣去理解上面的說法，即由此而認為當你面對一個問題時，你可以什麼也不要干，而只要抱有求解此問題的願望，然後就可以去睡覺了，等到明天早晨醒來時，答案就會突然出現在你面前。顯然這是一種荒唐可笑的誤解。
事實上，情況完全不是這樣，任何問題，只有經過了深思熟慮以後，認識才會產生飛躍。例如，我們在開頭所提到的，龐加萊把腳放在馬車他班上時所發生的事情，就是在此之前經過了深思熟慮以後所產生的飛躍。牛頓關於萬有引力的發現也是一個典型的例子。他曾經被問到，他是如何發現這個定律的。他回答說：「我就是不斷地想，想，想。」這件事也許是軼事，但是始終如一的努力，一定是發現這個定律的必要條件。他有一個信念，即任何東西（不論是不是蘋果）既然都掉向地球，那麼月亮也一定是這樣掉向地球，正是這種自覺的信念和頑強的努力，才使他發現了萬有引力定律。如果不是經過一定時間的有意識的艱苦努力，盡管這些努力沒有產生結果，完全是一種盲目的摸索，那麼突然的靈感是不會產生的，可是這些努力並不是白費的。實際上，正是通過這些努力才使得無意識機器能以開動起來，亦即如果沒有這些艱苦努力，無意識機器是不會開動起來的，從而什麼靈感也不會出現，那麼牛頓也只是看著蘋果掉下來，只是有幸撿到了一個蘋果，而發現不了萬有引力定律。
伴隨著靈感而出現的絕對的感覺一般是正確的，但是也可能欺騙我們。究竟是對是錯，還要由我們稱之為「理由」的東西來確定，或者說，還要去證明它們。當然這一證明過程是有意識的。龐加萊說過，無意識不可能做相當長的運算。如果我們以為無意識具有這種能力，具有自動運算的性質，那我們就可以在睡覺之前考慮一個代數運算的問題，而到第二天早晨醒來時就得到結果了，顯然永遠不會有這種事發生。實際上，對於無意識的自動性質是不能這樣來理解的。正確的運算必須注意力高度集中，並且具有頑強的意志和符合規則，因而完全是自覺的和有意識的工作。這種工作是在靈感產生以後的又一個有意識階段。如此，我們這里似乎遇到了一種自相矛盾的結論，當然我將對此做些說明，如同我對牛頓的情況所作的說明那樣。所說的自相矛盾，就是一方面我們看到了作為我們靈魂的最高本能之一，我們的願望，我們的意識在整個發明中占據相當重要的地位，他是支配著無意識的；但在這里，他似乎是從屬於無意識的，因為他是在無意識以後產生的。但實際上，這兩個階段不僅很難分開，而且是相輔相成的，也就是說，它們是一件事情的兩個方面。
至此，我以根據阿達瑪在數學發明工作中的體會，以及對我所了解的無意識思維有關問題就此結束。總之，我們所觀察到的在發明過程中所出現的無意識的種種情況，都將在數學之文化品格和心理學中放射光芒。
數學乃是一切科學的基礎、工具和精髓，因為數學的內容和方法不僅要滲透到其他任何一個學科中去，而且要是真的沒有了數學，則就無法想像其他任何學科的存在和發展了。尤其是我們談到的數學之文化品格之無意識思維，會讓我們更好地學習數學，了解數學，體會數學的本意，並實際的運用在我們日常生活之中，服務我們，方便我們。書中說到過的：對於那些當年接受過立足於數學之文化品格數學訓練的學生來說，當他們後來真正成為哲學大師、著名律師或運籌帷幄的將帥時，可能早已把學生時代所學到的那些非實用性的數學知識忘得一干二凈了。但那種銘刻於頭腦中的數學精神和數學文化理念，卻會長期的在他們的事業中發揮著重要作用。也就是說，他們當年所受到的數學訓練，一隻會在他們的生存方式和思維方式中潛在地起著根本性的作用，並且受用終身。

② 亨利·龐加萊的介紹

亨利·龐加萊1(Jules Henri Poincaré)是法國數學家、天體力學家、數學物理學家、科學哲學家，1854年4月29日生於法國南錫，1912年7月17日卒於巴黎。龐加萊的研究涉及數論、代數學、幾何學、拓撲學、天體力學、數學物理、多復變函數論、科學哲學等許多領域。他被公認是19世紀後四分之一和二十世紀初的領袖數學家，是對於數學和它的應用具有全面知識的最後一個人。龐加萊在數學方面的傑出工作對20世紀和當今的數學造成極其深遠的影響，他在天體力學方面的研究是牛頓之後的一座里程碑，他因為對電子理論的研究被公認為相對論的理論先驅。

