卷積的發明

Ⅰ 卷積的作用與意義

卷積其實就是為沖擊函數誕生的。「沖擊函數」是狄拉克為了解決一些瞬間作用的物理現象而提出的符號。古人曰：「說一堆大道理不如舉一個好例子」，沖量這一物理現象很能說明「沖擊函數」。在t時間內對一物體作用F的力，倘若作用時間t很小，作用力F很大，但讓Ft的乘積不變，即沖量不變。於是在用t做橫坐標、F做縱坐標的坐標系中，就如同一個面積不變的長方形，底邊被擠的窄窄的，高度被擠的高高的，在數學中它可以被擠到無限高，但即使它無限瘦、無限高、但它仍然保持面積不變（它沒有被擠沒！），為了證實它的存在，可以對它進行積分，積分就是求面積嘛！於是「卷積」這個數學怪物就這樣誕生了。
卷積是「信號與系統」中論述系統對輸入信號的響應而提出的。
2 意義
信號處理是將一個信號空間映射到另外一個信號空間，通常就是時域到頻域，（還有z域，s域），信號的能量就是函數的范數（信號與函數等同的概念），大家都知道有個Paserval定理就是說映射前後范數不變，在數學中就叫保范映射，實際上信號處理中的變換基本都是保范映射，只要Paserval定理成立就是保范映射（就是能量不變的映射）。
信號處理中如何出現卷積的。假設B是一個系統，其t時刻的輸入為x(t)，輸出為y(t)，系統的響應函數為h(t)，按理說，輸出與輸入的關系應該為
Y(t)=h(t)x(t)，
然而，實際的情況是，系統的輸出不僅與系統在t時刻的響應有關，還與它在t時刻之前的響應有關，不過系統有個衰減過程，所以t1（<t）時刻的輸入對輸出的影響通常可以表示為x(t)h(t-t1)，這個過程可能是離散的，也可能是連續的，所以t時刻的輸出應該為t時刻之前系統響應函數在各個時刻響應的疊加，這就是卷積，用數學公式表示就是
y(s)=∫x(t)h(s-t)dt，
離散情況下就是級數了。
3 計算
卷積是一種積分運算，它可以用來描述線性時不變系統的輸入和輸出的關系：即輸出可以通過輸入和一個表徵系統特性的函數（沖激響應函數）進行卷積運算得到。（以下用$符號表示從負無窮大到正無窮大的積分）
1）一維卷積：
y(t)=g(k)*x(k)=$g(k)x(t-k)
先把函數x(k)相對於原點反折，然後向右移動距離t，然後兩個函數相乘再積分，就得到了在t處的輸出。對每個t值重復上述過程，就得到了輸出曲線。   
2）二維卷積：
h(x,y)=f(u,v)*g(u,v)=$$f(u,v)g(x-u,y-v)
先將g(u,v)繞其原點旋轉180度，然後平移其原點，u軸上像上平移x，   v軸上像上平移y。然後兩個函數相乘積分，得到一個點處的輸出。

Ⅱ 卷積的定義

卷積是兩個變數在某范圍內相乘後求和的結果。如果卷積的變數是序列x(n)和h(n)，則卷積的結果
，
其中星號*表示卷積。當時序n=0時，序列h(-i)是h(i)的時序i取反的結果；時序取反使得h(i)以縱軸為中心翻轉180度，所以這種相乘後求和的計演算法稱為卷積和，簡稱卷積。另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n對應不同的卷積結果。
如果卷積的變數是函數x(t)和h(t)，則卷積的計算變為
，
其中p是積分變數，積分也是求和，t是使函數h(-p)位移的量，星號*表示卷積。
參考《數字信號處理》楊毅明著，p.55、p.188、p.264，機械工業出版社2012年發行。