③ 數學家龐加萊取得了哪些成就

龐加萊童年時期，龐加萊得到了母親的悉心教導，將自己的寫作以及表達能力發揮的淋漓盡致，那時的龐加萊身體已經不如同齡人的小孩那般健康，但是他的表現確實醋類拔萃的。自從入學後他的成績幾乎是門門第一，尤其是在數學方面，更是有驚人的造詣。這是龐加萊的故事中的學生時期的描述。龐加萊的故事大多數體現在他在數學上的超強的造詣。各類數學學科的分支都被的掌握的甚是全面，可以算得上是博大精深。在具備智商這一高能條件後，一些自身的原因對於他的創造性的發現產生了局限性。比如他的肢體協調能力以及視力都不是很好，甚至是比正常人要低的低。但是就在這種先天不足的條件下，龐加萊順利的拿到了學位，並且獲得了初級講師的職位。在任教的這段期間，他憑借數學物理和概率論，以及天體力學和天文學的的成就當上了主席。這是龐加萊的故事中對於龐加萊的成就的描述後來龐加萊運用了他發明的相圖理論，最終發現了混沌理論。標志著天體力學的一個新時代的誕生。為科學界做出了不可磨滅的貢獻。 龐加萊的成就說到龐加萊的成就，我們最熟悉的就是他最後一個全能科學家的稱號，而這個稱號的由來是如何的則鮮有人知。作為法國近代以來最為著名的科學家，龐加萊的學問不僅涉及數學中的數學基礎、代數、幾何等等分支領域，而且龐加萊還將研究的觸角伸向了物理學領域並且豐富並深化了洛倫茲的理論，也為之後愛因斯坦提出相對論提供了契機。

④ 法國數學家龐加萊取得了哪些重大成就

提及龐加萊關於數學創造，就不得不說起組合拓撲學。他曾在6篇論文里創造了組合拓撲學，並且，通過引進貝蒂數、撓系數和基本群等一些概念，創造流形的三角剖分、單純復合形、重心重分、對偶復合形、復合形的關聯系數矩陣等工具，並且憑借這些概念成立了歐拉—龐加萊公式，並對流形的同調對偶定理進行了證明。除此之外，龐加萊對數學方面的創造還表現在數學物理和偏微分方程方面所取得的成就。龐加萊使用括去法(sweepingout)證明了狄利克雷問題解的存在。讓人感到驚喜的是，後來竟然推動位勢論發展到了一個新的階段。在1881～1886年，龐加萊發表四篇論文，內容是關於微分方程所確定的積分曲線，從而創立了微分方程的定性理論。他指出可以依據解對極限環的關系，來判定解的穩定性。 1883年，龐加萊提出了一個定理，即一般的單值化定理，並且在同一年間，龐加萊進一步的去研究一般解析函數論，他的這一研究貢獻巨大，它和皮卡定理組成了整函數及亞純函數理論發展的

⑤ 亨利·龐加萊的研究方向

龐加萊的研究涉及數論、代數學、幾何學、拓撲學等許多領域，最重要的工作是在函數論方面。他早期的主要工作是創立自守函數理論（1878）。他引進了富克斯群和克萊因群，構造了更一般的基本域。他利用後來以他的名字命名的級數構造了自守函數，並發現這種函數作為代數函數的單值化函數的效用。
1883年，龐加萊提出了一般的單值化定理（1907年，他和克貝相互獨立地給出完全的證明）。同年，他進而研究一般解析函數論，研究了整函數的虧格及其與泰勒展開的系數或函數絕對值的增長率之間的關系，它同皮卡定理構成後來的整函數及亞純函數理論發展的基礎。他又是多復變函數論的先驅者之一。
龐加萊為了研究行星軌道和衛星軌道的穩定性問題，在1881～1886年發表的四篇關於微分方程所確定的積分曲線的論文中，創立了微分方程的定性理論。他研究了微分方程的解在四種類型的奇點（焦點、鞍點、結點、中心）附近的性態。他提出根據解對極限環（他求出的一種特殊的封閉曲線）的關系，可以判定解的穩定性。
1885年，瑞典國王奧斯卡二世設立「n體問題」獎，引起龐加萊研究天體力學問題的興趣。他以關於當三體中的兩個的質量比另一個小得多時的三體問題的周期解的論文獲獎，還證明了這種限制性三體問題的周期解的數目同連續統的勢一樣大。這以後，他又進行了大量天體力學研究，引進了漸進展開的方法，得出嚴格的天體力學計算技術。龐加萊這一工作究竟給N體問題的解決以及動力系統的研究帶來巨大而無比深刻的影響：第一，龐加萊證明了對於N體問題在N大於二時，不存在統一的第一積分（uniform first integral）。也就是說即使是一般的三體問題，也不可能通過發現各種不變數最終降低問題的自由度， 把問題化簡成更簡單可以解出來的問題，這打破了當時很多人希望找到三體問題一般的顯式解的幻想。在一百年後學習微分方程課的人大多在第二個星期就從老師那裡知道絕大多數微分方程是沒法找到定量的解的，但一般都能從定性理論中了解更多解的性質，甚至可以通過計算機「看到」解的形狀行為。而在龐加萊的年代，大多數數學家更熱衷於用代數或冪函數方法找到解，使用定性方法和幾何方法來討論微分方程就是起源於龐加萊對於N體問題的研究，這徹底改變人們研究微分方程的基本想法。第二，為了研究N體問題，龐加萊發明了許多全新的數學工具。例如他完整地提出了不變積分（invariant integrals) 的概念，並且使用它證明了著名的回歸定理（recurrence theorem）。另一個例子是他為了研究周期解的行為，引進了第一回歸映象（first return map）的概念，在後來的動力系統理論中被稱為龐加萊映象。還有象特徵指數（characteristic expontents），解對參數的連續依賴性（continuous dependence of solutions with respect to parameters）等等。所有這些都成為了現代微分方程和動力系統理論中的基本概念。第三，龐加萊通過研究所謂的漸近解（asymptotic solutions），同宿軌道 (homoclinic orbits) 和異宿軌道（hetroclinic orbits），發現即使在簡單的三體問題中，在這樣的同宿軌道或者異宿軌道附近，方程的解的狀況會非常復雜，以至於對於給定的初始條件，幾乎是沒有辦法預測當時間趨於無窮時，這個軌道的最終命運。事實上半個世紀後，後來的數學家們發現這種現象在一般動力系統中是常見的，他們把它叫做穩定流形（stable manifold）和不穩定流形（unstable manifold）正態相交（intersects transversally）所引起的同宿糾纏（homoclinic tangle），而這種對於軌道的長時間行為的不確定性，數學家和物理學家稱之為混沌（chaos）。龐加萊的發現可以說是混沌理論的開創者。
龐加萊還開創了動力系統理論，1895年證明了「龐加萊回歸定理」。他在天體力學方面的另一重要結果是，在引力作用下，轉動流體的形狀除了已知的旋轉橢球體、不等軸橢球體和環狀體外，還有三種龐加萊梨形體存在。
龐加萊對數學物理和偏微分方程也有貢獻。他用括去法（sweepingout）證明了狄利克雷問題解的存在性，這一方法後來促使位勢論有新發展。他還研究拉普拉斯運算元的特徵值問題，給出了特徵值和特徵函數存在性的嚴格證明。他在積分方程中引進復參數方法，促進了弗雷德霍姆理論的發展。
龐加萊對現代數學最重要的影響是創立組合拓撲學。1892年他發表了第一篇論文，1895～1904年，他在六篇論文中建立了組合拓撲學。他還引進貝蒂數、撓系數和基本群等重要概念，創造流形的三角剖分、單純復合形、重心重分、對偶復合形、復合形的關聯系數矩陣等工具，藉助它們推廣歐拉多面體定理成為歐拉—龐加萊公式，並證明流形的同調對偶定理。
龐加萊的思想預示了德·拉姆定理和霍奇理論。他還提出龐加萊猜想，在「龐加萊的最後定理」中，他把限制性三體問題的周期解的存在問題，歸結為滿足某種條件的平面連續變換不動點的存在問題。
龐加萊在數論和代數學方面的工作不多，但很有影響。他的《有理數域上的代數幾何學》一書開創了丟番圖方程的有理解的研究。他定義了曲線的秩數，成為丟番圖幾何的重要研究對象。他在代數學中引進群代數並證明其分解定理。第一次引進代數中的左理想和右理想的概念。證明了李代數第三基本定理及坎貝爾—豪斯多夫公式。還引進李代數的包絡代數，並對其基加以描述，證明了龐加萊—伯克霍夫—維特定理。
龐加萊對經典物理學有深入而廣泛的研究，對狹義相對論的創立有貢獻。早於愛因斯坦，龐加萊在1897年發表了一篇文章「The Relativity of Space」〈空間的相對性〉，其中已有狹義相對論的影子。1898年，龐加萊又發表《時間的測量》一文，提出了光速不變性假設。1902年，龐加萊闡明了相對性原理。1904年，龐加萊將洛倫茲給出的兩個慣性參照系之間的坐標變換關系命名為『洛倫茲變換』。再後來，1905年6月，龐加萊先於愛因斯坦發表了相關論文：《論電子動力學》。 他從1899年開始研究電子理論，首先認識到洛倫茨變換構成群（1904年），第二年愛因斯坦在創立狹義相對論的論文中也得出相同結果。
龐加萊的哲學著作《科學與假設》、《科學的價值》、《科學與方法》也有著重大的影響。他是約定主義哲學的代表人物，認為科學公理是方便的定義或約定，可以在一切可能的約定中進行選擇，但需以實驗事實為依據，避開一切矛盾。在數學上，他不同意羅素、希爾伯特的觀點，反對無窮集合的概念，贊成潛在的無窮，認為數學最基本的直觀概念是自然數，反對把自然數歸結為集合論。這使他成為直覺主義的先驅者之一。
1905年，匈牙利科學院頒發一項獎金為10000金克朗的鮑爾約獎。這個獎是要獎給在過去25年為數學發展做出過最大貢獻的數學家。由於龐加萊從1879年就開始從事數學研究，並在數學的幾乎整個領域都做出了傑出貢獻，因而此項獎又非他莫屬。