Ⅲ (217)卷積編碼的matlab實現

1955 年Elias 發明了卷積碼。它也是將k 個信息元編成n 個碼元，但k 和n 通常很小，特別適合以串列形式進行傳輸，時延小。與分組碼不同，卷積碼編碼後的n 個碼元不僅與當前段的k 個信息元有關，還與前面的N ?1段信息有關，各碼字間不再是相互獨立的，碼字中互相關聯的碼元個數為n ? N 。同樣，在解碼過程中不僅從此時刻收到的碼元中提取解碼信息，而且還利用以後若干時刻收到的碼字提供有關信息。卷積碼的糾錯性能隨k 的增加而增大，而差錯率隨N 的增加而指數下降。由於卷積碼的編碼過程充分利用了碼字間的相關性，因此在碼率和復雜性相同的條件下，卷積碼的性能優於分組碼。但卷積碼沒有分組碼那樣嚴密的數學結構和數學分析手段，目前大多是通過計算機進行好碼的搜索。

Ⅳ 卷積的介紹

在泛函分析中，卷積、旋積或摺積(英語：Convolution)是通過兩個函數f 和g 生成第三個函數的一種數學運算元，表徵函數f 與g經過翻轉和平移的重疊部分的面積。如果將參加卷積的一個函數看作區間的指示函數，卷積還可以被看作是「滑動平均」的推廣。

Ⅳ 想問圖卷積神經網路

摘要 就誕生了），但是這兩年尤為火爆。本人愚鈍，一直沒能搞懂這個GCN為何物，最開始是看清華寫的一篇三四十頁的綜述，讀了幾頁就沒讀了；後來直接拜讀GCN的開山之作，也是讀到中間的數學部分就跪了；再後來在知乎上看大神們的講解，直接被排山倒海般的公式——什麼傅里葉變換、什麼拉普拉斯運算元等等，給搞蒙了，越讀越覺得：「哇這些大佬好厲害，哎我怎麼這么菜！」。

Ⅵ 卷積的簡介

褶積(又名卷積)和反褶積(又名去卷積)是一種積分變換的數學方法,在許多方面得到了廣泛應用。用褶積解決試井解釋中的問題,早就取得了很好成果;而反褶積,直到最近,Schroeter、Hollaender和Gringarten等人解決了其計算方法上的穩定性問題,使反褶積方法很快引起了試井界的廣泛注意。有專家認為,反褶積的應用是試井解釋方法發展史上的又一次重大飛躍。他們預言,隨著測試新工具和新技術的增加和應用,以及與其它專業研究成果的更緊密結合,試井在油氣藏描述中的作用和重要性必將不斷增大 。

Ⅶ 如何理解深度學習中的卷積

深度學習的概念源於人工神經網路的研究。含多隱層的多層感知器就是一種深度學習結構。深度學習通過組合低層特徵形成更加抽象的高層表示屬性類別或特徵，以發現數據的分布式特徵表示。多層神經網路是指單計算層感知器只能解決線性可分問題，而大量的分類問題是線性不可分的。克服單計算層感知器這一局限性的有效辦法是，在輸入層與輸出層之間引入隱層（隱層個數可以大於或等於1）作為輸入模式「的內部表示」，單計算層感知器變成多（計算）層感知器。補充：深度學習的概念由Hinton等人於2006年提出。基於深信度網(DBN)提出非監督貪心逐層訓練演算法，為解決深層結構相關的優化難題帶來希望，隨後提出多層自動編碼器深層結構。此外Lecun等人提出的卷積神經網路是第一個真正多層結構學習演算法，它利用空間相對關系減少參數數目以提高訓練性能。深度學習是機器學習研究中的一個新的領域，其動機在於建立、模擬人腦進行分析學習的神經網路，它模仿人腦的機制來解釋數據，例如圖像，聲音和文本。

Ⅷ 卷積的用途和卷積器的發展歷史是什麼

卷積在實踐中產生、應用、發展，但基本特性不變

卷積是分析數學中一種重要的運算。
設: f(t),g(t)是R1上的兩個可積函數，以其積為核作積分：

積分區間取決於f 與g 的定義域。
可以證明：關於幾乎所有的 ，這種積分都是存在的。
這樣，隨著 t 的不同取值的這個積分就定義了一個新函數h(t)，稱為函數f 與g 的卷積，記為h(t)＝(f*g)(t)。
容易驗證，(f * g)(t) ＝ (g * f)(t)，並且(f * g)(t) 仍為可積函數。
這就是說，卷積相當於L1（R1）空間代數，甚至是巴拿赫代數，的一個乘法。
卷積的德文Faltung和英文convolution，都表明：它有卷、摺，的意思。

卷積，實際上，是在各種實際問題的實踐中，例如：
統計學中加權的滑動平均； 物理學中任何一個線性系統（符合疊加原理）；
聲學中回聲由源聲與各種反射效應表達； 電子工程與信號處理中線性系統的輸出由輸入信號與系統的沖激響應表達； 概率論中兩個統計獨立的概率密度，等等 的需要而產生，並在相應的實踐中應用的。

因有，卷積定理：函數卷積的傅里葉變換是函數傅里葉變換的乘積。
任何卷積都可表達為：含有傅里葉函數（函數傅里葉變換）為因子。
這一定理對拉普拉斯變換、雙邊拉普拉斯變換、Z變換、Mellin變換和Hartley變換（參見Mellin inversion theorem）等各種傅里葉變換的變體同樣成立。在調和分析中還可以推廣到在局部緊致的阿貝爾群上定義的傅里葉變換。
這些都表明：傅里葉函數與卷積的重要關系與作用。
人們熟知：傅里葉函數是由正弦函數與餘弦函數組成的級數，而正弦函數與餘弦函數都是周期函數，傅里葉函數也有相應的周期性。
因而，卷積就必有周期循環或周期衰減循環的特性。
這也就更具體的從時空都表明：卷積必有卷的特性！卷積不會不卷。
特別是，當h(t)變成h(t-τ)，而τ為相應的常量時，τ就相當於它的周期！

利用卷積定理可以簡化卷積的運算量。對於長度為n的序列，按照卷積的定義進行計算，需要做2n-1組對位乘法，其計算復雜度為O(n^2)；而利用傅里葉變換將序列變換到頻域上後，只需要一組對位乘法，利用傅里葉變換的快速演算法之後，總的計算復雜度為O(nlogn)。
因而，這一結果就又使卷積應用到快速乘法的計算。

卷積中，兩個函數的乘積，按乘積的一般規則，可以分別是任意相同或不同性質的量，但是，在實際的應用中，就必須由卷積及其兩個函數的性質分別具體地確定，而不能隨意。

在實踐中，卷積中兩個函數乘積的積分，
還被進而擴展為數列卷積的兩個數列乘積的求和，
a*b=<( a*b)n>={（i=負無窮大到正無窮大求和}a(i,n)b(i)）(n=0,+-1,+-2,…)

α={αn},b={bn}(n=0,±1,±2,…)為兩個數列
甚至在概率論中擴展為隨機變數的點集，例如，已知獨立隨機變數ξ和η的概率分布為Pξ（A）和Pη(A)，隨機變數ξ+η的分布 由下式給出 ：
，
式中A-y表示點集{x|x+y∈A};A為直線上任意的波萊爾集。

這就使得其中的連續函數發展為離散的數列，甚至隨機變數的點集。

但是，卷積定理仍能成立，傅里葉函數與卷積的重要關系與作用仍然存在，卷積就仍然必有周期循環或周期衰減循環的特性。

卷積，作為運算，還具有十分重要的所謂平移不變性。例如以τα表示平移運算元,即(ταƒ)(x)=ƒ(x-α),那麼就有

利用這性質，可以刻畫出l(R)到 有界的平移不變運算元的特徵，即當作用在施瓦茲函數類(記為S(R))時,這種運算元一定是某個緩增廣義函數u與函數φ∈S的卷積u*φ