⑥ 龐加萊關於數學創造的故事是怎樣的

如果要在19世紀末到20世紀初這個時間段選出一名數學界的領袖人物，那麼亨利·龐加萊一定會高票當選。龐加萊被後人評價為法國最偉大的數學家之一，對數學、物理、天體力學做出了很多創造性的貢獻。他的工作對當今的數學造成了極其深遠的影響。龐加萊出生在法國一個顯赫世家，從小智力超常，據說這遺傳自他父母的高智商。他接受知識極為迅速，口才也很流利，這讓他在同齡人中鶴立雞群。如果走進他住的小區，一定會聽見鄰居在教育自己的孩子：「你看看別人龐加萊，什麼都會!家世好，智商高，也許龐加萊太出色了，上天也嫉妒，在他5歲的時候患了一場白喉病。這場病讓他的喉頭壞掉了，口頭表達能力大幅下降，並且變得體弱多病。盡管如此，他還是熱衷於玩游戲和舞蹈，沒有變成宅在家裡的書獃子。龐加萊8歲的時候進入南錫中學，他的優秀天賦在學校里展露無遺。liuxue86.com在南錫中學度過的11年裡，龐加萊壟斷了「優秀生」的頭銜，每門功課都是優秀。他對數學的興趣也是從學校里開始的。龐加萊的數學老師將他描述為「數學怪獸」，在法國中學生的數學競賽里，龐加萊把一等獎拿到手軟。他甚至養成了一邊散步一邊在腦中解題的習慣，這種高級解題技能連紙和筆都不用，真是低碳又環保。1870年由於普法戰爭，龐加萊不得不中斷學業。在不上課的日子裡，他也沒有停止學習。學業恢復後，他以第一名的成績考入了巴黎綜合理工學院。據說，在他的入學考試上，學校還特意設計了一道難度系數非常高的數學題來考他，當然，這對他來說只是小菜一碟。