還可以推廣到矢量場函數的卷積，按照翻轉、平移、積分的定義，類似地定義多元函數上的積分：
(f*g)(t1,t2,…,tn)
=(n重積分)f(τ1, τ2,…, τn)g(t1-τ1,t2-τ2,…,tn-τn)dτ1dτ2…dτn)
而且，兩個函數還可以是不同τ的多元，例如：其一為標量的1元函數；另一為3維矢量場的3元函數，的3個卷積，組成3維矢量場的卷積。其一為標量的1元函數；另一為4維矢量場的4元函數，的4個卷積，組成4維矢量場的卷積。
還可以有，例如：兩個n維矢量場點乘的卷積應是其各分量卷積的平方和。兩個n維矢量場點乘的卷積應是其各分量卷積的平方和，兩個n維矢量場叉乘的卷積應是其各分量兩兩交叉乘積卷積之差的矢量和，等等。

但是，卷積的這些發展、變化，作為卷積如上的基本特性也不會改變。

Ⅸ 卷積的基本原理

在泛函分析中，卷積（旋積或摺積，英語：Convolution)是通過兩個函數f 和g 生成第三個函數的一種數學運算元，表徵函數f 與經過翻轉和平移的g 的重疊部分的累積。如果將參加卷積的一個函數看作區間的指示函數，卷積還可以被看作是「滑動平均」的推廣。

卷積定理指出，函數卷積的傅里葉變換是函數傅里葉變換的乘積。即，一個域中的卷積相當於另一個域中的乘積，例如時域中的卷積就對應於頻域中的乘積。
其中表示f 的傅里葉變換。
這一定理對拉普拉斯變換、雙邊拉普拉斯變換、Z變換、Mellin變換和Hartley變換（參見Mellin inversion theorem）等各種傅里葉變換的變體同樣成立。在調和分析中還可以推廣到在局部緊致的阿貝爾群上定義的傅里葉變換。
利用卷積定理可以簡化卷積的運算量。對於長度為n的序列，按照卷積的定義進行計算，需要做2n - 1組對位乘法，其計算復雜度為；而利用傅里葉變換將序列變換到頻域上後，只需要一組對位乘法，利用傅里葉變換的快速演算法之後，總的計算復雜度為。這一結果可以在快速乘法計算中得到應用。

卷積的概念還可以推廣到數列、測度以及廣義函數上去。

Ⅹ 卷積 含義

你是通信與信息工程專業的嗎？
對於非數學系學生來說，只要懂怎麼用卷積就可以了，研究什麼是卷積其實意義不大,它就是一種微元相乘累加的極限形式。卷積本身不過就是一種數學運算而已。就跟「蝶形運算」一樣，怎麼證明，這是數學系的人的工作。
在信號與系統里，f(t)的零狀態響應y(t)可用f(t)與其單位沖激響應h(t)的卷積積分求解得，即y(t)=f(t)*h(t)。學過信號與系統的都應該知道，時域的卷積等於頻域的乘積，即有Y(s)=F(s)×H(s)。（s=jw，拉氏變換後等到的函數其實就是信號的頻域表達式）
有一點你必須明白，在通信系統里，我們關心的以及要研究的是信號的頻域，不是時域，原因是因為信號的頻率是攜帶有信息的量。
所以，我們需要的是Y(s)這個表達式，但是實際上，我們往往不能很容易的得到F(s)和H(s)這兩個表達式，但是能直接的很容易的得到f(t)和h(t)，所以為了找到Y(s)和y(t)的對應關系，就要用到卷積運算。
復頻域。
s=jw，當中的j是復數單位，所以使用的是復頻域。通俗的解釋方法是，因為系統中有電感X=jwL、電容X=1/jwC，物理意義是，系統H(s)對不同的頻率分量有不同的衰減，即這種衰減是發生在頻域的，所以為了與時域區別，引入復數的運算。但是在復頻域計算的形式仍然滿足歐姆定理、KCL、KVL、疊加法。
負的頻率。
之所以會出現負的頻率，這只是數學運算的結果，只存在於數學運算中，實際中不會有負的頻率。

最後提一點建議，對於工程師而言，數學是一種工具，只管用，別管怎麼來的。一些科學家，畢其一生研究出來的定理方法，有很多我們都在應用，但是如果我們去研究它的話，顯然是不合適的。