⑦ 介紹一下龐加萊猜想

龐加萊猜想
一位數學史家曾經如此形容1854年出生的亨利·龐加萊（Henri Poincare）:「有些人彷彿生下來就是為

了證明天才的存在似的，每次看到亨利，我就會聽見這個惱人的聲音在我耳邊響起。」龐加萊作為數學家

的偉大，並不完全在於他解決了多少問題，而在於他曾經提出過許多具有開創意義、奠基性的大問題。龐

加萊猜想，就是其中的一個。

1904年，龐加萊在一篇論文中提出了一個看似很簡單的拓撲學猜想:在一個三維空間中，假如每一條封閉

的曲線都能收縮到一點，那麼這個空間一定是一個三維的圓球。提出這個猜想後，龐加萊一度認為，自己

已經證明了它。但沒過多久，證明中的錯誤就被暴露了出來。於是，拓撲學家們開始了證明它的努力。

20世紀30年代以前，龐加萊猜想的研究只有零星幾項。但突然，英國數學家懷特黑德（Whitehead）對這

個問題產生了濃厚興趣。他一度聲稱自己完成了證明，但不久就撤回了論文。失之桑榆、收之東隅的是，

在這個過程中，他發現了三維流形的一些有趣的特例，而這些特例，現在被統稱為懷特黑德流形。

50年代到60年代之間，又有一些著名的數學家宣稱自己解決了龐加萊猜想，著名的賓（R.Bing）、哈肯（

Haken）、莫伊澤（Moise）和帕帕奇拉克普羅斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。帕帕奇拉克普羅斯是

1964年的維布倫獎得主，一名希臘數學家。因為他的名字超長超難念，大家都稱呼他「帕帕」（Papa）。

在1948年以前，帕帕一直與數學圈保持一定的距離，直到被普林斯頓大學邀請做客。帕帕以證明了著名的

「迪恩引理」（Dehn's Lemma）而聞名於世，喜好舞文弄墨的數學家約翰·米爾諾（John Milnor）曾經

為此寫下一段打油詩:「無情無義的迪恩引理/每一個拓撲學家的天敵/直到帕帕奇拉克普羅斯/居然證明得

毫不費力。」然而，這位聰明的希臘拓撲學家，卻折在了龐加萊猜想的證明上。在普林斯頓大學流傳著一

個故事。直到1976年去世前，帕帕仍在試圖證明龐加萊猜想，臨終之時，他把一疊厚厚的手稿交給了一位

數學家朋友，然而，只是翻了幾頁，那位數學家就發現了錯誤，但為了讓帕帕安靜地離去，最後選擇了隱

忍不言。

這一時期拓撲學家對龐加萊猜想的研究，雖然沒能產生他們所期待的結果，但是，卻因此發展出了低維拓

撲學這門學科。

一次又一次嘗試的失敗，使得龐加萊猜想成為出了名難證的數學問題之一。然而，因為它是幾何拓撲研究

的基礎，數學家們又不能將其撂在一旁。這時，事情出現了轉機。

1966年菲爾茨獎得主斯梅爾（Smale），在60年代初想到了一個天才的主意:如果三維的龐加萊猜想難以解

決，高維的會不會容易些呢？1960年到1961年，在里約熱內盧的海濱，經常可以看到一個人，手持草稿紙

和鉛筆，對著大海思考。他，就是斯梅爾。1961年的夏天，在基輔的非線性振動會議上，斯梅爾公布了自

己對龐加萊猜想的五維和五維以上的證明，立時引起轟動。

10多年之後的1983年，美國數學家福里德曼（Freed man）將證明又向前推動了一步。在唐納森工作的基

礎上，他證出了四維空間中的龐加萊猜想，並因此獲得菲爾茨獎。但是，再向前推進的工作，又停滯了。

拓撲學的方法研究三維龐加萊猜想沒有進展，有人開始想到了其他的工具。瑟斯頓（Thruston）就是其中

之一。他引入了幾何結構的方法對三維流形進行切割，並因此獲得了1983年的菲爾茨獎。

然而，龐加萊猜想，依然沒有得到證明。

人們在期待一個新的工具的出現。

「就像費馬大定理，當谷山志村猜想被證明後，盡管人們還看不到具體的前景，但所有的人心中都有數了

。因為，一個可以解決問題的工具出現了。」清華大學數學系主任文志英說。

可是，解決龐加萊猜想的工具在哪裡？

工具有了

里查德·漢密爾頓，生於1943年，比丘成桐大6歲。雖然在開玩笑的時候，丘成桐會戲謔地稱這位有30多

年交情、喜歡沖浪、旅遊和交女朋友的老友「Playboy」，但提起他的數學成就，卻只有稱贊和惺惺相惜

。

1972年，丘成桐和李偉光合作，發展出了一套用非線性微分方程的方法研究幾何結構的理論。丘成桐用這

種方法證明了卡拉比猜想，並因此獲得菲爾茨獎。1979年，在康奈爾大學的一個討論班上，當時是斯坦福

大學數學系教授的丘成桐見到了漢密爾頓。「那時候，漢密爾頓剛剛在做Ricci流，別人都不曉得，跟我

說起。我覺得這個東西不太容易做。沒想到，1980年，他就做出了第一個重要的結果。」丘成桐說，「於

是，我跟他講，可以用這個結果來證明龐加萊猜想，以及三維空間的大問題。」

Ricci流，以義大利數學家Gregorio Ricci命名的一個方程。用它可以完成一系列的拓撲手術，構造幾何

結構，把不規則的流形變成規則的流形，從而解決三維的龐加萊猜想。看到這個方程的重要性後，丘成桐

立即讓跟隨自己的幾個學生跟著漢密爾頓研究Ricci流。其中，就包括他的第一個來自中國大陸的學生曹

懷東。

第一次見到曹懷東，是在超弦大會丘成桐關於龐加萊猜想的報告上。雖然那一段時間，幾乎所有的媒體都

在找曹懷東，但穿著件顏色鮮艷的大T恤的他，在會場里走了好幾圈，居然沒有人認出。這也難怪。絕大

多數的數學家，依然是遠離公眾視線的象牙塔中人，即使是名動天下如威滕（Witten），坐在後排，儼然

也是大隱隱於市的模樣。

1982年，曹懷東考取丘成桐的博士。1984年，當丘成桐轉到加州大學聖迭戈分校任教時，曹懷東也跟了過

來。但是，他的絕大多數時間，是與此時亦從康奈爾大學轉至聖迭戈分校的漢密爾頓「泡在一起」。這時

，丘成桐的4名博士生，全部在跟隨漢密爾頓的研究方向。其中做得最優秀的，是施皖雄。他寫出了很多

非常漂亮的論文，提出很多好的觀點，可是，因為個性和環境的原因，在沒有拿到大學的終身教職後，施

皖雄竟然放棄了做數學。提起施皖雄，時至今日，丘成桐依然其辭若有憾焉。一種雖然於事無補但惹人深

思的假設是，如果，當時的施皖雄堅持下去，今天關於龐加萊猜想的故事，是否會被改寫？

在使用Ricci流進行空間變換時，到後來，總會出現無法控制走向的點。這些點，叫做奇點。如何掌握它

們的動向，是證明三維龐加萊猜想的關鍵。在借鑒了丘成桐和李偉光在非線性微分方程上的工作後，1993

年，漢密爾頓發表了一篇關於理解奇點的重要論文。便在此時，丘成桐隱隱感覺到，解決龐加萊猜想的那

一刻，就要到來了。

⑧ 五歲患病，語言障礙，能和愛因斯坦爭論的法國數學家是誰

他5歲患白喉病，喉頭壞死，語言表達能力有障礙。但是數學老師卻形容他是“數學怪獸”，囊括了法國高中數學競賽所有第一名。後“宣戰”愛因斯坦，二人互相杠上，最後愛因斯坦承認他是相對論先驅之一。為表達他對數學界的貢獻，月球上的火山口以他名字命名，一顆小行星也以他名字命名！

有人說不是誰都能成為數學家的，那麼要想成為更加全能的數學家，難度就更大了。

不過數學研究史上，也有很多全能的數學家，他們在研究數學的同時，在其他的領域上也有著非常高的造詣，像早期牛頓等人，都屬於這類全能的數學巨匠。

在他生活的時期，居然能研究出這么多的新領域，而且他在研究中對於數學工具，很多新理念的應用，也讓人驚嘆不已，估計人們也跟不上龐加萊他的思維，自然就很難重現他當初的一些研究。

有的時候，全才也不是那麼好做的，並非誰都能像牛頓一樣，在各個領域都能有那麼高的成就。

龐加萊他的能力特點非常接近牛頓，但倆人還是存在著一些差距，龐加萊學說的難度較大，完成度不夠高，他倒是給後人指出了不少方向，可人們按照他給出的方向去研究，也會非常艱難，這也是他與黎曼等人存在差距的原因。

涉及的面太廣，往往就很難專門在一個領域裡面深入下去，再加上龐加萊前期更多是涉及到工程這些具體的項目研究，在理論上用的時間就少了些。

可他的天賦，與牛頓一樣都是百年難遇的，至今他還有很多的研究，沒有能被後人完整繼承開發出來。